Ii-халықаралық Ғылыми конференцияның жинағЫ



жүктеу 5.01 Kb.
Pdf просмотр
бет15/45
Дата07.05.2017
өлшемі5.01 Kb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   45

 
ЛИТЕРАТУРА 
1. Беков А.А. Об устойчивости неавтономных динамических систем     
//  Известия МН-АН РК, серия физ.-мат., 1998, № 4, с. 57-60. 
2.  Беков  А.А.  Об  устойчивости  нестационарных  круговых  орбит  в  сопротивляющейся  среде           
// Тр. АФИ АН КазССР, 1981, т. 35, с. 50-54. 
3. Чанрасекар С. Принципы звездной динамики. М., ИЛ, 1948. 
4.  Демин  В.Г.  Движение  искусственного  спутника  в  нецентральном  поле  тяготения.  М., 
«Наука», 1968. 
5.  Беков  А.А.  Об  устойчивости    спиральных  орбит  в  нестационарном  осесимметричном 
гравитационном поле // Труды АФИ АН КазССР,  1982, т. 39. С. 42-46. 
 
 
ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ СКОРОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО 
ЛАЗЕРА С ОПТИЧЕСКОЙ ИНЖЕКЦИЕЙ 
 
Г. К. Байменшина  
 Казахский национальный технический университет имени К.И.Сатпаева, г. Алматы 
 
Bifurcation analysis of single-mode semiclassical semiconductor laser model with optical injection is 
performed. The correspondence between the hierarchy of bifurcations on the parameters plane and a 
sequence of bifurcations in the phase space is showed numerically. A slight increase in the parameter η leads 
to a qualitative change in the behavior of the system dynamics. 
 
Нестабильностьлазеровстала  широко  обсуждаемой  темой  в  квантовойоптике.  После 
успешных  работ  по  изучению  нелинейной  динамики [1-2]был  достигнут  значительный  прогресс  в 
применении  методов  нелинейной  динамики  в  изучении  лазерной  динамики [3]. В  качестве 
динамических  систем  были  исследованы  различные  модели  лазеров,  описываемые  нелинейными 

102 
 
дифференциальными  уравнениями.Одной  из  таких  моделей  являются  лазеры  с  оптической 
инжекцией.  Полупроводниковые  лазерыс  оптическойинжекциейпривлекаютбольшоевниманиеиз-за 
ихширокогопримененияво  многих  приложениях  оптоэлектроники,  таких  как  синхронизация  хаоса, 
применение  оптического  хаоса  в  криптографии.  Данная  система  может  обладать  разнообразием 
нелинейных динамическихповедений, в зависимости от изменения значений параметровлазера[4]. 
В  настоящей  работепроводится  бифуркационный  и  численный  анализ  системы  лазера  с 
оптической  инжекцией.  Рассматривается  влияние  изменения  параметра  расстройкичастоты  на 
характер динамики системы.  
Лазер  с  оптической  инжекцией  является  системой  из  двух  связанных  лазеров,  в  которой 
выходное электромагнитное поле ведущего лазера вводится в полость ведомого лазера через одну из 
его  частично  отражающих  граней.  Вводимое  поле  находится  почти  в  резонансе  с  колеблющимся 
полем  ведущего  лазера.  Система  диференциальных  уравнений,  описывающая  работу 
полупроводникового  лазера  с  оптической  инжекцией [3], можно  представить  в  следующем 
действительном виде: 
                                                                         (1) 
                                                                 (2) 
 ,                                                             (3) 
где E- амплитуда  электрического  поля,  N-концентрация  носителей  в  состоянии  выше 
порогового  уровня,  параметр  
– 
коэффициент  инжекции(injection strength),  - ширина  спектра 
лазерной  генерации   (linewidth enhancement factor),  - расстройка  частоты (detuningfrequency), T
представляет собой отношение времени жизни фотонов к времени жизни носителей, Р - ток накачки,
-разность  фаз ведущего(master) и ведомого (slave) электрических полей. 
Уравнение (3) описывает  эволюцию  амплитуды  электрического  поля, (4)- моделирует 
разность фаз электрических полей и (5)-изменение концентрации носителей в лазере. 
Для анализа поведения динамики лазера необходимо исследовать устойчивость стационарных 
состояний системы, установить наличие возможных бифуркаций. Стационарные решения Es, Ns и 
 
системы (1-3) вычисляются из выражений (4-6) соответственно: 
                                                              (4) 
              (5) 
                                                  (6) 
Стационарные  решения  кубичекого уравнения (7) N
s
  можно  вычислить  численно,  используя 
математический пакетMatlabи получитьсоответствующие стационарные решения E
s
и ψ
s. 
          Выпишем матрицу линеаризации системы(1-3).Она имеет вид:
 
 
 
 
Используя  обозначение , 
запишем  характеристический  полином  полученной 
матрицы: 
,                                                                                                       (7) 
где коэффициенты ABC равны следующим выражениям: 
 
 
 
Собственные 
значения 
полинома (7) находятся 
численно. 
Определив 
корни 
характеристического уравнения можно определить тип и устойчивость стационарных точек системы. 
cos
E NE





sin
/
N
E




  


2
(1 2 )
TN
P N
N E
   





s

2
(
) / (1 2
)
s
s
s
E
P N
N



3
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
(
2
)
(2
2
)
0
s
s
s
N
N
P
P
N
P
P








 

 

   
  
2
1
sin(
arctan )
s
s
E






 
2
(
)
J=
/
(2(1 2
) ) /
0
(1 2 ) /
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
N
E
N
E
N E
N
N E
T
E
T



 




 







 


1 / T


3
2
( )
p
A
B
C









1 2
2
1 2
s
s
P
A
N
N





2
2
1 2
(
)
2 (
) 2
1 2
s
s
s
s
s
P
B
N
N
P N
N
N





  




2
2
1 2
1 2
2
(
)(
) 2
(
)
(
)
1 2
1 2
s
s
s
s
s
s
s
s
P
P
C
N
P N
N
N P N
N
N
N











 



 



103 
 
Кубическое  уравнение (5) может  иметь 1 или 3 действительных  решений.  Происходит  так 
называемая  «седлоузловая»  бифуркация.  В  кубическом  уравнении  переход  изменения  состояния 
системы  с  одним  действительным  решением  в  состояние  с  тремя  действительными  решениями 
осуществится при следующем равенстве: 
 
,                   (8) 
 
 коэффициенты которого соответствуют следующим выражениям: 
,

,
 .    (9) 
 
Используя (8) и (9) построим  бифуркационную диаграмму  зависимости  параметров   Ω  и η , 
где  осуществляется    переход  системы  в  состояние  седло – узловой  бифуркации  для  физически 
реальных значений параметров >0, α = 5 и Р = 1(см рисунок 1). 
 
 
 
 
Найдем условие при котором произойдет бифуркация Хопфа. Известно, что при бифуркации 
Хопфа комплексная пара собственных значений (7) должна пересекать мнимую ось. Данный переход 
произойдет  при  наличии  одного  действительного  собственного  значения  и  комплексно - 
сопряженной пары
. Тогда многочлен запишется в виде: 
.                               (10) 
Сопоставляя (10) с исходным характеристическим многочленом (7), запишем коэффициенты 
многочлена при которых произойдет бифуркация Хопфа:
 , 


Отсюда следует, что пересечение собственных значений мнимой оси  произойдет при условии 
AB = C. Таким образом, система перейдет в новое состояние. Построим бифуркационную диаграмму 
зависимости параметров Ω и η, где осуществляется переход из состояния седло-узловой бифуркации 
в состояние бифуркации Хопфа(см. Рис. 1). Заметим, что частота появления периодических решений  
равна . 
 
Теперь,  используя  приближенные  численные  методы,  в  частности  метод  Рунге - Кутта 
четвертого  порядка,  приведем  результаты  численного  решения  скоростных  уравнений (1-3) и 
соответствующие им фазовые портреты. Следует установить , как изменение параметров бифуркации 
влияют  на  поведение  данной  системы.В  численном  анализе  используются  значения  параметров 
вышеупомянутых бифуркаций. В качестве параметра бифуркации используется сила инжекции η.  
Рассмотрим  значения  параметров  системы  Ω = -0,1, η = 0,02, соответствующие  положению, 
находящемуся  ниже  кривой  границы  седло-узловой  бифуркации(см.  Рис. 1). В  данном  случае 
кубическое  уравнение (5) имеет  один  действительный  корень  или  одно  положение  равновесия 
исходной  системы  дифференциальных  уравнений.  Решение  является  неустойчивым,  так  как 
2
2
2
3
3
3
3
(
)
(
)
0
3
3
3
b
b
ac
b
b
ac
b
b
ac
a
b
c
d
a
a
a
 

 

 



 
2
1
0
a

 

2
2
b
P
P


  


2
2
2
2
c
P




  
2
2
d
P


 

i
 

3
2
2
2
1
1
1
( ) (
)(
)(
)
p
i
i

    


 
   









1
A

 
2
B


2
1
C
 


B


Рис. 1. Бифуркационная диаграмма для системы уравнений (3-5). 
Кривая седло-узловой бифуркации(сплошная линия), кривая 
бифуркации Хопфа(пунктирная линия). 

104 
 
вещественные  части  собственных  значений    комплексно - сопряженной  пары  характеристического 
многочлена положительны. 
Увеличим  уровень  инжекции  η = 0,022, пересекающий  значение  границы  седло-узловой 
бифуркации.  Кубическое  уравнение  имеет 3 действительных  корня.  Согласно  полученным 
собственным  значениям  многочлена,  две  из  особых  точек  седло-узловой  бифуркации  устойчивые, 
третье  неустойчивое.  Устойчивое  решение  системы  в  фазовом  пространстве E-ψ-N  имеет  вид 
наматывающейся спирали (см. Рис. 2 а)). Фазовая траектория является устойчивым фокусом. 
Увеличим значение уровня нжекции η = 0,024, Согласно бифуркационной диаграмме ( Рис.1.), 
данное  положение    находится  выше  кривой  бифуркации  Хопфа.  При  данном  значении  параметра 
комплексная  пара  собственных  значений  пересекает  мнимую  ось.  Происходит  качественное 
изменение  фазового  портрета.  Система  переходит  в  колебательный  режим,  при  котором  кривая  в 
фазовом пространстве E-ψ-N, принимает вид предельного цикла (Рис. 2 б)). 
Таким  образом  устойчивое  состояние  седло-узловой  бифуркации  скоростных  уравнений 
лазера с оптической инжекцией при незначительном повышении параметра η переходит в  состояние 
периодических колебаний. 
Рассмотрим теперь положительные значения расстройки Ω, в частности Ω = 0,15 и η = 0,025. 
Система имеет одно неустойчивое решение, при котором вещественные части собственных значений 
комплексно - сопряженной парыхарактеристического многочлена положительны (Рис.1 в)). 
 Увеличим  значение  η = 0,03. Данные  значения  параметров,  согласно  бифуркационной 
диаграмме  (Рис. 1), соответствуют  положению  перехода  системы  в  состояние  седло-узловой 
бифуркации.  Однаков  этом  случае  состояние  седлоузловой  бифуркации  имеет  иной  характер, 
решения  являются  неустойчивыми  (см.  Рис. 2 г)).  Причина  состоит  в  том,  что  в  случае 
положительных  значений  расстройки,  определитель  Рауса - Гурвица  имеет  отрицательное  значение 
A<0. Согласно критерию устойчивости Рауса- Гурвица данное условие   не удовлетворяет условию 
устойчивости системы.  
Таким образом,  изменения, описанные на Рис. 1, осуществляются только для отрицательных 
значений расстройки. 
 
 
                                      а)                                                                             б) 
 
 
 
                                      в)                          
 
                                        г) 
Рис.2. Временные развертки и фазовые портреты системы уравнений (3-5), при различных значениях 
параметров Ω и η (α = 5, Р=1). 
 
0
500
1000
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
E
,N
=0.022,  = -0.1
0.9
1
1.1
0
0.5
1
-0.023
-0.022
-0.021
-0.02
-0.019
-0.018
-0.017
E
=0.022,  = -0.1

N
0
1000
2000
3000
4000
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
=0.024,  = -0.1
t
E
,N
0.9
1
1
0
0.5
1
-0.025
-0.024
-0.023
-0.022
-0.021
-0.02
-0.019
=0.024,  = -0.1
0
20
40
60
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
t
E
,N

=0.025, 

=0.15
0
10
20
30
-40
-20
0
20
-0.5
0
0.5
1
E

=0.025, 

=0.15

N
0
50
100
150
200
250
300
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
=0.03, =0.15
t
E,
N

105 
 
ЛИТЕРАТУРА 
1.  Guckenheimer. J, HolmesP. Nonlinear oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of 
Vector Fields. - Berlin.: Springer, 1983. – 484 с. 
2.  Strogatz S.H. Nonlinear dynamics and chaos. - Massachusetts.: Perseus books, 1994. - 498 с. 
3.  Erneux. T., Glorieux P. Laser Dynamics. - New York.:Cambridge University Press, 2010.– 361 с. 
4.  Saidi D. H., Kareem A. H. Instabilities and chaos in optically injected semiconductor lasers 
//Journal of Basrah Researches ((Sciences)). - 2012 . - №2 – с. 20-28. 
5.  Gavrielides A., Kovanis V., Erneux T. Coexisting periodic attractors in injection-locked diode 
lasers //Quantum Semiclass Opt. – 1997. - № 9. – с. 785-796. 
 
 
НОВОЕ ПОДПОРНОЕ СООРУЖЕНИЕ И МЕТОДИКА ЕГО РАСЧЕТА 
С УЧЕТОМ СЕЙСМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ 
 
Ж.Б.Байнатов
1
, К.Р.Тулебаев
2
, И.А.Базанова

1
 Казахский национальный техничсекий университет имениСатпаева, г.Алматы 
2
Проектный институт «Алматыгипрогор-1», г.Алматы 
3
 Казахская академия транспорта и телекоммуникаций им. Тынышпаева, г.Алматы 
 
Descriptions of a new design of a retaining wall and definition soil pressure taking into account 
seismic influence are provided in article. 
 
Разработанная  новая  конструкция  подпорной  стенки  в  форме  «ежа»  состоит  из  сборных 
бетонных  блоков  толщиной  и  шириной  по 40-50 см,  длиной 120 см.  Криволинейные 
противоположные  поверхности  блоков  снабжены  продольными  ребрами  (желобами),  а  торцевые 
стороны выполнены вогнутыми и выпуклыми, являющимися при монтаже шпонками. 
Вместо  продольных  ребер  могут  быть  шахматно    расположенные  зубья  (клинообразные 
небольшие выступы) [1]. 
По  высоте  вертикально-наклонное,  а  в  плане  прямое  или  криволинейное  расположение 
блоков создает сложную конфигурацию подпорной стены. 
Смещение  блоков  в  плане  вперед  и  назад  относительно  друг  друга  создает  универсальную 
конструкцию  стенки,  которая  может  принимать  форму  склона  или  откоса,  в  том  числе 
криволинейную в плане (рис.1). 
При  необходимости  блоки  монтируются  желобами  (ежи)  на  фасаде,  что  создает 
архитектурную  выразительность.  Кроме  того,  повышается  устойчивость  клина  от  сползания 
грунтового  массива  за  стенкой,  т.к.  желоба  препятствуют  свободному  смещению  грунта  по  стенке 
подпорного сооружения за счет трения (рис.1б). 
Криволинейные  (волнообразные)  расположения  стены  в  плане  (рис.1е)  повышает  эффект 
пространственной работы на сдвиг и опрокидывания всего подпорного сооружения. 
 
 
 
Рис.1 Универсальное подпорное сооружение 
а-вертикально-наклонное расположение стены; б-вертикальное 
расположение стены; в-форма блока; г-соединение блоков по вертикали; 
д-соединение блоков в плане; е-криволинейное расположение стены в плане; 
 

106 
 
Пре
состояния г
При
является по
внутренняя
области пр
является по
а) 
непрерывн
б)
напряженн
в) 
 
Под
проектиров
стен  в  рай
принимает
В п
 
едлагаемый 
грунтовой с
и определен
оверхностью
я  поверхнос
редельного р
оверхностью

ом напряже

ном состояни
, – п
дпорные  сте
ваться  с  уч
йонах  с  сей
ся равной 8 
приведенных
метод  рас
среды С.С.Г
нии бокового
ю скольжен
сть  скольже
равновесия (
ю скольжени
 – 
енном состо
 – кру
ии засыпки 
пологая стен
Рис. 2
ены  и  стены
четом  требо
йсмичностью
баллов. 
х критериях
счета  основ
Голушкевича
о давления 
ния (рис.2 а,
ения,  отделя
(рис.2 в). Сл
ия. При этом
крутая  ст
янии засыпк
тая стенка п
(рис.2 б); 
нка (рис.2 в)
. Расчетные с
ы  подвалов
ваний  норм
ю 7 баллов
х углы 
и 
ван  на  техн
а [2].  
грунта разл
) и пологи
яющая  прим
ледовательн
м возможны
тенка  с  обр
ки (рис.2 а)
при отсутст
). 
схемы крутых
 
в  в  районах 
мативных  д
в  расчетная 
 определя
нической  те
ичают крут
ие стенки, з
мыкающую 
но, в последн
ы три расчет
разованием

твии переход
х и пологих  
с  сейсмичн
окументов. 
сейсмично
яются по фор
еории  преде
ые стенки, у
за которыми
к  стенке  уп
нем случае 
тные схемы:
  переходно
дной зоны П
 
стенок 
ностью 7 и 
При  проек
ость  повыш
рмулам [3]: 
;              
ельного  нап
у которых з
и в засыпке
пругую  зону
задняя гран

ой  зоны  П
Прандтля и
более  балл
ктировании 
шается  на  од
                   
,
пряженного
адняя грань
 образуется
у  грунта  от
нь стенки не
Прандтля  и
 разрывном
лов  должны
подпорных
дин  балл  и
               (1)

о 
ь 
я 
т 
е 
и 
м 
ы 
х 
и 


 
где 
(подствляе
сейсмическ
вертикали 
 – угол тр
В  н
схемы  рис
состоянии 
Коэ
 
где 
расположен
Все
этом случа
Исп
коэффицие
этих  коэфф
давления.  Н
листах фор
-  угол  вн
тся  со  знак
-  уго
кой  силы; 
(подставляе
рения грунт
настоящей 
с.2  б – кру
засыпки. 
эффициенты
2
1


и - 
к
нной на пов
е приведенн
ае углы , 
пользуя  по
ентов
  и 
фициентов 
Найдя  из  та
рмата А4): 
нутреннего 
ком (+) пр
ол  отклонен
-  коэфф
ется со знак
та о стенку. 
статье  расс
утая  стенка 
ы бокового д
2








B
=arctg

коэффициен
верхности за
ные формулы
 и   след
олученные 
  для  расч
для  случая
аблиц    коэф
E
трения;
ри  поднима
ния  от  верт
фициент  сей
ком (+) при н
сматривают
при  отсут
давления: 
sin
sin
arcsin


(
cos
2
2
2

K
i=
tg
cos
co


K
g
нты  пассивн
асыпки. 
ы, в т.ч. и ф
дует подстав
алгоритмы
четных  схем
  пассивного
ффициенты 
2
1
2





h
E
–  угол  нак
ающемся  и 
тикали  равн
йсмичности;
наклоне от 
ся  крутые 
тствии  пере
;
n
n





2
1


 
 
; K=

cos
1
2

ctg
a
 
 
 
 


cos
os
1









ного  давлен
формулы 
влять со знак
ы  разрабо
м  (рис.2  а,б
о  давления 
и , 
д
;


;  
клона  пове
со  знаком
нодействующ
;  
– 
угол
грунта и со
стенки.  Пр
еходной  зон
2
2 






;
=









cos
cos
1


1
1




tg
g
 

cos
cos
cos






ния  от  собст
и   приме
ком (-).  
отана  прог
б)  и  составл
(
),
алее  опреде
;  E=
;  
z



ерхности  за
 (-) при  оп
щей  силы  в
л  наклона  з
 знаком (-) 
риведем  рас
ны II и  раз
arcsi




(
 

 







cos
cos
1



;



tg
 

;



,
1




 
твенного  ве
нимы и для
грамма  вы
лены  привед
,  а  так  же 
еляют  (табл

g





асыпки  к  г
пускающем
веса  и  гори
задней  гран
при наклон
счетные  фо
зрывном  на
sin
sin(
in










еса  грунта  и
я активного 
ычисления 
денные  дал
для  случая
лицы  состав
107
горизонтали
мся  откосе);
изонтальной
ни  стенки  к
е на грунт);
ормулы  для
апряженном
;




 
и  нагрузки,
давления, в
на  ЭВМ
лее  таблицы
я  активного
влены  на  12

и 

й 
к 

я 
м 

в 
М 
ы 
о 

1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   45




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет