№
7
и ю л ь
2015
Издаётся при поддержке Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО)
e-mail: kvantik@mccme.ru
№ 7| и
ю
л
ь
2015
З е р к а л О ж к а
П р О е к Ц И я
М е р к а т О р а
Enter
В К У С О В О Й К О Д
Вы можете оформить подписку на «Квантик» в любом отделении
Почты России. Подписаться на следующий месяц можно до 10 чис-
ла текущего месяца. Наш подписной индекс 84252 по каталогу
«Газеты. Журналы» агентства «Роспечать».
Кроме журнала, «Квантик» выпускает:
Альманахи – материалы журналов
за очередное полугодие в едином изда-
нии; вышли в свет уже 5 выпусков!
Плакаты – в комплекте 10 плакатов
с занимательными задачами для школь-
ных кабинетов математики и физики.
Календарь загадок – календарь на теку-
щий год с задачей-картинкой на каждый
месяц.
Всё это можно купить в магазине «Мате-
матическая книга» по адресу: г. Москва,
Большой Власьевский пер., д. 11,
сайт biblio.mccme.ru, или заказать
по электронной почте biblio@mccme.ru
www.kvantik.com
kvantik@mccme.ru
kvantik12.livejournal.com
vk.com/kvantik12
Открыта подписка на электронную версию журнала!
Подробности по ссылке: http://pressa.ru/magazines/kvantik#/
Главный редактор: Сергей Дориченко
Редакция: Александр Берд ников,
Дарья Кожемякина, Елена Котко,
Андрей Меньщиков, Максим Прасолов,
Григорий Фельдман
Художественный редактор
и главный художник: Yustas-07
Верстка: Рая Шагеева, Ира Гумерова
Обложка: художник Yustas-07
Формат 84х108/16.
Издательство МЦНМО
Журнал «Квантик» зарегистрирован
в Федеральной службе по надзору в сфере
связи, информационных технологий и массовых
коммуникаций.
Свидетельство ПИ N ФС77-44928 от 4 мая 2011 г.
ISSN 2227-7986
Тираж: 5000 экз.
Адрес редакции: 119002, Москва,
Большой Власьевский пер., 11.
Тел.: (499) 241-08-04.
e-mail: kvantik@mccme.ru
По вопросам распространения обращаться
по телефону: (499) 241-72-85;
e-mail: biblio@mccme.ru
Подписаться можно в отделениях связи
Почты России,
подписной индекс 84252.
Отпечатано в соответствии
с предоставленными материалами
в OOО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь.
www.рareto-print.ru
Заказ №
Почтовый адрес:
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д.11, журнал «квантик».
Где ещё можно купить продукцию
«Квантика», смотрите по ссылке:
kvantik.com/kupit.html
ОГЛЯНИСЬ ВОКРУГ
Вкусовой код.
В. Винниченко
2
УЛЫБНИСЬ
В огороде бузина…
И. Акулич
5
КАК ЭТО УСТРОЕНО
Зеркаложка
8
Проекция Меркатора.
А. Щетников
12
Цветные тени.
А. Бердников
18
ДВЕ ТРЕТИ пРАВДЫ
Щелкунчик.
С. Федин
16
КОМИКС
Кто с кем танцует
23
ЧУДЕСА ЛИНГВИСТИКИ
Игры в слова с переворачиванием.
О. Кузнецова
24
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИ
Трагедия предателя.
И. Акулич
26
ОпЫТЫ И ЭКСпЕРИМЕНТЫ
Две задачи турнира по физике
«Шунт».
А. Сорокин, М. Позолотина
28
ОТВЕТЫ
Ответы, указания, решения
30
ОЛИМпИАДЫ
Наш конкурс
32
ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ
Две ракеты.
И. Акулич
IV стр. обложки
2
Вызывает ли нас к доске учитель математики, по-
шёл ли папа на кухню к холодильнику, готовит ли мама
суп, холодно нам или жарко, хотим мы есть или пить –
что бы ни случилось, наш мозг должен точно знать,
что происходит вокруг нас и внутри нас. Но мозг умеет
говорить только на языке электрических импульсов.
Именно поэтому ему нужна специальная команда пере-
водчиков. Эти переводчики называются рецепторами.
Так, рецепторы в наших глазах – палочки и колбоч-
ки – улавливают свет, рецепторы в ушах – волосковые
клетки – улавливают звук, рецепторы кожи улавлива-
ют давление и прикосновение и т. д. Один и тот же ре-
цептор может воспринимать разные виды информации.
Так, если мы закроем глаза и слегка надавим поверх
века, мы увидим захватывающую картину крапинок и
вспышек. Это потому, что палочки и колбочки способ-
ны реагировать не только на свет, но и на механическое
воздействие (давление). Но все же точнее и лучше все-
го рецепторы распознают свой сигнал. Поэтому когда
«звонит» рецептор света, то мозг интерпретирует (по-
нимает) этот сигнал как свет. Такой принцип кодирова-
ния информации учёные назвали «принципом меченой
линии». Это значит: чтобы понять, что случилось, моз-
гу важно знать, откуда именно пришёл сигнал.
Во рту у нас тоже имеется специальная команда
переводчиков – вкусовые рецепторы. Они переводят
энергию различных химических соединений в последо-
вательность электрических импульсов. И в таком «по-
нятном» виде сигнал и поступает в мозг. Мозг радуется
понятному сигналу и тотчас его опознаёт. Если пища
полезная и вкусная, мозг запускает команды жевания
и глотания. Если еда горькая, невкусная, противная,
мозг запускает реакцию выплёвывания или даже рво-
ты. Больше всего вкусовых рецепторов расположено
на языке. А вот у рыб, в отличие от нас, вкусовые ре-
цепторы расположены не только в ротовой полости, но
и по всей поверхности тела. Поэтому рыбы постоянно
ощущают вкус воды, в которой плавают.
Какими бывают эти рецепторы вкуса? Мы рассмо-
трим четыре основных типа вкусовых рецепторов (со-
Вера Винниченко
ОГЛЯНИСЬ
ВОКРУГ
3
лёного, кислого, сладкого и горького) и один дополни-
тельный (умами).
Рецепторы солёного.
Все мы знаем, как выглядит
соль, которую мама любит сыпать в суп, – это малень-
кие белые кристаллики хлорида натрия NaCl. Но сто-
ит только очутиться этим кристалликам в супе или
у нас во рту, как они начинают растворяться, распа-
даясь на отдельные частицы: положительно заряжен-
ные частицы натрия Na
+
и отрицательно заряженные
частицы хлора Cl–. Рецептор солёного находит и свя-
зывает ионы Na
+
. Как только они связываются, ре-
цептор отдаёт в мозг электрический импульс – специ-
альный сигнал. И мы ощущаем солёный вкус.
Рецепторы кислого.
Лимон, уксус, клюква со-
держат большое количество ионов водорода Н
+
. Как
только рецепторы кислого связываются с ионами во-
дорода Н
+
, рецепторы посылают электрический сиг-
нал в мозг. И мы ощущаем кислый вкус.
Рецепторы сладкого и горького.
Все мы хорошо
знаем, как приятно на вкус малиновое варенье и ка-
кие горькие на вкус редька, грейпфрут и чистый чёр-
ный кофе без молока и сахара. Но генетики доказали
удивительный факт: рецепторы сладкого и горького –
близкие родственники. Рецепторы сладкого реагиру-
ют на глюкозу. Рецепторы горького – на такие веще-
ства, как хлорид кальция и различные растительные
алкалоиды – хинин, атропин, кофеин. Большинство
лекарств делают на основе растительных алкалои-
дов – вот почему лекарства обычно горькие.
В 1909 году в Японии жил физиолог Кикунае Ике-
да, который очень любил макать всё, что ему дают на
обед, в соусы, изготовленные из морских водорослей.
Кикунае очень хотел понять, почему эти соусы делают
еду такой вкусной. Он долго разлагал на простые ком-
поненты все соусы, которые ему попадались, и наконец
выделил вещество, которое искал – это оказался глу-
тамат натрия. Глутамат связывается со специальными
рецепторами, вызывая «мясной вкус». Кикунае назвал
этот вкус «умами», что означает по-японски «очень
вкусно». Так был открыт пятый вид вкуса – умами.
Невкусовые рецепторы во рту.
Конечно, в рото-
вой полости имеются не только вкусовые рецепторы.
ОГЛЯНИСЬ
ВОКРУГ
4
Например, там есть рецепторы холодного и горячего.
Если мы с вами начнём есть мороженое, то сработают
холодовые, а вот когда мы едим горячий суп или пьём
горячий чай, активируются рецепторы горячего.
Мы уже говорили, что рецепторы специализиру-
ются на своём сигнале, но могут реагировать на другие
стимулы, например, на разные химические вещества.
Например, от мяты во рту ощущается холод. Это по-
тому, что мята содержит ментол. Ментол связывает-
ся химически с холодовым рецептором и активирует
его «нелегально», «обманывая» наш мозг. Поскольку
нервный импульс поступает от холодового рецептора,
мозг согласно принципу «меченой линии» интерпре-
тирует сигнал как холод.Если вам когда-нибудь по-
падется красный перец чили, ни в коем случае не ку-
сайте его сразу. Пусть сначала попробует папа. Перец
чили с виду очень похож на сладкий болгарский перец
и является его ближайшим родственником. Но при
этом перец чили содержит жгучее вещество капсаи-
цин, активирующее тепловые рецепторы. Капсаицин
вызывает сильное жжение, все во рту прямо-таки го-
рит огнем. Поэтому если папа, пожевав перец, закри-
чит – значит, этот перец был не болгарский.
Однако в ощущении вкуса важна информация не
только от вкусовых рецепторов: при формировании ко-
манды мозг учитывает также вид и запах пищи. Если
посадить папу на диван, завязать ему глаза, попросить
зажать нос и дать ему по маленькому кусочку яблока
и лука, папа может их перепутать. Это не потому, что
папа устал и ему неинтересно. Это потому, что мы при-
выкли ориентироваться на зрительную информацию.
Лучшие шеф-повара и гурманы специально трениру-
ются по запаху и вкусу, вслепую различать тысячи спе-
ций, масел, сыров, сорта овощей и фруктов. Попробуй-
те самостоятельно провести следующие эксперименты.
1 Как изменится вкус еды, если её сначала положить
в рот, а потом уже сделать вдох (носом, разумеется)?
2 Как меняется вкус еды по мере её разжёвывания?
Ослабляется или усиливается? Появляются ли новые
вкусы?
3 Что поменяется в ощущении вкуса, если во время
жевания закрыть глаза?
ОГЛЯНИСЬ
ВОКРУГ
Художник Евгений Паненко
…а в Киеве, как известно, дядька. А кому до Киева
далеко, то пусть дядька обитает, например, в Подоль-
с ке или Воскресенске. Дело-то не в этом, а в задачах,
условия которых полностью соответствуют данной по-
говорке, но, как ни странно, решения такие задачи все-
таки имеют. И вот первый пример – широко известный.
Представьте себе, что вы – машинист. Ваш па-
ровоз тянет поезд, состоящий из 10 вагонов с углём,
20 вагонов с лесом и 30 цистерн с мазутом, а сзади
прицеплeн ещё и почтово-багажный вагон. Сколько
лет машинисту?
Вопрос, казалось бы, совершенно к делу не отно-
сится. Действительно – в огороде бузина… и т.д. Но
если вдуматься, то ключ-то на поверхности, а имен-
но – во фразе «Представьте себе, что вы – машинист».
Так что для ответа на вопрос надо лишь вспомнить,
сколько вам лет.
«Ну, это не математика!» – может заявить читатель.
Согласимся, что не совсем. Тогда вот другой пример.
Два математика ехали в трамвае. Один посто-
янно смотрел в окно, другой всю дорогу дремал. При
очередной остановке у светофора смотревший в окно
воскликнул:
– Удивительное совпадение!
– Что такое? – проснулся второй.
– Представляешь, со мной недавно казус вышел.
Складывал я на калькуляторе два натуральных чис-
ла. Если бы я сделал всё правильно, то сумма была бы
равна номеру вон того «Мерседеса». Но я почему-то в
первом слагаемом набрал цифры в обратном порядке,
а у второго вообще пропустил одну цифру. И потому
сумма оказалась равной номеру вон тех «Жигулей».
Так вот скажи: сможешь ли ты определить, какую
цифру я пропустил?
– Нет, – поразмыслив, ответил второй. – Этих
данных недостаточно.
– Хорошо, добавлю: она равна номеру дома, мимо
которого мы проехали полчаса назад.
– Ну, тогда я могу назвать эту цифру.
Назовите и вы.
Игорь Акулич
В огороде
бузина…
Похоже, и эта задача бузиной пахнет! Во-первых,
к чему номера автомобилей, если они нам неизвестны?
А номер дома – вообще ни к селу, ни к городу, ведь
второй математик его даже не видел, поскольку спал!
Тем не менее, решение есть, и основано оно на из-
вестном признаке делимости на 9, который в самом
«развёрнутом» виде можно сформулировать так: оста-
ток от деления натурального числа на 9 равен остатку
от деления на 9 суммы его цифр.
Пусть остатки от деления на 9 номеров «Мерседе-
са» и «Жигулей» равны соответственно М и Ж. Рас-
смотрим две возможности:
1) М ≠ Ж. Зададимся вопросом: почему остатки мо-
гут различаться? Ясно, что запись цифр первого слага-
емого в обратном порядке здесь ни при чём: делимость
на 9 связана лишь с суммой цифр, которая при этом
не меняется. Значит, дело лишь в той самой пропу-
щенной цифре – именно она вызывает расхождение.
Используя признак делимости на 9, можно (зная М и
Ж) легко определить эту цифру: она равна М
–
Ж, если
М
>
Ж, или равна 9
+
М
–
Ж, если М
<
Ж. Так что если
остатки от деления на 9 номеров автомобилей были бы
различны, то второй математик сумел бы однозначно
указать пропущенную цифру, но по условию он этого
сделать не смог. Значит, этот случай не имел места.
2) М = Ж. Совпадение остатков, как явствует из того
же признака делимости на 9, возможно, если пропу-
щенная цифра не влияет на остаток от деления на 9. Но
таких возможных цифр две: 0 и 9, и теперь понятно, по-
чему второй математик не мог сразу назвать пропущен-
ную цифру. Значит, имел место именно этот случай.
Итак, первый математик пропустил либо ноль,
либо девятку. А в конце разговора он добавил, что эта
цифра равна номеру дома. Но номер дома не может рав-
няться нулю
1
! Стало быть, остается единственная воз-
можность: пропущенная цифра – это 9. Таков ответ.
Задача 1. Убедитесь, что уточнение про номер дома
необходимо: придумайте номера «Мерседеса» и «Жи-
гулей», которые можно получить способом первого
математика и удаляя 0, и удаляя 9.
Иногда приходится привлекать к решению дополни-
тельные данные, находящиеся «за границей» условия.
Такие задачи, конечно, решаются труднее. Вот пример.
1
Первоначально была мысль
вообще не выходить в условии
за «транспортные» рамки, то
есть вместо слов «…равна номе-
ру дома, мимо которого мы про-
ехали полчаса назад» написать,
например, так: «…равна номеру
автобуса, который обогнал нас
полчаса назад». Но пришлось
отказаться от этой идеи по сле-
дующей причине: будучи как-
то в Москве, автор увидел ав-
тобус с номером маршрута «0»!
По-видимому, это был какой-
то временный или добавочный
маршрут, но, во всяком случае,
нулевые номера автобусов быва-
ют! А вот нулевых номеров до-
мов встречать не приходилось.
Высота египетской пирамиды (в метрах) больше
произведения двух нечётных двузначных чисел, но
меньше квадрата их полусуммы. Как звали фараона?
У поклонников популярной когда-то группы «На-
утилус Помпилиус», несомненно, в голове крепко си-
дит Тутанхамон (тем более что он был, согласно песне,
очень умён). Но это вряд ли относится к делу. Вот если
бы были указаны те самые двузначные числа, то ещё
можно было бы на что-то надеяться: узнать, в каких
пределах лежит высота пирамиды, и с помощью учеб-
ника истории (или энциклопедии, если учебника не-
достаточно) постараться определить её хозяина. И тем
не менее попытаемся. Если эти два числа одинаковы,
то их произведение равно квадрату полусуммы, что не-
допустимо (ибо высота пирамиды должна лежать, по
условию, между этими числами). Поэтому они различ-
ны. Наименьшее возможное значение произведения
двух различных нечётных двузначных чисел равно
11•13
=
143, следующее по величине – 11•15
=
165,
остальные ещё больше. А теперь воспользуемся учеб-
ником, где чёрным по белому сказано, что пирамид
выше 165 метров в Египте нет. Поэтому два числа,
о которых говорится в условии, – именно 11 и 13. Ква-
драт их полусуммы равен 144. Итак, высота пирами-
ды лежит между 143 и 144 м. Снова ныряем в учебник
и узнаём, что лишь одна пирамида имеет подходящую
высоту 143,5 м. Это вторая по высоте пирамида
2
, и за-
хоронен в ней был Хефрен (иногда говорят – Хафра).
Между прочим, как раз его лицо имеет знаменитый
Сфинкс.
Как видите, не следует сразу впадать в панику,
встретив «бузинно-дядечную» задачу. Вполне вероят-
но, что решение есть. Но будьте внимательны: необ-
ходимая информация может быть искусно замаскиро-
вана, так что смотреть надо в оба! А для тренировки
попробуйте решить такую задачу.
Задача 2. Витя и его младший брат Митя купили
по книге. Затем каждый из них подсчитал сумму цифр
номеров всех страниц своей книги и выяснил, что она
равна году его рождения. Как зовут того из братьев,
который учится в школе с математическим уклоном?
Обратите внимание: братья подсчитали не сумму
номеров, а сумму цифр, из которых состоят номера!
2
А первая по высоте – это зна-
менитая пирамида Хеопса (он
же Хуфу) высотой 146,6 м.
Художник Анна Горлач
8
По большому счёту, ложка является искривлён-
ным зеркалом, поэтому нам нужно научиться объяс-
нять то, что мы видим в зеркалах, в том числе в зерка-
лах сложной формы.
Ноль зеркал. Начнём с самого простого: попробуем
понять, как мы видим предметы. Простого – громко
сказано: разные детали и особенности нашего зрения
можно обсуждать бесконечно. Нам будет нужно знать
только то, что луч света, отражаясь от предмета, попа-
дает к нам в глаз – поэтому мы этот предмет и видим.
Это схематично изображено на рисунке 1.
Одно зеркало. Однако луч может попасть к нам
в глаз не напрямую, а отразившись по дороге от зер-
кала. Выполняется такой закон: угол падения равен
углу отражения. Это означает, что углы, отмеченные
на рисунке 2, равны.
Для наших целей будет удобнее представлять себе
весь этот процесс немного иначе. Давайте мыслен-
но расположим по ту сторону зеркала целый зазер-
Наверняка вы хоть раз
глядели в ложку как
в зеркало. Если нет – най-
дите ближайшую ложку
и посмотрите на её вогну-
тую поверхность. Ваше
отражение будет перевер-
нутым! В этой статье мы
попробуем разобраться,
почему так происходит.
Зеркаложка
Зеркаложка
З
ер
к
а
л
ожка
КАК ЭТО УСТРОЕНО
Зеркало
Угол падения
Угол отражения
Рис. 1
Рис. 2
кВаНТИк
кВаНТИк
кИТН
аВк
кИТН
аВ
к
кальный мир, симметричный обычному. Тогда зер-
кало станет окном в это зазеркалье. Действительно,
посмот рим на рисунок 3: так как угол падения равен
углу отражения, Квантик, глядя в зеркало по лучу
AX, увидит цветок, в который упирается отражённый
луч XВ. Но если бы луч AX прошёл сквозь зеркало как
через окно (то есть пошёл бы дальше по лучу XB), он
бы упёрся в симметричный зазеркальный цветок, то
есть Квантик увидел бы то же самое.
Поделитесь с Вашими друзьями: |