Ii-халықаралық Ғылыми конференцияның жинағЫ



жүктеу 5.01 Kb.
Pdf просмотр
бет18/45
Дата07.05.2017
өлшемі5.01 Kb.
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   45

 
ЛИТЕРАТУРА 
1. Bardeеn J., Cooper L., Schriffer J. Theory of Superconductivity // Phys.  Rev. – 1967. – Vol.108. 
– Р. 1175-1204. 
2.  Даутов Л.М. Квантово-статистическая модель сверхпроводимости.  
I. Основы подхода // Изв. АН КазССР. Серия физ.-мат. – 1988. – № 6. – С. 27-33. 
3.  Калауов Б.П. Математическая модельопределения максимально возможной температуры и 
коэффициентов электрон-фононного взаимодействия сверхпроводимости. Автореф. канд. дисс. ИММ 
МОН РК, Алматы. – 2010. – 19 с. 
4.  Савельев И.В. Курс физики. –М.: Наука,1989. – Т. 3. –304 с. 
5.  Максимов  Е.Г.,  Мотулевич  Г.П.  Об  определении  константы  электрон-фононной  связи  из 
оптических измерений // ЖЭТФ. – 1971. –Т.61. – С. 414-418. 

125 
6. Hopfield J.J. Mechanism of electron-phonon interaction at superconductivity // Comm. Sol. St.
Phys. – 1970. – Vol. 3. – Р. 48-55. 
7. Элиашберг  Г.М.  О  «кислородной»  картине  высокотемпературной  сверхпроводимости //
Письма в ЖЭТФ. – 1988. –Т. 48. – С. 275-278.  
8. Абдикасова  А.А.  Свойства  сверхпроводников  по  квантово-статистической  модели.
Автореф.  канд. дисс. ФТИ МН АН РК, Алматы. – 1998. –21 с. 
АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫ  ЖУЫҚТАП  
ЕСЕПТЕУДІҢ ЖАҢА ƏДІСІ  
Е.Ə. Қасымов  
Қ.И.Сəтбаев атындағы Қазақ ұлттық техникалық университет, Алматы қаласы 
The article deals the new method of open type quadrature formula Newton-Kotes for approximate 
calculation of definite integral. 
 Интегралдау аралықты тең бөліктерге бөлгенде интерполяциялау түйіндер 
ih
c
x
i



n
.
1

өрнектен  анықталсын,  мұнда 
,
c
a



h
n
a
b
1



0

h
-қадам.  Бұл  жағдайда,
интегралдау аралықтың 
a
 мен 
b
 нүктелері интерполяциялау түйіндер емес    жəне интегралдау
аралық  тең 
n
 +1
  бөлікке  бөлінеді.  Осылайша, 
[
a,b
]
-интегралдау  аралықты  тең  бөліктерге  бөлетін
 
интерполяциялау  түйіндер  арқылы  анықталған  интегралды  жуық  шамамен  есептейтін  формулалар 
Ньютон-Котестің ашық типті квадратуралық формулалары 
деп аталады.
Интегралдау  аралықты 
ih
c
x
i



1
2
1


m
.
i

,...
,
,
m
3
2
1

-нүктелермен  тең
бөліктерге  бөлейік,  онда  интегралдау  аралық  тең 
2
2

m
  бөлікке  бөлінеді,  яғни 
1
2

 m
n
,
мұндағы  
a
 мен 
b
 нүктелер интерполяциялау түйіндер емес, ал  
,
x
i
1
2
1


m
.
i
-интерполяциялау
түйіндер.  
Интеграл  астындағы 
 
x
f
  функцияның 
 
b
,
a
-интегралдау  аралықта 


 
x
f
3
2

,
,...
,
,
m
3
2
1

-ретті үзіліссіз туындылары бар болсын деп ұйғарайық.
     Анықталған интегралды Ньютон-Котестің ашық типті квадратуралық формуласымен 
жуықтап есептейік: 
 
 





 
 
 













...
x
f
C
x
f
C
x
f
C
h
m
dx
x
f
dx
x
f
h
m
c
b
c
a
b
a
3
3
2
2
1
1
2
2
2
2





 
f
R
x
f
C
x
f
С
A
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
2
2






,
    (1)   
мұндағы 


,
h
m
с
b
,
с
a
2
2




  ал 
1
2
1




m
.
i
,
ih
c
x
i
-интерполяциялау
түйіндер, 
 
1
2
1


m
.
i
,
x
f
i
-интеграл  астындағы 
 
x
f
  функцияның 
i
x
x


 c
ih

интерполяциялау 
түйіндердегі 
белгілі 
мəндері, 
C
i
 
,
i
 =1.2m +1
-квадратуралық 
формуланың
іздестіріп  отырған  белгісіз  коэффициенттері, 
R
2
A
m
 +1
 (
f
 
)
-квадратуралық формуланың бағалау
керек  қалдық  мүшесі,  ал 
i
x
-түйіндер  мен 
i
C
-белгісіз  коэффициенттер  интеграл  астындағы
функцияның қай кластағы функ-ция болатынына тəуелсіз. 
Ашық  типті  квадратуралық  формуланың 
i
C
-белгісіз  коэффициенттері  мен 
 
f
R
A
1
2

-
қалдық  мүшесін  жаңа  əдіспен  бағалау  үшін,  жаңа 
 
h
F
  функцияны  мына  формула  түрінде
енгізейік: 

126 
 
 




 
 

 











3
3
2
2
1
1
2
2
2
2
x
f
C
x
f
C
x
f
C
h
m
dx
x
f
h
F
h
m
c
b
c
a





1
2
1
2
2
2





m
m
m
m
x
f
C
x
f
C
...
,
 (2)       
мұндағы 
1
2
1




m
.
i
,
ih
c
x
i
.
Енді (2) формуладағы 
 
h
F
  функцияны 
0

h
  нүктенің  маңайында  Маклорен  формуласы
бойынша жіктейік: 
 
 
 
 
 
 
 
 


 












1
2
1
2
3
3
2
2
1
1
2
0
3
0
2
0
1
0
0
m
m
h
!
m
F
...
h
!
F
h
!
F
h
!
F
F
h
F


 




 


3
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
0









m
m
m
m
h
!
m
h
F
h
!
m
F
,       
     (3)  
мұндағы 
 
1
0
0
0



 ,
F
.
 
h
F
 функциядан  
h
 бойынша  
3
2

m
  рет туынды алайық:
 
  










h
m
c
f
m
h
F
2
2
2
2
1












h
c
f
C
h
c
f
C
m
2
2
2
2
1





h
c
f
C
3
3
…+








h
m
c
f
C
m
1
2
1
2



 mh
c
f
C
m
2
2










h
m
c
f
C
m
1
2
1
2


 






h
c
f
C
h
m
1
1
2
2
 



 h
c
f
C
2
2
1
2
 





h
c
f
C
3
3
1
2
…+


 









h
m
c
f
C
m
m
1
2
1
2
1
1
2
 



 mh
c
f
mC
m
2
2
1
2


 











h
m
с
f
C
m
m
1
2
1
2
1
1
2










h
m
с
f
m
2
2
2
2










1
2
1
2
2
m
i
i
ih
c
f
C
m


 


ih
c
f
C
i
h
m
i
m
i







1
1
2
1
2
2

 
 
h
F
2


 



 

 















1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
m
i
i
ih
c
f
C
i
m
h
m
c
f
m


 


,
ih
c
f
C
i
h
m
m
i
i







1
2
1
2
2
2
2
 
  

 



 

 















1
2
1
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
m
i
i
ih
c
f
C
i
m
h
m
c
f
m
h
F


 


,
ih
c
f
C
i
h
m
m
i
i







1
2
1
3
3
2
2
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . .  .  .  .  .  .  . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  


  

 











h
m
c
f
m
h
F
m
m
m
2
2
2
2
2
1
2
1
2

 

 











1
2
1
2
2
1
2
2
2
m
i
m
i
m
ih
c
f
C
i
m
m













m
i
m
i
m
ih
c
f
C
i
h
m
2
1
1
2
1
2
2
2



  















h
m
c
f
m
h
F
m
m
m
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2

127 

 

















1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
m
i
m
i
m
ih
c
f
C
i
m
m






ih
c
f
C
i
h
m
m
i
m
i
m









2
2
1
2
1
2
2
2
2



  















h
m
c
f
m
h
F
m
m
m
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2

 

















1
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
m
i
m
i
m
ih
c
f
C
i
m
m






ih
c
f
C
i
h
m
m
i
m
i
m









3
2
1
2
1
3
2
2
2
.       
  (4) 
Алдымен  ашық  типті  квадратуралық  формуланың 
i
C

1
2
1


m
.
i
-белгісіз
коэффициенттерін табайық ол үшін, 
0

h
 болғанда
 
 
1
2
1
0
0



m
.
k
,
F
k
  (5) 
теңдіктері  орындалсын  деп  ұйғарайық.  Онда, (4) мен (5) өрнектерден 
i
C

1
2
1


m
.
i
-
белгісіздері  бар  біртекті  емес  сызықты  алгебралық  теңдеулер  жүйе  аламыз  жəне  ол  жүйенің 
анықтауышы Вандермонд анықтауыш болады:  


 


 




 




 











































































.
m
m
C
m
C
m
...
C
C
C
,
m
m
C
m
C
m
...
C
C
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
m
C
m
C
m
...
C
C
C
,
m
C
m
C
m
...
C
C
C
,
m
С
С
...
С
С
С
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
3
2
3
2
2
1
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
1
1
2
2
3
2
1
0
1
2
2
3
2
1
  (6) 
Жүйенің 
i
C
-белгісіз коэффициенттерін Крамер əдісімен шешейік:
1
2
1





m
.
i
,
C
C
C
i
i
,
 (7) 
мұндағы 

128 
 


 


 


m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
.
.
.
i
.
.
.
m
m
.
.
.
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
m
.
.
.
i
.
.
.
m
m
.
.
.
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
2
1
1
2
2
3
2
1
1
2
2
3
2
1
1
2
2
3
2
1
1
1
1
1
1
1











-        
Вандермонд  анықтауыш,  мұндағы 
С
i
 
,
  i    =0.2m
-анықтауш 
C
-Вандермонд
 
анықтауыштың 
i
 
-тік жол элементтерін жүйенің сəйкес бос мүше элементтерімен орын алмастырғанда 
алынған анықтауыш, яғни 


 




 




 


m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
i
m
m
.
.
.
m
m
.
.
.
m
m
.
.
.
m
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
m
.
.
.
m
.
.
.
m
m
.
.
.
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
3
2
1
1
2
2
2
2
2
3
2
1
1
2
2
3
2
2
3
2
1
1
2
2
2
2
2
3
2
1
1
1
1
1
1
1

















(7)  формуладан  анықталған 
i
C
  коэффициенттерді 
i
B
  таңбамен  белгілейік,  яғни 
i
i
C
B

,
1
2
1


m
.
i

олар
нақты 
сандар 
əрі 
олардың 
қосындысы 
бірге 
тең: 
2B
1
 
 +2B
2
 
 +
... +2B
m
−1
 
 +B
m
 
 =1
 бірдей қашықтықта орналасқан 
B
i
 коэффициенттер тең:
m
m
m
m
m
m
B
,
B
B
,...,
B
B
,
B
B
,
B
B
1
1
1
2
3
2
2
1
2
1








,
Сонда сəйкес (1), (2) формулалардан: 
 
 




 
 













...
x
f
B
x
f
B
h
m
dx
x
f
dx
x
f
h
m
c
b
c
a
b
a
2
2
1
1
2
2
2
2





 
,
f
R
x
f
B
x
f
B
A
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
2
2






     (8)  
 
 




 
 













...
x
f
B
x
f
B
h
m
dx
x
f
dx
x
f
h
m
c
b
c
a
b
a
2
2
1
1
2
2
2
2





 
h
F
x
f
B
x
f
B
m
m
m
m





1
2
1
2
2
2
.                                  (9)
Жоғарыда, (3) формуладағы 
 
 
h
F
k

1
2
1


m
.
k
  туындылар 
0

h
  нүктеде  нөлге  тең
болсын деп ұйғарып, квадратуралық формуланың 
C
i
 белгісіз коэффициенттерін анықтадық, енді
қалғандарын, яғни  


 
h
F
2
2

 туындыны 
0

h
 нүктеде, ал 


 
h
F
m

3
2
 туындыны 
0

h
-
да қарастырайық. Сонда, 
0

h
-да (4) формуладан

129 


  






 
0
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2



















c
f
A
i
m
m
m
h
F
m
m
i
i
m
m
m
,   (10) 
мұндағы квадрат жақша ішіндегі арифметикалық өрнекті Maple-пакет программаны 
пайдаланып есептейміз, ал 
h
  →0
-да мына теңдікті аламыз:


  






 
 





















h
O
c
f
B
i
m
m
m
h
F
m
m
i
i
m
m
m
2
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2


 
 
h
O
c
f
A
m
m





2
2
1
2
,       
     (11) 
мұндағы  






















1
2
1
2
2
3
2
1
2
3
2
2
2
2
2
m
i
i
m
m
m
B
i
m
m
m
A
  (12) 
квадрат жақша ішіндегі нақты санды Maple-пакет программаны пайдаланып есептейміз.  
     Сонымен, (5) жəне (10) теңдіктерді ескеріп, (3) формуладан: 
  



 
h
F
!
m
h
h
F
m
m





3
2
3
2
3
2
.       
 (13) 
 
 
h
F
f
R
A
m

1
2
.       
    (14) 
 
  



 
h
F
!
m
h
h
F
f
R
m
m
A
m







3
2
3
2
1
2
3
2
.       
   (15) 
Енді (13) формуланы ескеріп, (8) мен (9) формулаларды салыстырайық, сонда 
 
 




 
 
 














...
x
f
B
x
f
B
x
f
B
h
m
dx
x
f
dx
x
f
h
m
c
b
c
a
b
a
3
3
2
2
1
1
2
2
2
2





 
f
R
x
f
B
x
f
B
A
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
2
2






,
   (16) 
мұндағы   
 
  



 




 
 


h
O
c
f
!
m
h
A
h
F
!
m
h
h
F
f
R
m
m
m
m
m
A
m















2
2
3
2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2

1
2
1




m
.
i
,
ih
c
x
i
,
2
2



m
a
b
h

,...
,
,
m
3
2
1

     (17) 
     Қалдық  мүшеcі (17) формуладан  анықталатын (16) формула  Ньютон-Котестің 
жалпыланған ашық типті квадратуралық формуласы деп аталады.  
Енді, жоғарыда қарастырылған əдісті 
m
    =3
, яғни 
n
    =7
 болған жағдайдағы Ньютон-
Котестің ашық типті квадратуралық формуласының белгісіз коэффициенттері мен қалдық мүшесін 
есептейік.  Бұл  жағдайда  интегралдау  аралық 8 тең  бөлікке  бөлінеді  жəне 
ih
c
x
i


 
b
,
a

-
интерполяциялау  нүктелер, 
7
1,
i


 
b
,
a
-интегралдау  аралықтың  шеткі 
с
a

  мен 
h
с
b
8


нүктелері интерполяциялау нүктелер емес. Бұл жағдайда, (1) формуладан 
n
  =7
 
болғандағы
 Ньютон-
Котестің ашық типті квадратуралық формуласын аламыз:   
 
 
 
 
 

 











4
4
3
3
2
2
1
1
8
8
x
f
С
x
f
С
x
f
С
x
f
С
h
dx
x
f
dx
x
f
h
c
b
c
a
b
a
 
 
 

 
f
R
x
f
С
x
f
С
x
f
С
O
7
7
7
6
6
5
5




.       
(
1
)
(
1′
) квадратуралық формуланың белгісіз коэффициенттеріны (6) формуладан табамыз:

130 






































































.
С
С
С
С
С
С
С
,
С
С
С
С
С
С
С
,
C
C
C
C
C
C
C
,
C
C
C
C
C
C
C
,
C
C
C
C
C
C
C
,
C
C
C
C
C
C
C
,
C
C
C
C
C
C
C
7
8
7
6
5
4
3
2
6
8
7
6
5
4
3
2
5
8
7
6
5
4
3
2
4
8
7
6
5
4
3
2
3
8
7
6
5
4
3
2
2
8
7
6
5
4
3
2
1
8
6
7
6
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
5
7
5
6
5
5
5
4
5
3
5
2
5
1
4
7
4
6
4
5
4
4
4
3
4
2
4
1
3
7
3
6
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
1
7
6
5
4
3
2
1
0
7
6
5
4
3
2
1
(
6
)
Осы жүйеден Ньютон-Котестің белгісіз коэффициенттерін табамыз 
( анықталған 
коэффициенттерді [1, 176 бет.] оқулықтакелтірілген коэффициенттер-мен салыстыруыңызға болады): 
945
2459
945
2196
945
954
945
460
4
5
3
6
2
7
1









C
,
C
C
,
C
C
,
C
C

i
i
A
C

.
Енді 
0

h
(10) теңдікті тексерейік:
 
 
 
 
 
 








7
1
7
7
7
8
8
8
8
8
0
i
i
c
f
C
i
c
f
F
=


















945
460
7
945
954
6
945
2196
5
945
2459
4
945
2196
3
945
954
2
945
460
8
8
8
7
7
7
7
7
7
8
 
 


c
f
7








171562500
40288256
4802652
122112
460
945
64
8
8


 
 
c
f
7
780
378829
267058944





 
 






c
f
7
8
312
307469
555195392
945
64
8

 
 





c
f
7
0
24777268
945
64
16777216


 
 
0
16
167772
16777216
7


c
f
. (
0
1 
)
(11) формуладан 
0

h
 
 
h
F

9
-өрнекті есептейік:
 
 








945
460
9
8
8
9
9
h
F
945
954
2
8







945
2459
4
945
2196
3
8
8
945
2196
5
8











845
460
7
945
954
6
8
8
 
 
 


h
O
c
f
8















2196
390625
2459
65536
2196
6561
954
256
460
945
9
8
8
9

131 


460
5764801
954
1679616




 
 
 


h
O
c
f
8











857812500
161153024
14407956
244224
460
945
9
8
8
9


2651808460
1602353664


 
 
 


h
O
c
f
8









912
1763750
3524029376
945
9
8
8
9
 
 
 


h
O
c
f
8






945
08
1267400494
134217728
 
 
 


h
O
c
f
8
 
   
h
O
c
f

8
945
95703552
.  (
1
1 
)
Онда (15) формуладан  Ньютон-Котестің  квадратуралық  формуласының  қалдық  мүшесін 
табамыз  (анықталған  қалдық  мүшені [1, 182 бет.]  оқулықта  келтірілген  қалдық  мүшемен 
салыстыруыңызға болады): 
 
 
 
 






h
O
c
f
h
!
f
R
O
8
9
7
9
945
95703552
 
 
 


.
h
O
c
f
h

8
9
14175
3956
.        (
5
1 
)
Сонымен, 
7

n
 болғандағы Ньютон-Котестің ашық типті квадратуралық формуласы мына
түрде анықталады:  
 


















h
c
f
h
c
f
h
c
f
h
dx
x
f
h
c
b
c
a
3
2196
2
954
460
945
8
8


















h
c
f
h
c
f
h
c
f
h
c
f
7
460
6
954
5
2196
4
2459
 
f
R
O
7
, (
6
1 
)
мұндағы 
 
 
 
 


.
h
O
c
f
h
f
R
O


8
9
7
14175
3956
.       
(
7
1 
)
Жоғарыда қорытылып шығарылған  (
16′
) Котестің квадратуралық формуласымен
 анықталған 
интегралдың  сандық  мəнін  есептегенде  жуықтау  қатені  ке-міту  керек  болады.  Ол  үшін,  (
16′

квадратуралық формуланы барлық  
[
a,b
]
 аралыққа бірден қолданбай интегралдау аралықты
ара  қашықтығы 
l
a
b
h
8


-ге  тең, 
,...
,
,
l
3
2
1

,  
ih
x
x
i
8
0


,  түйіндер  нүктелермен   
l
8
  тең
бөліктерге  бөліп,  əрбір   


1

i
i
x
,
x
-дербес  интегралдау  аралыққа  (
6
1 
)  мен  (
7
1 
)  формулаларды
пайдалансақ, онда (
16′
) квадратуралық формуланың жуықтау қалдығын мейлінше азайтуға болады.
 
Ол үшін анықталған интегралды мына түрде жазайық:    
 





lh
x
b
x
a
dx
x
f
8
0
0
 




h
x
x
a
dx
x
f
8
0
0
 




h
x
h
x
dx
x
f
16
8
0
0
 




h
x
h
x
dx
x
f
24
16
0
0
…+
 







lh
x
b
h
l
x
dx
x
f
8
8
8
0
0
.     (
8
1 
)
Енді  (
8
1 
)  формуланың  оң  жағындағы  əрбір  анықталған  интегралға  (
6
1 
)  пен  (
7
1 
)
квадратуралық формуланы жеке-жеке пайдаланайық, сонда: 
 
dx
x
f
lh
c
b
c
a




8



















l
k
h
k
c
f
h
k
c
f
lh
1
6
8
945
954
7
8
945
460
8
 






















h
k
c
f
h
k
c
f
h
k
c
f
3
8
945
2196
4
8
945
2459
5
8
945
2196




h
k
c
f
2
8
945
954







 
,
f
R
h
k
c
f
O
l
7
1
8
945
460






(
9
1 
)
мұндағы  

132 
 
 
 
 


h
O
c
f
h
l
f
R
O
l


8
9
7
14175
3956

l
a
b
h
8



,...
,
,
l
3
2
1

(
0
2 
) 
Сонымен, қалдық мүшесі (
0
2 
) формуладан  анықталатын (
9
1 
) формула Ньютон-Котестің
7

n
 болғандағы ашық типті квадратуралық формуласы деп аталады.

жүктеу 5.01 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   45




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет