И ю л ь 2015 Издаётся при поддержке Московского центра непрерывного математического образования (мцнмо)



жүктеу 342.95 Kb.
Pdf просмотр
бет2/4
Дата08.09.2017
өлшемі342.95 Kb.
1   2   3   4

Одно наклонённое зеркало. А что будет, если зер-

кало  наклонить,  например,  на  себя?  Где  тогда  ока-

жется  зазеркальный  двойник  Квантика  (назовём  его 

Китнавк – это слово Квантик, прочитанное наоборот)? 

Применим хитрость: повернём не зеркало, а Кванти-

ка.  Ведь  нам  важно  только  взаимное  расположение 

Квантика и зеркала. То, что получится, вы видите на 

рис.  4,  а.  Теперь  повернём  всю  картинку,  поставив 

Квантика на место (рис. 4, б). В итоге Квантик увидит 

перед собой ноги, а не лицо Китнавка. 

Этот  результат  легко  проверить:  смотрясь  в  зер-

кальце, наклоните его на себя – отражение поднимет-

ся, наклоните от себя – отражение опустится.

9

КАК ЭТО УСТРОЕНО



A

X

B

B

Рис. 3


Рис. 4, а

Рис. 4, б



10

КАК ЭТО УСТРОЕНО



Много зеркал. Теперь расположим множество не-

больших зеркал по дуге окружности. Уже напомина-

ет большую ложку, не правда ли? Сначала поместим 

Квантика  в  центре  этой  окружности.  Тогда  Квантик 

увидит  в  центре  каждого  зеркала  своё  лицо.  Ведь  на 

какое бы зеркало он ни посмотрел, «луч его взгляда» 

будет перпендикулярен зеркалу, и относительно этого 

«луча взгляда» зеркало не будет наклонено. 

Если  теперь  Квантик  отойдёт  подальше,  то  отно-

сительно новых «лучей взгляда» верхние зеркала ока-

жутся наклонёнными на Квантика, а нижние – от него 

(см. рис. 5). Поэтому в центре верхнего зеркальца Кван-

тик увидит ноги верхнего Китнавка, а в центре нижне-

го зеркала – макушку нижнего Китнавка. Итого, в зер-

калах  сверху  вниз  видны  отдельные  части  Китнавка, 

пока ещё не перевёрнутые, но в порядке снизу вверх.



«Склеим» отражения. Представить себе, что в ито-

ге увидит Квантик, не так уж просто. Давайте проведём 

эксперимент с чем-нибудь попроще, например, с треу-

гольником. Сначала разрежем его на четыре части, а 

потом сложим эти части в обратном порядке (рис. 6). 

Получится  нечто  несуразное.  Но  вот  если  частей  

Рис. 5


11

сделать хотя бы восемь, то результат уже будет напо-

минать перевёрнутый треугольник. И чем больше ча-

стей, на которые мы резали треугольник, тем меньше 

заметны  шероховатости  в  собранном  задом  наперёд 

изображении.

То  же  произойдёт  и  с  Китнавком.  Квантик  будет 

смотреть по сути  в много узеньких щёлочек, в каждой 

из  которых  виден  кусочек  Китнавка.  Вместе  они  со-

берутся в шероховатого перевёрнутого Китнавка, как 

до этого у нас собирался перевёрнутый треугольник.

Одно  искривлённое  зеркало.  Осталось  просто 

представить,  что  ложка  состоит  из  очень  маленьких 

плоских  зеркал.  Таких  маленьких,  что  с  нашей  точ-

ки зрения они сливаются в сплошную изогнутую по-

верхность, а отдельные отражения в каждом из них – 

в сплошное перевёрнутое изображение.



Попробуйте  теперь  самостоятельно  ответить  на 

пару вопросов (ответы – в следующем номере):

1. Которое из своих ушей вы видите справа, когда 

смотрите в ложку?



2. Почему изображение вытянуто вдоль ложки?

3. Почему и во внутренней, и во внешней стороне 

ложки видно ваше уменьшенное изображение?

Рис. 6

КАК ЭТО УСТРОЕНО



Художник Сергей Чуб

12

Посмотрите на эту карту и скажите, какая терри-

тория  больше  по  площади:  Гренландия,  помеченная 

белым, или Австралия, помеченная оранжевым? Ка-

жется, что Гренландия больше Австралии раза в три 

по крайней мере. 

Но,  заглянув  в  справочник,  мы  к  своему  удив-

лению  прочитаем,  что  площадь  Австралии  состав-

ляет  7,7  млн  км

2

,  а  площадь  Гренландии  –  только  



2,1 млн км

2

. Так что Гренландия кажется такой боль-



шой только на нашей карте, а в действительности она 

меньше Австралии примерно в три с половиной раза. 

Сравнивая эту карту с глобусом, можно заметить, что 

чем  дальше  от  экватора  находится  территория,  тем 

сильнее она растянута.

Андрей Щетников

КАК ЭТО УСТРОЕНО

ЭКВАТОР


13

Карта, которую мы с вами рассматриваем, постро-

ена с помощью картографической проекции, которую 

придумал  в  XVI  веке  фламандский  учёный  Герард 

Меркатор. Он жил в эпоху, когда прокладывались но-

вые торговые пути через океаны. Колумб открыл Аме-

рику в 1492 году, а первое кругосветное плавание под 

руководством  Магеллана  состоялось  в  1519 –1522  го-

дах – когда Меркатору было 10 лет. Открытые земли 

надо  было  наносить  на  карты,  а  для  этого  надо  было 

научиться изображать на плоской карте круглую Зем-

лю. И карты надо было делать такими, чтобы капита-

нам было удобно ими пользоваться.

А  как  капитан  пользуется  картой?  Он  проклады-

вает по ней курс. Мореплаватели XIII–XVI века поль-

зовались портуланами – картами, на которых изобра-

жался бассейн Средиземного моря, а также лежащие 

за Гибралтаром побережья Европы и Африки. На та-

кие  карты  была  нанесена  сетка  румбов  –  линий  по-

стоянного  направления.  Пусть  капитану  нужно  про-

плыть в открытом море от одного острова до другого. 

Он  прикладывает  к  карте  линейку,  определяет  курс 

(например,  «на  юго-юго-восток»)  и  отдаёт  рулевому 

приказ держать этот курс по компасу.

КАК ЭТО УСТРОЕНО


14

Идея Меркатора состояла в том, чтобы сохранить 

принцип  прокладки  курса  по  линейке  и  на  карте 

мира.  То  есть,  если  держать  по  компасу  постоянное 

направление, то путь на карте будет прямой. Но как 

это  сделать?  И  здесь  на  помощь  картографу  прихо-

дит математика. Мысленно разрежем глобус на узкие 

полоски  по  меридианам,  как  показано  на  рисунке. 

Каждую такую полоску можно без особых искажений 

развернуть на плоскости, после чего она превратится 

в треугольную фигуру – «клин» с искривлёнными бо-

ковыми сторонами. 

Однако глобус при этом оказывается рассечённым, 

а  карта  должна  быть  сплошной,  без  разрезов.  Чтобы 

этого добиться, разделим каждый клин на «почти ква-

драты». Для этого из нижней левой точки клина про-

ведём отрезок под углом 45

О

 до правой стороны клина, 



оттуда проведём горизонтальный разрез до левой сто-

роны клина – отрезали первый квадрат. Из точки, где 

кончается сделанный разрез, снова проведём отрезок 

под углом 45

О

 до правой стороны, потом горизонталь-



ный – до левой, отрезая следующий «почти квадрат», 

и  так  далее.  Если  исходный  клин  был  очень  узким, 

«почти  квадраты»  будут  отличаться  от  настоящих 

квадратов совсем незначительно, поскольку их боко-

вые стороны будут почти вертикальными.

КАК ЭТО УСТРОЕНО

45

О


15

Выполним  завершающие  действия.  Выпрямим 

«почти  квадраты»  до  настоящей  квадратной  формы. 

Как мы поняли, искажения при этом можно сделать 

сколь  угодно  малыми,  уменьшая  ширину  клиньев, 

на  которые  мы  режем  глобус.  Квадраты,  прилежав-

шие  на  глобусе  к  экватору,  выложим  в  ряд.  На  них 

уложим  по  порядку  все  остальные  квадраты,  растя-

нув  их  перед  этим  до  размеров  приэкваториальных 

квадратов. Получится сетка из квадратов одного раз-

мера.  Правда,  при  этом  параллели,  равноотстоящие 

на карте, уже не будут равноотстоящими на глобусе. 

Ведь чем дальше исходный квадрат на глобусе отсто-

ял от экватора, тем большему увеличению он подверг-

ся при переносе на карту.

Однако  углы  между  направлениями  при  таком 

построении  останутся  неискажёнными,  потому  что 

каждый  квадрат  практически  только 

изменился  в  масштабе,  а  направ-

ления  при  простом  увеличе-

нии  картинки  не  меняются. 

И  именно  этого  добивался 

Меркатор,  когда  он  приду-

мывал  свою  проекцию!  Ка-

питан  может  прокладывать 

свой курс на карте по линей-

ке и вести по этому курсу свой 

корабль. При этом корабль бу-

дет плыть по линии, идущей под 

одним и тем же углом ко всем мери-

дианам. Эта линия называется локсодромией.

Плавание по локсодромии очень удобно, посколь-

ку  оно  не  требует  никаких  специальных  расчётов. 

Правда, локсодромия не является кратчайшей лини-

ей между двумя пунктами на земной поверхности. Та-

кую кратчайшую линию можно определить, натянув 

на глобусе нитку между этими пунктами.

В  1571  году  Меркатор  завершил  свою  главную  работу  – все-

объемлющий труд по картографии. Меркатор вспомнил миф  

об Атланте, или Атласе, который держит на своих плечах не-

бесный свод. Сборник карт всей земной поверхности, как бы 

держащей на себе небеса, он и назвал атласом. С тех пор слово 

«атлас» стало обычным для собрания карт.

КАК ЭТО УСТРОЕНО

Художник Евгений Паненко


До сих пор все три истории в каждом выпуске этой рубрики ка-

сались историй из жизни знаменитых людей. На этот раз перед вами 

три  «кусочка»  сказки  –  два  из  них  взяты  из  сказки  Э. Т. Гофмана 

«Щелкунчик», а ещё один, хоть и стилизован под Гофмана, выдуман 

автором рубрики. Как и раньше, обнаружить его можно по какой-ни-

будь несуразности, спрятанной в тексте. Попробуйте!

Сергей Федин

ЩЕЛКУНЧИК

12

ИСтОРИя ПЕРвАя

Мари больше не владела собой.

– О мой бедный Щелкунчик! – воскликнула она, рыдая, и, не отдавая себе 

отчёта в том, что делает, сняла с левой ноги туфельку и изо всей силы швырну-

ла ею в самую гущу мышей, прямо в их короля.

В  тот  же  миг  все  словно  прахом  рассыпалось,  а  Мари  почувствовала  боль 

в левом локте, ещё более жгучую, чем раньше, и без чувств повалилась на пол.

16


ИСтОРИя тРЕтья

– У меня есть ещё один подарок, – 

загадочно  произнёс  Дроссельмей-

ер  и  ловко  открыл  перламутровый  

ящичек. 

Дети  ахнули.  На  блестящем  пали-

сандровом  поле,  разделённом  на  чёр-

ные  и  белые  клетки,  двигались,  как 

живые, шахматные фигурки из  золо-

та  и  серебра,  разыгрывая  удивитель-

ную  партию.  Но  ещё  больше  восхи-

тились  Фриц  и  Мари,  когда  узнали, 

что  фигурки  не  только  двигаются,  

но и разговаривают! Как раз в этот мо-

мент  серебряный  конь,  передвинув-

шись на соседнюю к золотому королю 

клетку,  изящно  наклонил  свою  ро-

скошную гриву и вежливо произнёс:

– Вам шах, ваше величество!

Фриц даже выронил от изумления 

игрушечного  гусара,  а  Мари  захло-

пала в ладоши.



12

ИСтОРИя втОРАя

Наступил самый важный момент: 

пора было разрезать на ломтики сало 

и  поджаривать  его  на  золотых  ско-

вородах.  Придворные  дамы  отош-

ли  в  сторонку,  потому  что  королева 

из  преданности,  любви  и  уважения 

к  царственному  супругу  собиралась 

лично  заняться  этим  делом.  Но  как 

только сало начало зарумяниваться, 

послышался  тоненький,  шепчущий 

голосок:


–  Дай  и  мне  отведать  сальца,  се-

стрица!  И  я  хочу  полакомиться  – 

я ведь тоже королева. Дай и мне от-

ведать сальца!

17

Ху

до



жн

ик

 К



ап

ы

ч



18

Задача


В «Квантике» № 6 за 2015 год мы просили разобрать-

ся с тем, какого цвета получаются тени (фото 1 – 5) при 

освещении карандаша разными наборами цветов (а – д).

Первым делом в голову приходит выбрать, не мудр-

ствуя,  тот  ответ,  на  котором  изображены  в  точности 

цвета  теней  с  фотографии,  благо  при  таком  алгорит-

ме каждому фото найдётся парная картинка. Но этот 

путь  ведёт  прямиком  в  ловушку,  расставленную  на 

небрежных читателей.

Если  карандаш  осветить,  например,  только  крас-

ным  фонарём,  то  тень  получится  уж  точно  не  крас-

ная: ведь свет от красного фонаря на тень как раз не 

попадает! Так что краснее будет не тень, а, наоборот, 

остальной фон.

Решение

Проще всего разобраться с двуцветными примера-



ми, например, когда есть зелёный и фиолетовый фо-

нари. Тогда весь фон освещён обоими цветами, а каж-

дая из теней – только одним (см. рис. на следующей 

странице). Так что на тень от зелёного фонаря светит 

только  фиолетовый  фонарь,  и  она  будет  фиолетовой. 

Аналогично,  тень  от  фиолетового  фонаря  будет  зелё-

Александр Бердников

1

2



3

4

5



а)

б)

в)



г)

д)

КАК ЭТО УСТРОЕНО



19

ной.  Те  же  рассуждения  можно 

повторить в любом другом случае 

с двумя фонарями, и правильный 

ответ  тут  совпадает  с  результа-

том «бездумного тыка». Правда, 

мы  убедились,  что  предположе-

ние «какого цвета фонарь, такого 

цвета и тень от него» неверно.

Перейдём  к  случаю  с  тремя 

фонарями  –  красным,  зелёным 

и  синим.  Тут  нас  поджидает  ло-

вушка:  тень  от  красного  фонаря 

освещена и зелёным светом, и си-

ним (рис. справа)! Дальше можно 

рассуждать  так:  вместе  зелёное 

и  синее  освещения  дадут  что-то 

среднее  –  голубое,  красный  с  синим  дадут  фиолето-

вый, а красный с зелёным – жёлтый. Тени получают-

ся совсем другого цвета, нежели фонари!

Правда,  такой  путь  рассуждений  не  очень-то  на-

дёжен, если вы прикидываете смеси «на глаз». Гораз-

до убедительней такое соображение: на фото с жёлтой, 

фиолетовой и голубой тенями можно разглядеть цвета 

на  пересечении  двух  теней.  Эти  пересечения  красно-

го и синего цветов. Каждое из них освещается только 



одним  фонарём,  а  значит,  среди  фонарей  есть  крас-

ный и синий. Со второй тройкой этот приём работает 

плохо – по техническим причинам в грязных цветах 

сложно  узнать  жёлтый  и  голубой.  Но  у  нас  осталась 

только одна картинка и один набор цветов, да и сооб-

ражения  из  предыдущего  абзаца  подтверждают,  что 

они друг другу подходят.

Теория


Это  всё  здорово,  но  такое  решение  оставляет  не-

удовлетворённость.  В  задании  имелись  поблажки: 

комбинации фонарей были известны; а как найти их 

цвета только по фотографиям? 

К  тому  же,  мы  видели  все  тени  и  их 

пересечения. А если на фото попадёт толь-

ко одна из теней и фон рядом (как на фото 

справа)  –  как  напрямую  определить  цвет 

фонаря, оставившего эту тень, по её цвету?

КАК ЭТО УСТРОЕНО



экран

карандаш

экран

карандаш

20

Всё освещение, кроме света от того фонаря, кото-

рый мы хотим определить, назовём «засветкой». Тень 

карандаша освещает только засветка, а фон сбоку от 

тени освещён и фонарём, и засветкой. Таким образом, 

чтобы получить цвет фонаря, надо из фона «вычесть» 

засветку, то есть «вычесть» цвет тени. Что же это зна-

чит и как к такой задаче подойти? 

Тут нужно объяснить, как мы вообще воспринима-

ем  цвета.  Вкратце  дело  об-

стоит  так.  В  глазу  есть  три 

типа  светочувствительных 

клеток:  одни  реагируют  на 

оттенки  красного,  другие  – 

зелёного,  третьи  –  синего. 

Всё  многообразие  види-

мых  оттенков  получается 

из  того,  насколько  сильно 

каждый  из  типов  клеток 

возбуждён  падающим  на 

них светом. Это позволяет, например, использовать в 

мониторах пиксели только трёх цветов (см. фото спра-

ва). Меняя их яркость, можно получить большинство 

оттенков. Так что теперь мы можем закодировать цвет 

тремя числами: яркостью красных, зелёных и синих 

пикселей; обозначим эти числа RG и B (от англ. red, 

green и blue). Этот способ кодирования кратко обозна-

чается RGB.

Имея на руках такое описание, уже легко склады-

вать  и  вычитать  цвета.  Пусть,  к  примеру,  цвет  фона 

(R

фон


G

фон


B

фон


), а цвет тени – (R

тень


G

тень


B

тень


). Тогда 

легко  найти  цвет  фонаря  (R



х

,G



x

,  B



х

).  Напомним  рас-

суждение:  цвет  фона  складывается  из  цвета  фонаря 

и цвета тени (который равен цвету засветки). Значит, 

(R

фон


,  G

фон


,  B

фон


)  =  (R

х

,  G



х

,  B



х

)  +  (R

тень

,  G



тень

,  B

тень

),  от-


куда (R

х

G



х

B



х

) = (R

фон

G



фон

B

фон

) – (R



тень

G

тень

B



тень

), 


где  сложение и вычитание производятся почленно, то 

есть R



х

=R

фон

R



тень

 и так же с G и B.

практика

Мы  разобрались,  что  значит  «сложение»  и  «вы-

читание» цветов. Но чтобы решить задачу, нужно на-

учиться на практике переводить цвет в тройку чисел 

и наоборот. Для картинок в электронном формате это 

КАК ЭТО УСТРОЕНО

Фотография участка мони-

тора крупным планом.



21

легко  сделать  с  помо-

щью  компьютера.  От-

кройте  изображение  в 

графическом  редакто-

ре  (Paint’е,  например). 

Инструментом  «Пипет-

ка» возьмите цвет инте-

ресующего  участка  фо-

тографии. Затем в меню 

выберите  «Палитра»    «Изменение  палитры».  В  от-

крывшемся окне вы увидите справа выбранный цвет и 

числа, соответствующие содержанию в нём красного, 

зелёного и синего. И наоборот, чтобы увидеть цвет, со-

ответствующий данной тройке RGB, вбейте эти числа 

в те же поля, и вы увидите цвет, получающийся при 

такой комбинации. Только учтите, что Paint не обслу-

живает числа, большие 255. 

С помощью той же программы легко 

повторить и сам опыт с цветными теня-

ми. Для начала сделайте рисунок разме-

ром на весь экран, состоящий из полей ярких, насы-

щенных  цветов,  разделённых  чёрным  фоном,  как  на 

рисунке справа. Если в темноте поднести к экрану тот 

же карандаш, а позади него поставить лист бумаги, то 

карандаш отбросит на неё несколько теней, по одной 

от каждого цвета (рис. справа). Именно так были сде-

ланы фотографии 1 –

 

5.

Наиболее  насыщенными  цве-



та теней получаются тогда, когда 

и  освещение  насыщенное.  Иде-

альный  вариант  –  когда  присут-

ствуют  только  цвета  пикселей 

монитора.  Поэтому  полученные 

тени на фото 2 гораздо насыщенней, чем на фото 4, где 

использованы смеси базисных цветов по два.

Заключение

Описание  цвета  с  помощью  RGB-кодировки  хоть 

и замечательно своей простотой и мощью, но во многих 

смыслах неполно. Для начала, то, как мы воспринима-

ем цвет, зависит от освещения, контекста и других по-

бочных обстоятельств. На такой необъективности глаза 

основывается множество оптических иллюзий.

КАК ЭТО УСТРОЕНО


22

Другая 


проблема 

интереснее  и  сложнее. 

Чтобы  наглядно  её  объ-

яснить,  воспользуемся 

картинкой  (рис.  спра-

ва),  изображающей  про-



странство 

оттенков. 

Каждый  оттенок  поме-

щается  в  большом  (чёр-

ном) 


треугольнике 

в 

какую-то  точку,  завися-



щую от того, в какой пропорции этот оттенок возбуждает 

три  типа  клеток:  чем  дальше  точка  от  нижней  стороны 

треугольника,  тем  сильнее  отклик  «зелёных»  клеток, 

и  так  далее.  Яркость  при  этом  не  учитывается  –  если 

взять оттенок в два раза ярче, точка получится та же са-

мая, так как пропорции сохранятся.

Как мы писали в статье «Интерференция» в «Кван-

тике» №1 за 2015 год, любой свет – это смесь чистых от-

тенков  («цветов  радуги»).  Уложим  эти  чистые  оттенки 

в  наш  треугольник  в  соответствии  с  тем,  какие  клетки 

и  насколько  возбуждаются  составляющими  его  цвета-

ми. Мы получим кривую (радужная кривая на рисунке). 

Любой другой цвет – смесь чистых, и поэтому его точка 

расположится  где-то  в  области,  которую  ограничивает 

радужная  кривая.  Только  цвета  из  этой  области  (серая 

на рисунке) нам могут встретиться в жизни.

Получается интересная картина. Во-первых, на треу-

гольнике остались чёрные области, которым не соответ-

ствует никакой цвет. На что бы мы ни смотрели, в такой 

пропорции клетки не возбудятся. 

Во-вторых,  цвета  пикселей  дис-

плея  тоже  находятся  внутри  серой 

области, а вовсе не в вершинах чёр-

ного  треугольника.  Дисплей,  выда-

вая только комбинации этих цветов, 

покроет лишь треугольник (цветной 

на  рисунке  справа).  Этот  треуголь-

ник,  будучи  внутри  серой  области, 

не может покрыть её целиком. Поэтому останутся оттен-

ки,  которые  наш  монитор  выдать  не  сможет.  В  идеале 

у него должны быть пиксели с морем различных оттен-

ков, которые «прослеживают» радужную кривую на ри-

сунке,  чтобы  их  комбинации  покрыли  почти  всю  серую 

фигуру. Но это сделать сложно, да и не очень-то нужно.

КАК ЭТО УСТРОЕНО

Художник Инга Коржнева



Художник Дарья Котова
1   2   3   4




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет