Задача определения правой части в нелинейном псевдопараболическом уравнении



жүктеу 5.02 Kb.
Pdf просмотр
бет1/22
Дата15.03.2017
өлшемі5.02 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22


 
УДК 517.95 
Б.С. Аблабеков, З.А. Дурмонбаева 
 
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ В 
НЕЛИНЕЙНОМ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ 
БЕНДЖАМИНА-БОНА-МАХОНИ-БЮРГЕРСА 
 
(г. Бишкек, Кыргызский государственный технический  университет) 
 
Мақалада  сызықтық  емес  псевдопараболалық  Бенджамина-Бона-Махони-Бюргерс 
теңдеуі  үшін  уақытқа  тәуелді  оң  жақты  анықтаудың  кері  есебі  қарастырылады.  Кері 
есептің  шешімінің  бар  болу  және  жалғыздық  шарты  анықталған.  Вольтердің 
операторлық  теңдеу  әдісімен  қарастырылып  отырған  кері  есептің  шешімінің  жалғы 
және бар болуы туралы теорема дәлелденді. 
В работе рассматриваются обратные задачи определения правой частей,  зависящих 
от  времени  в  нелинейном  псевдопараболическом  уравнении  Бенжамина-Бона  –
Махони-Бюргерса.  Установлены  условия  существования  и  единственности  решения 
обратной  задачи.  Методом  операторных  уравнений  Вольтерра  доказаны  теоремы 
существования и единственности решения рассматриваемых обратных задач. 
In  this  paper,  we  established  conditions  of  existence  and  uniqueness  to  the  inverse 
problem  of  consisting  determinations  of  the  time-dependent  right  side,  in  non-linear 
pseudoparabolic equations Benjamin -Bona-Mahony-Burgers.  
 
Түйін  сөздер:  кері  есеп,  сызықтық  емес  псевдопараболалық  Бенджамина-Бона-Махони-
Бюргерс теңдеуі 
Ключевые  слова:  обратная  задача,  нелинейное  псевдопараболическое  уравнение 
Бенджамина-Бона-Махони-Бюргерса 
Keywords: inverse problem, nonlinear pseudo-parabolic equations of Benjamin-Bona-Mahony-
Burgers 
 
Обратные  задачи  для  псевдопараболических  уравнений  третьего  порядка 
рассмотрены  в  монографии  [1].  В  работе  [2]  исследованы  обратные  задачи 
восстановления правой части для обобщенного нелинейного уравнения Буссинеска. 
Задача  1.  В  прямоугольнике 
}
0
,
0
:
)
,
{(
T
t
l
x
t
x
Т






   рассмотрим 
обратную  задачу  нахождения    пары  функций   
)}
(
),
,
(
{
t
f
t
x
u
 из  нелинейного 
Бенджамина-Бона-Махони-Бюргерса 
,
)
,
(
),
,
(
)
,
(
)
(
)
(
2
Т
x
x
xxt
xx
t
t
x
t
x
g
t
x
h
t
f
u
u
u
u
u










     (1)  
удовлетворяющих условиям: 
l
x
x
u
x
u



0
),
(
)
0
,
(
0

 
                                                          (2) 
),
(
)
,
(
),
(
)
,
0
(
2
1
t
t
l
u
t
t
u




,
0
T
t


   
                                   (3) 
)
,
0
(
,
0
),
(
)
,
(
0
0
l
x
T
t
t
t
x
u






 
 
 
            (4) 
где функции  
)
(
),
(
),
(
),
(
2
1
0
t
t
t
x
u



 являются известными.
 
 
Определение  1.  Решением  обратной  задачи  (1)-(4)  называется  пара  функций 
]
,
0
[
)
(
)
(
))
(
),
,
(
(
)
1
,
2
(
T
C
C
С
t
f
t
x
u
T
T





, удовлетворяющая условиям (1)-(4). 
 
Теорема 
1. 
Пусть 
 
]),
,
0
([
)
(
),
(
]),
,
0
([
)
(
1
2
1
2
0
T
C
t
t
l
C
x
u




 
),
(
,
T
Q
C
g
h

     
0
)
,
(
0


h
t
x
h
 и выполнены условия согласования 
),
0
(
)
0
(
1
0


u


 
)
0
(
)
(
),
0
(
)
(
0
0
2
0




x
u
l
u
.  Тогда  существует  единственное  решение  задачи 
(1)-(4). 
Доказательство.  Для  доказательства  существования  и  единственности  решения 
обратной  задачи  (1)-(4)  сведем  ее  к  системе  интегральных  уравнений  типа  Вольтерра 
второго рода. Обращая оператор 
2
2
x
I



, и, произведя два раза интегрирование по 
частям, из условий (1), (3), получим 
 
),
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)]
,
(
)
,
(
[
1
1
0
2
0
t
x
g
t
f
t
x
h
d
t
u
x
G
d
t
u
x
G
x
G
u
u
l
l
t





















                    (5) 
где 












,
),
(
0
),
(
1
)
,
(
l
x
x
l
sh
sh
x
l
sh
shx
shl
x
G





 
 
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
1





l
d
t
h
x
G
t
x
h
 




.
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
,
(
0
2
2
1
1
1







l
d
t
g
x
G
t
t
shl
shx
t
t
shl
x
l
sh
t
x
g







 
Положив в (5) x=x
0
, и, используя дополнительное условие (4), получим 
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
))
,
(
)
,
(
(
)
,
(
1
)
(
)
(
0
0
2
0
0
0
0
1












l
l
d
t
u
x
G
d
t
u
x
G
x
G
t
x
h
t
t
f











      (6) 
где 
 


.
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
'
)
(
0
1
0
1
t
x
h
t
x
g
t
t
t






 
 
Подставив  в  (5)  вместо 
)
(t
f
 выражение  (6),  в  результате  получим  интегро-
дифференциальное уравнение для функции 
)
,
t
x
u

 
).
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
))
,
(
)
,
(
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)]
,
(
)
,
(
[
1
1
0
0
2
0
0
0
0
1
1
0
2
0
0
t
x
g
t
x
h
t
d
t
u
x
G
d
t
u
x
G
x
G
t
x
h
t
x
h
d
t
u
x
G
d
t
u
x
G
x
G
u
u
l
l
l
l
t













































 
Интегрирование последнего уравнения при условии (4) дает 






t
t l
l
t
x
g
d
d
u
x
K
d
d
u
x
K
t
x
u
0
1
0
2
0
1
0
),
,
(
~
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(












                         (7) 
где 
,
)])
,
(
)
,
(
[
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
(
)
,
,
(
)
(
0
0
0
1
1






















t
e
x
G
x
G
x
h
x
h
x
G
x
G
x
K
 
   (8) 


 
            
,
)]
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
[
)
,
,
(
)
(
0
0
1
1














t
e
x
G
x
h
x
h
x
G
x
K
                                      
(9) 
 


.
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
~
0
0
1
1
)
(
1
t
t
t
e
x
u
d
x
h
x
g
e
t
x
g















 
                         (10) 
 
Введем оператор А, определив его формулой 
 





t
t l
l
d
d
u
x
K
d
d
u
x
K
t
x
Au
0
0
2
0
1
0
,
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(












 
и перепишем уравнение (7) в виде операторного уравнения 
                          
Au
u

 
 
 
 
                            (11) 
 
В  пространстве 
)
(
Т
С

 рассмотрим  m(T)  функций 
)
,
t
x
u
,  удовлетворяющих 
неравенству 
 
).
(
~
)
(
~
1
1
T
g
T
g
u
С
C


 
 
Покажем,  что  при  достаточно  малых  Т  оператор  А  осуществляет  сжатое 
отображение  множества  m(T)  в  себя.  В  самом  деле,  для  u

m(Т)  справедливо 
неравенство 
).
(
~
2
)
(
1
T
g
T
u
C
C

 
 
С  другой  стороны,  оценивая  интегралы,  входящие  в  формулы  (7),  (8),  (9),  (10) 
находим 
,
,
1
max
~
4
1
~
0
2
1
2
2
0
1






























T
h
h
T
g
u
T
u
h
h
T
g
Au
C
C
C
C
C
C
 
где функции 
)
,
(
1
t
x
g
 и 
)
,
(
~
1
t
x
g
 оцениваются следующим образом 
 




.
'
1
~
,
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
0
1
0
1
2
2
1
1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
u
T
h
h
T
g
g
t
t
t
t
g




















 
 
Здесь мы пользовались тем, что 


l
d
x
G
0
.
1
)
,
(


 
Поэтому для 






.
,
1
max
~
4
min
1
*
1
0
1
T
h
h
T
g
T
T
C






 
Оператор А переводит множество m(T) в себя. 
 
Пусть теперь 
2
1
u
u
- любые два элемента из множества m(T), T

T*. Тогда имеем 
 
.
*
2
1
2
1
C
C
u
u
T
T
Au
Au



 
Отсюда  вытекает,  что  при  любом  Т<Т*  оператор  осуществляет  сжатое 
отображение  множества  m(T)  в  себя.  Тогда  в  силу  теоремы  С.  Банаха  на  множестве 
m(T)  существует  и  притом  только  одна  неподвижная  точка  отображения,  т.е. 
существует  только  одно  решение  уравнения  (11).  Следовательно,  решая  операторное 
уравнение  (11),  т.е.  систему  (6),  (7)  методом  последовательных  приближений,  мы 
однозначно построим функции u(x,t), f(t). 
Задача 2. В области  
}
0
,
0
:
)
,
{(
T
t
x
t
x
Q
T







  рассмотрим обратную 


 
задачу нахождения  пары функций   
)}
(
),
,
(
{
t
f
t
x
u
 из  нелинейного  Бенджамина-Бона-
Махони-Бюргерса 
,
)
,
(
),
,
(
)
,
(
)
(
)
(
2








T
x
x
xxt
xx
t
Q
t
x
t
x
g
t
x
h
t
f
u
u
u
u
u


       (12)  
удовлетворяющих условиям: 




x
x
u
x
u
0
),
(
)
0
,
(
0

 
                                     (13) 
),
(
)
,
0
(
t
t
u


,
0
T
t


 
 
                                      (14) 
)
,
0
(
,
0
),
(
)
,
(
0
0





x
T
t
t
t
x
u


 
 
          (15 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Решением обратной задачи (12)-(15) называется пара 
функций 
]
,
0
[
)
(
)
(
))
(
),
,
(
(
)
1
,
2
(
T
C
Q
C
Q
С
t
f
t
x
u
T
T
b





, удовлетворяющая условиям 
(12)-(15). 
 
ТЕОРЕМА 2. Пусть  
]),
,
0
([
)
(
),
,
0
[
)
(
1
2
0
T
C
t
C
x
u
b




 
),
(
,
T
b
Q
C
g
h

     
0
)
,
(
0


h
t
x
h
 и выполнены условия согласования  
),
0
(
)
0
(
0


u
)
0
(
)
(
0
0


x
u

Тогда существует единственное решение задачи (12)-(15). 
Доказательство этой теоремы проводится аналогично теореме 1, лишь с той 
разницией, что здесь используется фундаментальное решение оператора 
I
dx
d
L



2
2
  
и  одномерного псевдопараболического оператора [1]  и метод операторных уравнений 
Вольтерра  [2]. 
Замечание.  Аналогично теорема имеет место для обратной задачи определение 
правой  части  для  уравнения    Бенжамина-Бона  –Махони-Бюргерса  с  интегральным 
переопределением 
 
 
1.
 
Аблабеков  Б.С.  Обратные  задачи  для  псевдопараболичесих  уравнений.  -  Бишкек: 
Илим,  2001. –183 с. 
2.
 
Аблабеков,  Б.С.  Обратные  задачи  определения    источника  в  нелинейном 
обобщенном  уравнении  Буссинеска  [Текст]  /Б.С.Аблабеков,  А.К.Курманбаева  // 
Вестн. КНУ им. Ж.Баласагына.- 2011.- Спец. вып. -       С. 250-252. 
3.
 
Аблабеков  Б.С.  Интегральные  уравнения  Вольтера  и  их  приложения.  -  Бишкек: 
КГТУ, изд-во Техник, 2009. – 148с. 
 
 
 
 
ӘОЖ 621.38 (075.8) 
Ж.С. Абубакирова Қ.М. Мҧқашев 
 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА БӚЛІМІН ЖЕТІЛДІРУДІҢ БІР МҤМКІНШІЛІГІ 
 
(Алматы қ., Абай атындағы ҚазҰПУ) 
 
Жұмыста 
физика 
курсы 
электродинамика 
бӛлімінен 
оқушылардың 
эксперименталдық  шеберлігін  жетілдіруге  арналған  жаңа  үлгідегі  зертханалық  оқу 
құралы  ұсынылады.  Құралдың  негізін  үстіне  үздіксіз  қозғалыста  болатын 
компоненттер  орналастырылған  шынылы  текстолит  құрайды.  Ауыспалы  элементтер 
метал  ұяшықтарға  дәнекерлеу  арқылы  орналастырылады.  Бір  ұяшыққа  4  элемент 
орналастыруға  болады.  Олар  электр  тізбегінің  түйінін  құрайды.  Түйін  аралық 
байланыстар  контактылық  таяқшаларға  кигізілетін  түтікшеге  жалғанған  ӛткізгіштер 


 
арқылы  жүзеге  асырылады.  Микросхемалар  арнайы  қалыптарға  кигізіліп,  сыртқы 
ӛткізгіштер  тізбектерге  қосылады.  Стенд  тұрақты  (5В)  және  айнымалы  (12В)  топ 
кӛздерінен коректенеді. 
В 
статье 
обсуждается 
один 
из 
важных 
путей 
совершенствования 
экспериментальных  способностей  учащихся  по  разделу  электродинамики.  Для  этой 
цели был разработан лабораторный стенд оригинальной конструкции. Основу стенда 
образует  панель  из  стеклотекстолита  с  размещенными  элементами  постоянного 
пользования,  сменные  элементы  закрепляются  в  специальные  лунки  методом  пайки. 
Тем  самым  образуются  узлы  электрической  цепи.  Соединение  между  узлами 
осуществляется  посредством  гибких  сменных  проводников  с  трубчатыми 
наконечниками.  Для  использования  интегральных  микросхем  предусмотрены  4 
наладки.    
This article discusses one of the most important ways to improve the ability of students to 
experimental  section  electrodynamics.  For  this  purpose  was  developed  by  the  laboratory 
stand original design. Forms the basis of the stand with a panel of fiberglass placed elements 
of  permanent  use  of  interchangeable  elements  are  fixed  in  special  wells  by  soldering  . 
Thereby  forming  an  electrical  circuit  assemblies  .  The  connection  between  the  nodes  is 
carried  out  by  means  of  flexible  conductors  with  removable  tubular  lugs.  To  use  the 
integrated circuits are 4 setup.

Каталог: docs -> vestnik -> fizika matematika
vestnik -> Вестник Казнпу им. Абая, серия «Художественное образование», №1(42), 2015 г
vestnik -> Хабаршы вестник «Жаратылыстану-география ғылымдары»
vestnik -> Вестник Казнпу имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Г. У. Уалиев Редакционная коллегия
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №4 (44)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №2 (30)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №3 (31)

жүктеу 5.02 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет