«просвещение»



жүктеу 0.87 Mb.
Pdf просмотр
бет4/6
Дата08.09.2017
өлшемі0.87 Mb.
1   2   3   4   5   6
Глава 

НАУЧНОЕ  НАСЛЕДИЕ ДЕКАРТА 

11 

В  1663  г.  сочинения  Декарта,  разделив  судьбу  труда  Ко­



перника,  были  внесены  в  список  запрещенных  Ватиканом 

книг.  Несколько позже, в  1671 г., указом короля Франции было 

запрещено  преподавание  картезианской  философии  в  Сорбон­

не.  Таким  образом,  учение  Декарта  отвергли  и  католические, 

и  протестантские  теологи. 

Несмотря  на  это,  его  философские  и  научные  идеи  быстро 

распространялись  в  странах  Европы.  Одни  ученые  станови­

лись  последователями  Декарта,  другие  - противниками.  Но, 

принимая  или  отвергая  картезианство,  вqе  они  находили  в 

нем  отправную  точку  для  теоретических  разработок  в  разных 

областях  науки.  Так,  Х.  Гюйгенс  ( 1625-1687),  в  юности  глу­

бокий  почитатель  Декарта,  а  впоследствии  один  из  наиболее 

серьезных  критиков  его  учения,  пришел  к  своим  открытиям, 

исходя  из  картезианской  физики. 

Идеи Декарта оказали сильное влияние на Лейбница и  Нью­

тона.  Ньютон,  как  правило,  с  ним  не  соглашался,  но  прин• 

цип:  � Для  исследоващ1я  истины  необходимо  раз  в  жизни 

усомниться  насколько  возможно  во  всех  вещах» - осуще­

ствлен  Ньютоном  в  большей  мере,  чем  Декартом. 

Труды  Декарта  имели  огромное  значение  для  развития 

многих отраслей естествознания.  Помимо  математики,  которая 

была неотделима  от его философии,  Декарта  привлекали меха­

ника, физика, астрономия, биология. В  каждой из этих дисцип­

лин  он  получил  важные  результаты.  Исследования  в  области 

конкретных  наук  должны  были  по  его  замыслу  доказать  всем 

силу  созданного  им  метода. 

В  истории  механики  имя  Декарта  связано  с  исследова­

нием  закона  падения  тел,  проблемы  удара,  с  решением  задачи 

о  колебании  маятника.  В  истории  физики  он  назван  создате­

лем  оптики  как  науки.  Он  предложил  теорию  магнетизма  и 

4 5  


изучал  барометрическое давление.  Космологическая теория Де­

карта  занимает  важное  место  в  истории  астрономии.  Велико 

значение  творчества  Декарта  для  истории  физиологии. 

Декарт был  не  только теоретиком,  но  и  экспериментатором. 

Опыт  занимал  немалое  место  в  его  учении.  Он  считал,  что 

после  того  как  установлены  «начала»,  познание  природы  не­

возможно  без  опыта. 

Декарт  изучал  свойства  линз,  ставил  химические  опыты, 

проводил  анатомические  исследования.  Он  конструировал 

научные  приборы  и  разного  рода  механические  приспособ­

ления. 

Список  результатов,  полученных  Декартом  в  разных  от­



раслях  знания,  очень  велик.  Часть  этих  результатов  изложена 

в  его  опубликованных  трудах,  другая - в  письмах.  Именно 

в  них  проявляется  разнообразие  научных  интересов  Декарта. 

В  то  время  благодаря  переписке  между  учеными,  которой 

руководил  Мерсенн,  наиболее  важные  задачи  решались  кол­

лективно.  Идея,  высказанная  одним,  становилась  общей.  По­

этому  часто  одновременно  и  независимо  друг  от  друга  ученые 

делали  важные  открытия.  С  этим,  кстати,  связаны  и  много­

численные  бурные  споры  о  приоритете. 

Очень  быстро,  например,  распространились  сведения  об 

опытах Торричелли, доказавших существование пустоты в при­

роде.  Они  обсуждались  в  кружке  Мерсенна  и  послужили 

основой  знаменитых  опытов  Паскаля  по  изучению  атмосфер­

ного  давления.  Эти  исследования  вызывали  всеобщий  интерес, 

ученые оживленно обменивались  мнениями.  Декарт утверждал 

впоследствии,  что  идея  опыта  Паскаля  на  горе  Пюи-де-Дом 

принадлежала  ему. 

Для  развития  механики  очень  важным  оказалось  обсужде­

ние  задачи  о  маятнике,  которую  MepceJJн  поставил  перед 

несколькими учеными - Декартом,  Робервалем,  Х.  Гюйгенсом 

и  др.  Он  предложил  найти  длину  такого  математического 

маятника  (т. е.  маятника  с  одной материальной точкой),  чтобы 

его  период  колебания  равнялся  периоду  колебания  данного 

мая'l'ника, составленного из  конечного  или  бесконечного  числа 

материальных  точек.  Решение  Декарта  положило  начало  важ­

ному  разделу  теоретической  механики. 

В  математике  в  это  время  наиболее  важными  были  задачи, 

связанные  с  разработкой  исчисления  бесконечно  малых, -

инфинитезимальные задачи.  Среди них,  например,  знаменитые 

задачи о  циклоиде - кривой,  которую описывает точка окруж­

ности  круга,  катящегося  по  прямой.  Решая  их,  Декарт,  Фер­

ма,  Роберваль,  Торричелли,  Паскаль  и  другие  ученые  закла -

дывали  основы  дифференциального  и  интегрального  исчис­

ления. 


Мы  остановимся  лишь  на  некоторых  сторонах  научного 

творчества  Декарта - на  работах,  связанных  с  математикой, 

оптикой  и  биологией. 

46 


§  1 .   ДЕКАРТ  И  МА ТЕМА ТИКА 

Р.АННИЕ  Р.АБОТЫ 

Математика занимала в учении Декарта очень важное место. 

По  его  словам,  еще  в  школьные  годы  он  «отдался  душой  ма­

темаrическим  наукам»  и  охотнее  всего  занимался  арифмети­

.кой и  геометрией.  Они казались ему самыми простыми из всех 

наук  и  «как  бы  дверью  для  всех  остальных». 

Позднее,  на  военной  службе,  Декарт  вновь  обратился  к 

математике.  Он  писал  в  одном  из  своих  писем,  что  нашел 

несколько  «новых  и  примечательных»  доказательств. 

Приведем  две  из  решенных  им  в  то  время  задач.  Первую 

задачу - о  делении  данного  угла  на  три  или  более  равных 

частей - Декарт  решил  с  помощью  специального  циркуля 

(рис.  1 

)



имеющего  четыре  ножки.  Цирку ль  сконструирован 



так,  что  три  угла  между  ножками  всегда  остаются  равными, 

каков бы ни был раствор крайних ножек.  Для этого на ножках 

циркуля  откладываются  равные  отрезки 

аЬ,  ае,  ad,  ag. 

В  точ­

ках 


Ь,  d,  е,  g 

присоединены  стержни 

Ьс,  cd,  ef,  fg, 

вра­


щающиеся вокруг этих точек. По длине стержни равны данным 

отрезкам  и  попарно  пересекаются  на  внутренних  ножках 

циркуля. 

Рассматривая  фигуру,  образованную  двумя  ромбами 

abcd 

и 

aefg, 



видим,  что  углы 

Ьае,  ead 

и 

dag 


всегда  равны  между 

собой.  Таким  образом,  для  деления  на  три  части  любого 

данного  угла  необходимо  совместить  этот  угол  с  углом 

bag 


циркуля. 

Вторая  задача  - о  решении  кубических  уравнений  графи­

ческим  способом  с  помощью  особого  прибора.  Этот  прибор 

может быть применен  и  для  нахождения  двух  и  более  средних 

пропорциональных  между  двумя  данными  величинами.  Позд­

нее  Декарт  писал:  « ...  Я  не  думаю,  чтобы  существовал  более 

простой  и  более  очевидно  доказываемый  способ  нахождения 

произвольного  числа  средних  пропорциональных». 

а 

!! 


Рис.  1 

Рис.  2 


47 

Прибор,  сконструированный  Декартом,  с�оден  с  древним 

мезолабием  - механизмом,  который  примен.Ял  Эратосфен  для 

нахождения  двух  средних  пропорциональных. 

Это  устройство  описано  в  «Геометрии� .   Декарт  пишет: 

«Взгляните  на  линии 

АВ, 


AD,  AF  (рис.  2)  и  им  подобные, 

которые  я  предполагаю  описанными  при  помощи  инструмента 

YZ,  который  составлен  из  неск()11J:ьких  линеек,  соединенных  та­

ким  образом,  что,  закрепив  на  линии  AN  линейку,  обозначен­

ную  YZ,  можно  растворять  и  складывать  угол  XYZ;  при  этом, 

когда  угол  сложен,  точки 

В,  С, 

D, 


Е,  F,  G, 

Н 

все  собираются  в 



точке 

А, 


но,  по  мере  того  как  угол  растворяется,  лин,ейка 

ВС, 


соединенная  под  прямым  углом  с 

ХУ 


в  точке 

В, 


толкает  по 

направлению  к  Z  линейку  CD,  передвигающуюся  вдоль  YZ, 

образуя  всегда  с  нею  прямые  углы ;  а  CD  толкает DE,  передви­

гающуюся  таким  же  образом  вдоль 

УХ 

и  всегда  параллель­



ную 

ВС; 


DE  толкает  EF;  EF  толкает  FG;  последняя  толкает 

GH,  и  можно  вообразить  себе  бесчисленное  количество  дру­

гих  линеек,  последовательно  толкающих  друг  друга  аналогич­

ным  образом,  прич�м . одни  образуют  всегда  Qдинаковые  углы 

с 

УХ, 


а  другие  с  YZ.  По  мере  того  как  растворяется  таким  об­

разом  угол  XYZ,  точка 

В 

описывает  линию 



АВ, 

представ­

ляющую  собою  окружность,  а  точки  D,  F, 

Н, 


в  которых  пере­

секаются  другие  линейки,  описывают  другие  кривые  линии -

AD,  AF, 

АН, 


из  которых  последние  по  порядку  сложнее 

первой  из  них,  а  эта  первая  сложнее  окружности�. 

Из  подобия  треугольников 

УВС, 


YCD  и  YDE  ясно,  что 

УВ 


УС 

YD 


УС = 

YD 


=  УЕ- . 

Таким  образом,  для  нахождения  средней  пропорциональной 

между данными величинами 

а 

и 



Ь 

следует расположить инстру­

мент  так,  чтобы 

а = УВ,  а  Ь = УЕ. 

В  те  же  годы  Декарт  написал  трактат  о  выпуклых  телах. 

В нем сформулирована теорема:  если 

Н 

- число граней выпук­



лого  правильного многогранника,  S - число  его  вершин, 

А 

-



число  ребер,  то  между  этими  элементами  имеет  место  соот­

ношение 


S - A + H = 2. 

Эта  теорема  впоследствии  была  доказана  Эйлером  и  носит 

теперь  его  имя. 

Декарт  занимался  также  теорией  чисел. 

«ВСЕОБЩАЯ  МАТЕМАТИКА" 

Решение  геометрических  и  арифметических  задач  само  по 

себе  Декарта  не  интересовало.  Он  считал,  что  трудиться  над 

48 


пустыми  числами  и  вымышленными  фигурами,  видя  в  этом 

самоцель,- занятие  бессмысленное,  от  которого  «ум  как  бы 

застывает».  Его  привлекали  более  общие  проблемы.  Для  него 

математика  была  образцом  строгости  в  рассуждениях  и  точ­

ности  в  выводах.  По  такому  образцу  он  хотел  построить 

все  естественные  науки:  чтобы  каждая  из  них  была  столь 

же  строгой  и  точной.  Именно  поэтому  он  задался  вопросом: 

что  такое  математика?  Какие  общие,  наиболее  важные  черты 

имеются  у  разных  математических  дисциплин? 

Отвечая  на  этот  вопрос,  Декарт  заключил,  что  «К  области 

математики  относятся  только  те  науки,  в  которых  рассматри­

вается  либо  порядок,  либо  мера,  и  совершенно  несущественно, 

будут  ли  это  числа,  фигуры,  звезды,  звуки  или  что-нибудь 

другое, в чем отыскивается эта мера ». Поэтому  у него возникла 

мысль  о  создании  «всеобщей  математики »  - такой  науки,  ко­

торая  объясняет  все,  что  относится  к  порядку  и  мере.  «Всеоб­

щая» ,  или  «универсальная» ,   математика,  включающая  в  себя 

геометрию, арифметику и другие математические дисциплины, 

должна,  по  мысли  Декарта,  дать  общие  правила  для  решения 

любой  конкретной  задачи. 

Разработкой начал «всеобщей математики»  Декарт занимал­

ся  долгие  годы.  Она  основывается  на  его  методе,  который 

состоит  в  «порядке  и  размещении  того,  на  что  должно  быть 

направлено  острие  ума».  Декарт  предлага�т  сначала  сводить 

«темные  и  неясные»  положения  к  более  простым,  а  затем -

«восходить  по  тем  же  ступеням  к  познанию  всех  остальных ». 

Этому  подчиняется  всякое  математическое  рассуждение. 

Нетрудно  заметить,  что  все  математические  дисциплины 

исследуют  отношения  и  пропорции.  Для  Декарта  понятие  от­

ношения  стало  основным  понятием  «всеобщей  математики » 

и  философии.  Он  утверждал,  что  вообще  процесс  познания 

состоит  в  том,  что  человек  устанавливает,  в  каком  отноше­

нии  исследуемое  явление  находится  с  другим - простейшим 

и  очевидным. 

Предметом  «всеобщей  математики» ,   по  Декарту,  являются 

величины  самого  общего  вида.  Все  отношения  между  величи­

нами  устанавливаются с  помощью измерения,  а  для  этого  вво­

дится  единица  измерения. 

Непрерывные  величины  Декарт  изображает  прямолиней­

ными  отрезками.  Он  считает,  что  любую  геометрическую  за­

дачу  можно  легко  свести  к  такой,  что  для 

ее 


решения  не  тре­

буется  ничего,  кроме  знания  длины  некоторых  прямолиней­

ных отрезков (у Декарта - «прямых линий»). Для этого нужно 

уметь производить над отрезками действия, аналогичные ариф­

метическим. 

Декарт  вводит  произвольно  выбранный  отрезок,  который, 

«дабы  удобнее  установить  более  тесную  связь  с  числами» ,  

называет  единицей.  Сложению  чисел  соответствует  прибавле­

ние  одного  отрезка  к  другому.  При  вычитании  строится  отре-

49 


Рис. 

зок,  длина  которого  равна  избытку 



одного  из  двух  данных  отрезков  над 

другим. 


Умножение - это построение отрез­

ка,  который  является  четвертой  про­

порциональной  величиной  к  двум  дан­

ным.  Пусть,  например,  даны  единич­

ный  отрезок  и  отрезки 

а 

и 



Ь. 

Тогда 


произведение 

х = аЬ 


ищется  из  соотно­

х 

ь 



шения 

а = т ·  

Декарт  пишет:  «Пусть,  например, 

АВ  (рис.  3)  является 

единицей и 'требуется  умножить  BD  на 

ВС;  для этого  я должен 

только соединить  точки 

А  и  С, затем провести DE  параллельно 

СА,  и  ВЕ  будет  результатом  этого  умножения».  Таким  обра­

зом, произведение двух отрезков изображается также отрезком. 

С  помощью  той  же  операции  построения  четвертой  про­

порциональной  находятся  степени  данного  отрезка. 

К  построению четвертой  пропорциональной  сводится  и дей­

ствие  деления:  оно  соответствует  отысканию  отрезка,  который 

относится к  одному  из  двух  данных  отрезков  так,  как  единич-

ный  отрезок  к  другому 





Декарт  пишет:  «Если 

ВЕ 


нужно  разделить  на  BD,  то,  соединив  точки 

Е  и  D,  я  провожу 

АС  параллельно  DE,  и  ВС  будет  результатом  этого  деления». 

Корень  квадратный  рассматривается  как  среднее  пропор­

циональное  между  данным  и  единичным  отрезками  (т. е. 

х =  


-{а 


находится  из  пропорции 

).  Извлечение  кубиче-



ского  корня  равносильно  построению  двух  средних  проnор­

циональных,  корня  четвертой  степени - трех  и  т. д.  Для этого 

построения  Декарт  применяет  описанный  выше  инструмент. 

Таким  образом,  Декарт  разработал  новое  исчисление  от­

резков,  полностью  соответствующее  обычной  арифметике.  Тем 

самым  была  установлена  определенная  зависимость  между 

арифметикой  и  геометрией. 

Это  сыграло  важнейшую  роль  в  развитии  одного  из  основ­

ных  понятий  математики  - понятия  числа.  Стиралось  сохра­

нившееся  со  времен  античности  представление  о  числе  и  гео­

метрической  величине  как  о  принципиально  различных  по­

нятиях.  Благодаря  этому  в 

XVIII 

в.  в  математику  вошло 



новое  понятие  числа:  Ньютон  определил  его  как  «отвлечен­

ное  отношение  какой-нибудь  величины  к  другой  величине 

того  же  рода,  принятой  за  единицу». 

С  помощью  методов  «всеобщей  математики»,  по  замыслу 

Декарта,  можно  было  решить  любую  задачу,  касающуюся 

величин  того  или  иного  вида.  Он  утверждал,  что  всякая 

задача  может  быть  представлена  геометрически.  Решить  ее  -

это  значит  найти,  каким  образом  пересекаются  некоторые 

50 


линии.  Этим  вопросам  Декарт  посвятил  значительную  часть 

« Геометрии»,  где  классифицировал  задачи  с  такой  точки 

зрения. 

В  то  же время  любая линия,  согласно  Декарту,  выражается 

уравнением.  Поэтому,  чтобы  найти  точку  пересечения  линий, 

нужно  решить  уравнение,  построив  его  корень  как  отрезок. 

Отсюда  возникло  новое  направление  в  математике  -

аналитическая  геометрия.  Декарт,  наряду ·с  Ферма,  был  ее  ос­

новоположником. 

Аналитическая  геометрия  Декарта  устанавливает  связь 

·между  линиями  на  плоскости  и  алгебраическими  уравнения­

ми  с  двумя  неизвестными.  Она  основывалась  прежде  всего 

на  идее  координат,  позволившей  сопоставить  любой  точке 

кривой  точку  на  числовой  оси.  Это  дало  возможность  рассмат­

ривать  всякое  алгебраическое  уравнение 

f(x,  у) 

= 0  

как  опре­



деленную  линию  на  плоскости,  координаты · точек  которой 

удовлетворяют  указанному  уравнению.  Таким  образом,  был 

получен метод для исследования геометрических объектов с по­

мощью  алгебры. 

Развивая  эти  идеи,  Декарт  положил  начало  другому  само­

стоятельному  направлению  в  математике - числовой  буквен­

ной  алгебре. 

Основные  результаты,  полученные  Декартом  в  математике, 

были  сформулированы  в  его  «Геометрии». 

«ГЕОМЕТРИЯ» 

« Геометрия»  Декарта  предназначена,  как  он  говорит  в  пре­

дисловии,  не  «для  всех»,  а  для  ученых,  знакомых  с  класси­

ческими  трудами  по  геометрии.  Поэтому  он  не  повторяет 

«доказанных  истин»,  а  только  пользуется  ими. 

В  противоположность  « Диоптрике»  и  « Метеорам»  сочине­

ние  написано  трудно,  материал  в  нем  расположен  беспоря­

дочно.  Декарт сделал это с умыслом. По его словам, он опустил 

многие  разъяснения  для  того,  чтобы  предоставить  читателю 

удовольствие  самому  находить  их. 

« Геометрия»  состоит  из  трех  книг.  В  первой  книге, 

в 

ко­


торой рассматриваются задачи, допускающие построение толь­

ко  циркулем  и  линейкой,  изложены  основы  аналитической 

геометрии  и  буквенного  исчисления  Декарта. 

Вначале  он  объясняет,  «как  исчисление  арифметики  отно­

сится  к  построениям  геометрии».  Здесь  приводятся  правила 

арифметических  действий  с  прямолинейными  отрезками. 

Декарт  заметил,  что  «часто  нет  нужды  проводить  эти  ли­

нии  на  бумаге,  а  достаточно  их  обозначить  какими-нибудь 

буквами,  каждую  линию  одной  буквой».  Поэтому  он  показы­

вает  дальше,  «как  можно  употреблять  буквенные  обозначе­

ния  в  геометрии». 

Известные  величины  он  обозначает  буквами 

а,  Ь,  с 

и  т. д., 

5 1  




,,,,,,,..... - - - ........ 



м 

Рис.  4 


м 

Рис. 



бым 


знаком, 

введенным 

самим 

ет  оо). 



неизвестные  - буквами 

х, у, 


z; 

результат умноже­

ния 

а 

на 



Ь 

записывается 

в  виде  аЬ,  результат  воз­

ведения  в  квадрат - в 

виде 

а2, 


или 

аа, 


в  куб  -

а ,  



или 

ааа, 


и  т. д.  Буквы 

у  Декарта  обозначали 

только 

положительные 



величины.  Корни  изо­

бражались  современным 

знаком,  равенство - осо-

Декартом 

(напомина-

Декарт  создавал  свою  алгебраическую  символику  не  на 

пустом  месте.  Уже  до  него  здесь  были  достигнуты  значи­

тельные  успехи.  Немецкие  математики 

XV 

в.  ввели  так  на­



зываемые  «коссические»  знаки  и,  в  частности,  специальные 

обозначения  для  алгебраических  операций.  Коссическими  зна­

ками  пользовался  Х.  Клавий - автор  учебника  алгебры,  по 

которому  учился  Декарт.  Эти  знаки  он  применял  в  своих 

ранних  математических  заметках. 

Декарт значительно упростил существовавшую до  него сим­

волику.  Особенно  важным  было  его  обозначение  степени,  ко­

торое  стало  с  тех  пор · общепринятым.  Правда,  Декарт  при­

менял  его  только  для  целых  положительных  показателей. 

Дробные  и  отрицательные  показатели  у  него  отсутствовали. 

Этим  по  существу  символика  Декарта  отличается  от  современ­

ной. 


В  следующем  разделе  первой  книги  «Геометрии»  Декарт 

учит,  «как  следует  получать  уравнения,  служащие  для  реше­

ния  задач».  Он  утверждает,  что  здесь  нет  таких  затрудне­

ний,  которых  бы  не  мог  преодолеть  тот,  кто  хоть  немного 

осведомлен  в  обычной  геометрии  и  алгебре. 

Чтобы  решить  задачу,  Декарт  предлагает  вначале  считать 

ее 

решенной  и  «дать  названия  всем  линиям,  которые  пред­



ставляются  необходимыми  для 

ее 


построения».  При  этом 

имеются  в  виду  как  известные,  так  и  неизвестные  линии, 

т. е.  величины.  Затем  нужно,  используя  зависимость  между 

ними,  выразить  одну  и  ту  же  величину  двумя  способами. 

Полученные  выражения  для  этой  величины  приравниваются 

одно  к  другому.  Таким  образом  получается  уравнение  ли­

нии. 

Таких  уравнений  должно  быть  ровно  столько,  сколько 



предположено  неизвестных.  Если  это  не  удается,  то,  значит, 

задача  неопределенная  и  можно  взять  взамен  отсутствующих 

неизвестных  произвольные  величины. 

Рассуждения  иллюстрируются  примером  для  задач,  кото­

рые  можно  решить  геометрически  с  помощью  построения 

52 

1   2   3   4   5   6




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет