ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені (ПОӘК) «Қолданбалы программамен жабдықтау»



жүктеу 0.93 Mb.
Pdf просмотр
бет6/10
Дата27.04.2017
өлшемі0.93 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Символдық есептеулер 

 

 

Mathcad редакторында символдық есептеулер екі түрлі әдіспен жүргізіледі: 



 

менюдегі командалардың кӛмегімен; 



 

«→»  символдық  операторы  арқылы,  символдық  процессордың  сӛз-командалары 

арқылы. 

 

Бірінші  әдіс  есептің  жауабын  тез  алып  тек  бір  рет  қана  ол  жауап  қолданылатын 



болса  ыңғайлы.  Еінші  әдіс  ӛрнекті  үйреншікті  математикалық  формада  жазып  және 

есептің  символдық  түрде  шығару  жолын  құжатта  сақтап  қою  үшін  қолайлы  болып 

табылады. Сонымен қатар меню арқылы шығарылған есеп тек қана қарастырып отырған 

кезде  белгіленіп  (выделенный  в  данный  момент)  отырған  ӛрнекке  ғана  қатысты. 

Сондықтан  оған  құжатта  одан  жоғары  орналасқан  формулалардың  әсері  жоқ.  Ал 

символдық  шығару  операторы  оның  алдында  құжатта  орналасқан  есептеулердің  бәрін 

ескереді. 

 

Символдық есептеулерде редактордағы функциялардың бәрі дерлік қолданылады.  



 

Symbolics  (Символика)  бас  менюіндегі  командалар  ӛрнекке  аналитикалық 

операциялар  қолданатын  командалар  жиыны  (5.1  сурет).  Екінші  әдіспен  аналитикалық 

есеп  шығаруда  сандық  түрде  есеп  шығаруға  арналған  құралдар  қолданылады  (мысалы, 

Calculator,  Evaluation  панелі).  Сонымен  қатар  кей  құралдарды  Symbolic  Keyword  Toolbar 

(Панель символики) кнопкасын басу арқылы шақыруға болады. Symbolic (Символические) 

панелінде символдық түрлендіруге арналған арнайы командалар бар (5.2 сурет). Мысалы 



51 

 

арнайы  функциялар  қарастырылмаған  Лаплас  түрлендіруі  сияқты  операцияларға  арнайы 



командалар қолданылады. 

 

Осы  символдық  есептеулердің  екі  әдісін  қарапайым  мысалдар  шығару  арқылы 



қарастыралық. Мысалы, sin(2х) ӛрнегін кӛбейткіштерге жіктеу керек болсын: 

 

Бірінші әдіс (меню арқылы): 



 

sin(2х) ӛрнегін енгізу; 

 

Оны толық белгілеу (выделить) – 5.1 сурет; 



 

Бас менюден Symbolics/Expand (Символика/Разложить) пунктін таңдап алу. 



 

Осыдан  кейін  есептеу  нәтиежесі  сәл  пәл  тӛмен  бӛлек  жол  ретінде  шығады  (5.3 

сурет). 

 

Меню  арқылы  есептегенде  операция  ӛрнектің  тек  белгіленген  бӛлігі  үшін  ғана 



орындалады.  Егер  5.4  суреттегідей  тек  формуланың  бӛлігі  ғана  белгіленген  болса,  онда 

тек осы бӛлікке ғана операция қолданылады (суреттің тӛменгі жолын қараңыз). 

 

Енді екінші әдісті қарастыралық («→» операторының кӛмегімен): 



 

sin(2х) ӛрнегін енгізу; 

 

Symbolic панеліндегі Expand (Разложить) кнопкасын басыңыз; 



 

expand  деген  сӛзден  кейін  пайда  болңан  орынкӛрсеткішке  (5.5  сурет,  үсті) 

айнымалыны (х) енгізіп  пернесін басыңыз (орынкӛрсеткішті жою үшін); 

 



символдықт енгізу операциясын «→» енгізіңіз; 

 



  пернесін  басыңыз,  немесе  жүгірмектің  кнопкасын  ӛрнектен  тысқары 

жерде басыңыз.  

 

Кей  ӛрнектер  аналитикалық  түрлендірілмейді  (есептің  шешімі  жоқ,  немесе 



процессор  үшін  есеп  тым  күрделі).  Мұндай  жағдайда  есептің  шешімі  ретінде  сол  ӛрнек 

қайта жазылады (5.1 листингінің тӛменгі жағы). 

 

Символдық алгебра 

 

 



Ӛрнекті ықшамдау (Simplify).  Ӛрнекті  ықшамдау жиі  кездесетін операциялардың 

бірі.  Бқл  операция  кезінде  кӛптеген  алгебралық,  тригонометриялық  т.с.с  формулалар 

қолданылады. Менюдің кӛмегі арқылы ӛрнекті ықшамдау үшін (5.7 сурет): 

 



ӛрнекті енгізіңіз; 

 



ӛрнекті толығымен немесе оның ықшамдалуға тиіс бӛлігін белгілеңіз; 

 



Symbolics/Simplify (Символика/Упростить) командасын орындаңыз. 

52 

 

 



Ӛрнекті символдық есептеу операторының кӛмегі арқылы ықшамдау үшін simplify 

деген  арнайы  сӛзді  қолданыңыз  (5.2    листингі).  Ескерте  кететін  жайт,  ӛрнектегі  кей 

айнымалыларға алдын  ала мән берілген болса, онда символдық  есептеу кезінде олардың 

мәні орындарына қойылады (5.3 листингі). 

 

Сан мәндері бар ӛрнекті ықшамдаған кезде санның бейнеленуінде ондық бӛлшектің 



үтірі тұрса, онда редактор ол ӛрнектің сандық мәнін есептейді (5.4 листингі). 

 

Ӛрнекті  жіктеу  (Expand).  Бұл  операция  осының  алдындағы  операцияға  қарама 

қарсы операция. Бұл операция  Symbolics/Expand (Символика/Разложить) командасымен; 

болмаса 


символдық 

шығару 


операциясымен  бірге  expand  арнайы 

сӛзін  қолдану  арқылы  орындалады. 

Бұл  операция  осының  алдындағы 

тақырыпта  қарастырылған  болатын 

(5.3-6  суреттер  мен  5.1  листингін 

қараңыз). 

 

Кӛбейткіштерге 

жіктеу 

(Factor). 

Жіктеу 


Symbolics/Factor 

(Символика/Разложить 

на 

множители) 

командасы 

арқылы 

жүргізіледі 



(5.8 

сурет), 


немесе 

символдық  шығару  операциясымен 

бірге  factor  арнайы  сӛзін  қолдану 

арқылы жүргізіледі (5.5 листингі). Бұл 

операция  кӛпмүшелікті  қарапайым 

кӛпмүшеліктер 

кӛбейтіндісіне 

жіктейді. 

Командыны 

қолданбас 

бұрын  ӛрнекті  тұтас  немесе  жіктейтін 

бӛлігін 


белгілеуді 

(выделение) 

ұмытпаңыз. 

 

Ұқсас  мүшелерді  біріктіру  (Collect).    Бұл  операцияны  меню  арқылы  істеу  үшін 

(5.9 листингі): 

 



ӛрнекті енгізіңіз; 

 



ӛрнекте  қай  айнымалының  негізінде  біріктіру  жұмысын  жүргізу  керектігін 

редакторға  кӛрсету  үшін  сол  айнымалының  атын  белгілеу  керек  (выделить),  5.9 

суреттегі мысалда бұл Y айнымалысы; 

 



Symbolics/Collect (Символика/Привести подобные) командасын орындаңыз. 

 

Есеп нәтиежесінде ұқсас мүшелері біріккен жол шығады (5.9 суреттің соңғы жолы). 



 

Символдық  шығару  операторы  арқылы  шығару  жолын  қарастыралық  (5.6 

листингі): 

 



ӛрнекті енгізіңіз; 

53 

 



 

Symbolic 

(Символика) 

панеліндегі  Collect  кнопкасын 

басыңыз; 

 



collect  сӛзі  қойылғаннан  кейін 

орналасқан  орынкӛрсеткішіне 

құсас  мүшені  біріктірген  кезде 

қолданылатын  айнымалының 

атын 

енгізіңіз 



(5.6 

листингіндегі  бірінші  жолдағы 

мысалда  ол  айнымалының  аты 

X, екінші жолдағыда – Y); 

 



символдық шығару операторын 

«→» егізіңіз; 

 



 кнопкасын басыңыз. 

 

Айта  кететін  жайт,  collect 



арнайы 

сӛзінен 


кейін 

бірнеше 


айнымалының  атын  жазуға  болады 

(арасына  үтір  қою  керек).  Бқл  кезде 

ұқсас 

мүшелер 


барлық 

аталған 


айнымалылар арқылы жинақталады (5.6 листингі). 

 

Полиномның (кӛпмүшеліктің) коэффициенттері  (Polynomial Coefficients). Егер 

кӛпмүшелік  бірнеше  кӛпмүшеліктің  кӛбейтіндісі  есебінде  беріліп  тұрса  онда  Mathcad 

қорытынды  кӛпмүшеліктің  коэффициенттерін  есептей  алады.  Оны  есептеу  үшін  (5.10 

листингі): 

 



ӛрнекті енгізіңіз; 

 



ӛрнектегі  кӛпмүшеліктің 

айнымалысын белгілеңіз; 

 

Symbolic/Polynomial 



Coefficients 

(Символика/Коэффициен

ты 

полинома) 

командасын орындаңыз. 

 

Осы 


операциялардың 

нәтиежесі 

ретінде 

вектор 


(массив)  шығады,  ал  оның 

координаталары 

қорытынды 

кӛпмүшеліктің  коэффициенттері 

болады. 

Егер 


қорытынды 

кӛпмүшелік 



a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+…болса 

онда 


вектордың бірінші координатасы а

0

,екінші координатасы а

1

, үшінші координатасы a

2

 т.с.с 


болады. 

 

Кӛпмүшеліктер  коэффициенттерін  символдық  шығару  операторының  кӛмегімен 



есептеу үшін: 

 



ӛрнекті енгізіңіз; 

 



Symbolic (Символика) панелінен Coeffs кнопкасын басыңыз; 

 



coeffs сӛзінен кейін орналасқан орынкӛрсеткішке кӛпмүшеліктің аргументінің атын 

енгізіңіз; 

 

символдық шығару операторы «→» енгізіңіз; 



 

. кнопкасын басыңыз. 



54 

 

 



5.7-8  листингтерде  коэффициенттер  есептеудің  мысалдары  келтірілген.  5.7 

листингте  коэффициенттер  әртүрлі  аргументтер  үшін  есептелген.  5.8  листингте 

коэффициенттер 

күрделі 


аргументтер үшін есептелген. 

 

Қатарлар 



мен 

кӛбейтінділер. 

Символдық 

(аналитикалық)  түрде  сандары 

шектеулі  немесе  шектеусіз  болып 

келген  элементтердің  қосындысы 

мен кӛбейтіндісін есептеу үшін: 

 

Calculus 



(Вычисления) 

панелін 


сәйкес 

символдарды (қосынды мен 

кӛбейтінің)  енгізу  үшін 

қолдана  отырып  ӛрнекті 

енгізіңіз,  қажет  жағдайда 

шексіздік  символын  енгізу 

үшін  ++ 

пернелерін қолданыңыз; 

 

символдық  есептеудегі  қандай  түрді  қалауыңызға  байланысты  Symbolics/Simplify 



(Символика/Упростить) 

командасын 

орыңыз,  немесе  символдық  шығару 

операторын «→»  қолданыңыз. 

 

Қатарлар 



мен 

кӛбейтінділерді 

символдық 

есептеу 


мысалдары 

5.9-10 


листингтерде келтірілген. 

 

Қарапайым 



(элементарлық) 

бӛлшектерге  жіктеу  (Convert  to  Partial  Fractions).  Күрделі  бӛлшекті  қарапайым 

бӛлшектерге 

жіктеу 

үшін 


Symbolics/Variable/Convert 

to 

Partial 

Fractions 

(Символика/Переменная/Разложить  на  элементарные  дроби)  командасын,  болмаса 

parfrас кілттік сӛзін ӛолданады (5.11 листингі). 

 

Егер бірінші  әдісті қолданатын болсаңыз онда команданы таңдамас  бұрын жіктеу 



жүргізілетін  айнымалыны  белгілеуді  ұмытпаңыз.  Егерде  екінші  әдісті  қолданатын 

болсаңыз, онда жіктеу жүргізілетін айнымалының атын parfrас сӛзінен кейін енгізіңіз. 

 

Айнымалының мәнін орнына қою (Substitute). Меню арқылы мәнін орнына қою 

операциясы тӛмендегідей жүргізіледі (5.12 сурет): 

 

ӛрнекке  қоятын  айнымалының  мәнін  белгілеңіз  (айнымалының  мәні  кез  келген 



ӛрнек  болуы  мүмкін,  5.12  суретте  орнына  қоятын  айнымалының  мәні  ретінде 

құжаттың бірінші жолы алынған); 



55 

 



 

айнымалының 

мәнін 

алмастыру 



буферіне  жіберіңіз  (скопируйте),  мұны 

+  пернелері  арқылы  немесе 

Standard  (Стандартная)  панеліндегі 

Сору  (Копировать)  пернелерін  басу 

арқылы істеуге болады. 

 

алмастырылуға  тиісті  айнымалыны 



белгілеңіз (5.12 суретте екінші  жолда  х 

айнымалысы белгіленген); 

 

Symbolics/Variable/Substitute 



(Символика/Переменная/Подставить) 

командасын орындаңыз. 

 

Осы 


операциялар  нәтиежесі 

5.12 


суретте кӛрсетілген. Ал шығару операторының 

символын  қолданып  арқылы  орындау  үшін 



Symbolic  (Символика)  панеліндегі  substitute 

пернесін  қолдану  керек.  Енгізілген  substitute 

сӛзінен 

кейін 


орынкӛрсеткішіне 

қай 


айнымалыны  қандай  формуламен  алмастыру 

керектігін кӛрсететін логикалық ӛрнекті енгізу 

керек (5.12 листингі). 

 

Матрицалық 



алгебра.Mathcad 

редакторы әртүрлі матрицалық операцияларды 

символдық 

түрде 


орындай 

алады. 


Операциялар 

мен 


функциялардың 

кӛбі 


матрицалермен  жұмыс  істегенде  сандармен 

жұмыс  істегендей  сияқты  қылып  істейді. 

Осыны  ескере  отырып  бұрын  қарастырып 

кеткен  символдық  есептеулер  менюіндегі  (Simplify) 

командасын қолдануға болады. 

 

Сонымен  қатар  тек  матрицалық  алгебраға  тән 



операциялар 

бар, 


оларды 

Symbolics/Matrix 

(Символика/Матрица)  менюінің  пунктері  арқылы, 

немесе (Символика) панеліндегі матрицаларға қатысты 

пернелер  арқылы  ұйымдастыруға  болады  (5.2  сурет). 

Бұлар тӛмендегі операциялар: 

 

Транспонирование (Transpose); 



 

Кері матрица (Invert); 



 

Анықтауыш (Determinant). 



 

Матрицалық 

алгебрадағы 

операциялар 

орындалу  реті  кәдімгі  скаляр  шамалармен  жасалатын 

операциялардың  орындалу  реті  сияқты  екенін 

ұмытпаңыз. 

Операцияны 

қолдану 

алдында 


матрицадағы операция қолданылатын ӛрнекті белгілеу 

керек екенін естен шығармаңыз. 

 

 

 



 

56 

 

 



Математикалық анализ 

 

 



Дифференциалдау 

(Differentiate). 

Ӛрнекті 


оның 

айнымалысымен 

дифференциалдау  үшін  (яғни 

онық 


туындысын 

табу 


дегенмен 

парапар) 

ол 

айнымалыны  белгілеп  алып 



Symbolics/Variable/Differentiate 

(Символика/Переменная/Дифф

еренцировать) 

командасын 

орындау керек (5.13 сурет). 

 

Нәтиежесінде 



келесі 

жолда  оның  туындысының 

мәні  шығады.  Екінші  ретті 

туындыны  табу  үшін  сол 

табылған  туындыға  жоғарыда 

айтылған  операцияны  қайта 

қолданады. 

Жоғарғы 


ретті 

туындылар осы әдіспен әрі қарай жалғастырылып табыла береді. 

 

Интегралдау  (Integrate).    Ӛрнектің  сол  ӛрнектегі  бір  айнымалы  бойынша 

анықталмаған  интегралын  табу  үшін  қрнектегі  сол  айнымалыны  белгілеп  алып 



Symbolics/Variable/Integrate 

(Символика/Переменная/Интегрировать) 

командасын 

орындау  керек  (5.14  сурет). 

Анықталмаған  интеграл  мәні 

тӛменіректе 

пайда 


болады. 

Нәтиежесінде 

Mathcad 

тың 


функцияларымен  қатар  Mathcad 

арқылы 


тікелей 

есептей 


алмайтын  арнайы  функциялар 

қолданылуы  мүмкін.  Бірақ  ол 

функцияларды  тікелей  есептей 

алмағанмен 

оларды 

анықталмаған 



интеграл 

есептеудің  жауабында  кӛрсете 

алады. 

 

Интегралдау  операциясы 



туралы толығырақ кейінде сӛз болады. 

 

Қатарға жіктеу (Expand to Series).Mathcad редакторының символдық процессоры 

функцияны  Тейлор  қатарына  жіктей  алады  (мысалы  х  айнымалысы  бойынша  х=0 

нүктесінің  маңында  a



0

+a

1

x+a

2

x

2

+a

3

x

3

+...  түріндегі  қатарға  жіктейді,  егер  х=0  нүктесінде 

функцияның ерекшеліктері бар болса Лоран қатарын алады). 

 

Қатарға жіктеу үшін тқмендегі операциялар істеуге болады: 



ӛрнекті енгізіңіз; 

қатарға жіктейтін айнымалының мәнін белгілеңіз; 



Symbolics/Variable/Expand  to  Series  (Символика/Переменная/Разложить  в  ряд) 

командасын орындаңыз (5.15 сурет); 

шыққан  тілдесу  терезесінен  (5.16  сурет)  жуықтаудың  қажет  деп  тапқан  мәнін  (Order  of 

Approximation) таңдап алып ОК пернесін басыңыз. 

 

Есептеу нәтиежесі ӛрнектің астына жазылады (5.17 сурет). 



57 

 

 



Қатарға  жіктеу  тек  қана  х=0  нүктесінің  аймағында  жүргізілетінін  естен 

шығармаңыз.  Ал  енді  басқа  нүкте  аймағында  есептеу  үшін,  мысалы  х=а  нүктесінінің 

аймағында,  онда  х  айнымалысының  орнына  х-а  айнымалысын  енгізетін  түрлендіру 

қолданады. 

 

Ал  енді  қатарға  жіктеуді  шығару  операторы  символы  арқылы  жүргізу  үшін 



Symbolic (Символика) панелі арқылы енгізілетін кілттік series сӛзін қолданады. Бұл сӛзден 

кейін  үтір  қойып  жіктеу  жүргізілетін  айнымалының  атын  жазады,  жуықтап  есептеу 

дәлдігін кӛрсетеді (5.13-14 листингтері).  

 

5.18  суретте  функциялар 



мен  оның  жіктелулерін  әртүрлі 

дәлдіктер 

үшін 

(k=b=i) 

кӛрсетілген.  Жіктеу  дәлдігі  х=0 

нүктесінің 

аймағында 

жақсы 

жұмыс  үстейтінін,  ал  ол  нүктеден 



қашықтаған  сайын  дәлдіктің  азая 

беретінін кӛруге болады. 

 

Теңдеулерді  шешу  (Solve). 

Редактордың  кӛмегімен  ӛрнекті 

нольге 

айналдыратын 



айнымалының  аналитикалық  мінін 

табуға болады. Бұл үшін: 

 

ӛрнекті енгізіңіз; 



58 

 



 

ӛрнекті  нольге  айналдыратын  теңдеуді  шешкен  кезде  табу  керек  айнымалыны 

белгілеңіз; 

 



Symbolics 

(Символика) 

менюінен  Variable/Solve 



(Переменная/Решить) 

пунктін  таңдап  алыңыз 

(5.19 сурет). 

 

Алгебралық  теңдеулерді 



символдық  түрде  шешу  кейінгі 

тақырыптарда 

толық 

қарастырылады. 



 

Фурье 

түрлендіруі 

(Fourier).  Фурье  түрлендіруі  f(х) 

функциясын 

Фурье 

интегралдары 



деп 

аталатын 

гармоникалық 

функцияның 

интегралы арқылы ӛрнектейді. 

 

5.20  суретте  Фурье  түрлендіруінің  аналитикалық  есептелуі  кӛрсетілген.  5.15 



листингінде  Фурье  түрлендіруін  fourier  кілттік  сӛзбен  шығару  операторының  кӛмегі 

арқылы  есептеуге  екі  мысал  келтірілген.  5.16  листингте  алдыңғы  мысалда  берілген 

функцияның бірі үшін кері Фурье түрлендіруін табу кӛрсетілген. 

 

Символдық  процессордың  қосымша  мүмкіндіктері.  Жоғарыда  символдық 

есептеулердің негізгі әдістері сӛз болды. Ол әдістер қарапайым мысалдар үшін кӛрсетілді. 

Бірақ  әртүрлі  сандық  немесе  символдық  есептер  шығарғанда  символдық  процессордың 

мүмкіндігі ӛте кӛп. 

 

Олардың  бірі  құжаттың  жоғарғы  жағында  анықталған  пайдаланушының 



функциясы мен айнымалыларды қолдану.  Mathcad редакторының символдық процессоры 

олармен дұрыс жұмыс істей алады. Сондықтан пайдаланушы жаңадан функциялар енгізу 

арқылы  символдық  процессордың  мүмкіндігін  кӛбейте  алады.  Пайдаланушының 

функциясын  қолдану  мысалдары  5.19-20  листингтерде  кӛрсетілген.    Осы  листингтерді 

салыстырсаңыз,  символдық  шығару  операторының  сол  жағындағы  ӛрнектер  бірдей 

болғанымен  есептеу  нәтиежелері  әртүрлі.  Мұның  себебі  5.20  листингінде  алдын  ала  х 

айнымалысына  4  мәні  берілген  болатын.  Ал  айнымалының  мәні  символдық  есептеуге 

әсерін тигізетін болғандықтан есеп нәтиежесі  х айнымалысына  4 мәні  берілгенін ескеріп 

шығарылады. 

 

Ал керісінше Symbolics (Символика) менюі арқылы символдық операциялар істеген 



кезде символдық оператор енгізу сызығының тӛңірегінен басқа еш нәрсені кӛре алмайды. 

59 

 

Сондықтан бұл кезде пайдаланушының функциясы да, айнымалыға бұрын беріген мән де 



ескерілмейді. 

 

Сондықтан осы мәселелерді есеп шығарғанда ескерген дұрыс. 



 

Программалау (программирование) 

 

 



Mathcad  тың  бұрынғы  нұсқаларында  (версиялары)  программалау  тілі  болған  жоқ. 

Сондықтан  шартты  тексеру,  цикл  ұйымдастыру  сияқты  операцияларды  қолдану  үшін 

әртүрлі  қулықтарға  баруға  тура  келген  болатын.  Мысалы  6.1  листингте  кӛрсетілгендей 

if,until және реттелген (ранжированные) айнымалыларды қолданған болатын (6.2 листинг). 

 

Қазір 



until 

функциясын 

қолдану 

құпталмайды,  дегенмен 

ол  функция  Mathcad  та 

бар ескірген функциялар 

қатарына жатады. 

 

Жалпы 



алғанда 

реттелген 

айнымалыларды 

цикл 


жасауда 

қолдану 


Mathcad 

тың 


күшті 

құралдарының  бірі  болып  есептеледі,  кӛп  жағдайда  программалауды  қолданбай  осы 

реттелген айнымалылар арқылы ақ есепті шешуге болады. 


Каталог: books
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді Жайлыбай F. Таңдамалы. Астана: Фолиант, 2014
books -> Орынбасар Дөңқабақ ДӘуір дүЛДҮлдері
books -> Бағдарламасы бойынша шығарылды Редакция алқасы: С. Абдрахманов, Н. Асқарбекова, Р. Асылбекқызы
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді
books -> Ұлы дала тұЛҒалары қҰдайберген
books -> Редакция ал қ
books -> Ббк 84 Қаз-7 82 Қазақстан Республикасының Мәдениет және ақпарат министрлігі Ақпарат және мұрағат комитеті «Әдебиеттің әлеуметтік маңызды түрлерін басып шығару»
books -> Анықтамалық Е. Тілешов, Д.Қамзабекұлы Алматы, 2014 «Сардар» Баспа үйі

жүктеу 0.93 Mb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет