Литература
1.
Балдев Pадж, Pаджендpан В., Паланичами П. Пpименение ультpазвука. М.: Техносфеpа, 2006.
576 с.
2.
Биpгеp И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 240 с.
3.
Telman Aliyev. Rodust Technology with Analysis of Interference in Signal Processing. Kluwer
Academic/Plenum Pudlishers, New York, USA, 2003. 199 p.
4.
Aliyev N., Aliyev E. Monitoring of steadiness of buildings and construction within a complex system of
safety of facilities / Int. Konf. "Natural Cataclysms and Global Problems of the Modern Civilization".
Baku-Innsbruck, 2007. P. 559—562.
5.
Srivastava M. S. Methods of Multivariate Statistics. Wiley, New York, 2002. 357 p.
22
УДК 621.373.121.14.023:517.956.32
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА S СО СМЕЩЕНИЕМ
Гавриков В.В.
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан
В курсе ТОЭ изучают только основы однородных линейных цепей с распределенными
параметрами. Вся теория излагается применительно к электрическим линиям с распределенными
параметрами на переменном токе.
Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе в значительной мере
аналогична теории однородных линейных электрических линий с распределенными параметрами,
только вместо тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток, вместо электрического
напряжения — магнитное напряжение, вместо продольного активного сопротивления — продольное
магнитное сопротивление, вместо поперечной электрической проводимости — поперечная магнитная
проводимость.
Данная статья является заключением и обобщением работ /1/ и /2/, в которых была доказана:
корректность и базисность в
2
L
системы собственных и присоединенных функций краевой задачи
S со смещением; нумерация литературы из работы /1/.
Уравнения Максвелла, описывающие электромагнитные процессы, как и линейных
электрических и магнитных линий с распределенными параметрами можно свести к уравнению
гиперболического типа.
Пусть
2
R
-конечная область, ограниченная характеристическими прямыми AC:
0
t
x
,
BC:
,
1
t
x
при
AD:
,
0
t
x
BD:
,
1
t
x
при
для волнового уравнения:
x,t
f
u
u
Lu
tt
xx
(1)
Обозначим
}
0
{
,
}
0
{
t
t
, а через
)
(
2
s
W
будем обозначать пространство
Л.С.Соболева со скалярным произведением
s
,
,
...
2
,
1
,
0
s
и нормой
;
s
)
(
)
(
2
0
2
L
W
.
Задача S. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:
,
1
0
,
1
0
при
u
u
(2)
1
0
,
1
0
при
u
u
, (3)
где
,
2
;
2
0
AC
,
2
1
;
2
1
1
BC
,
2
;
2
0
AD
,
2
1
;
2
1
1
ВD
– произвольное комплексное число.
Задача S., и ее спектральный вариант является обобщением известной задачи Т.Ш Кальменова-
А.М. Нахушева /2/-/6/ со смещением. В работе /2/ на основании принципа Асгейрссона доказана
регулярная однозначная разрешимость задачи S для однородного уравнения (1) с неоднородными
условиями (2). Т.Ш. Кальменовым в работе /3/ доказана полнота системы собственных функций задачи
S, рассматриваемой в характеристическом треугольнике АВС, доказательство основано на
продолжении решения задачи в область,
симметричную
относительно оси
0
t
и решение
задачи в квадрате
методом разделения переменных. В работах /4-6/ задача Т.Ш. Кальменова
- А.М. Нахушева обобщается, причем возникает ряд новых задач, в которых М.A. Садыбековым и
учениками Т.Ш. Кальменова рассмотрены обобщения задачи типа задач S.(1-3). Причем М.А.
Садыбеков использует новый метод, то есть спектральный вариант, который не решается методом
разделения переменных, и приводятся критериии корректности задач типа задачи S., и доказывается
базисность в
2
L
системы собственных и присоединенных функций. При этом существенно
используется известный операторный метод М.О. Отелбаева - Т.Ш. Кальменова регулярных
расширений /7/, предложенный ими и используемый другими математиками в работах /8/, в данной
работе используется их определение.
Определение: Оператор
L
-замыкаем в
2
L
называется расширением (по М.О.Отелбаеву -
Т.Ш.Кальменову) замыкания - на
, а
*
S
L
- оператор, сопряженный с оператором
S
L
, если
L
имеет ограниченно обратный оператор
1
S
L
, определѐнный на всѐм
2
L
, причѐм
*
S
S
L
L
L
.
23
Т Ш Кальменовым и учениками в работах /5-8/ разработан метод исследования корректных
краевых задач в случае произвольных дифференциальных уравнений и новое доказательство
бесконечномерности корневых векторов.
Будем говорить, что
2
t)
u(x,
L
- обобщѐнное решение уравнения (1), удовлетворяющее
условию (2-3) если
)
(
t)
u(x,
*
S
L
D
.
Корректность задачи S. Пусть
– множество функций
C
u
(Ω) удовлетворяющих
условию (2-3). Через
S
L
обозначим замыкание в пространстве
2
L
дифференциального оператора,
заданного равенством (1) на подмножестве функций из
. Под
регулярным
решением
сформулированной задачи, как обычно, будем понимать функцию
2
C
u
, обращающую в
тождество уравнение (1) и краевые условия (2-3). Функцию
2
L
u
назовем сильным решением
задачи S,
если существует последовательность
)
(
1
2
W
u
n
такая, что
n
u
и
n
Lu
сходятся в норме
2
L
соответственно к
u
и
f
. Очевидно, что
u
– сильное решение задачи S, если и только если
S
L
D
u
.
Теорема 1. Пусть
выполнено условие:
1
4
≠0
(4)
Тогда,
а) для любой
1
C
f
существует, единственное, регулярное решение задачи S (1-3) и это
решение
удовлетворяет неравенству:
2
2
1
||
||
||
||
L
W
f
c
u
(5)
б) для любой
2
L
f
существует, единственное, сильное решение задачи. Это решение
принадлежит классу:
C
W
u
2
1
и удовлетворяет неравенству (5).
в) если условие (4) не выполнено, то решение задачи S не единственно.
Полное доказательство теоремы 1 приведено в работе /9/: повторим вкратце идею, сначала
доказывается единственность регулярного решения задачи S. для однородного уравнения (1) с
неоднородными условиями (2-3) используя принцип Асгейрссона, составляем систему линейных
уравнений:
,
0
))
(
(
)
1
(
)
(
)
0
;
(
,
0
))
(
(
))
(
(
)
(
)
0
;
(
,
0
))
(
(
)
1
(
)
(
)
0
;
(
,
0
))
(
(
))
(
(
)
(
)
0
;
(
1
1
1
1
1
1
2
u
B
u
u
u
u
B
u
u
u
B
u
u
u
u
B
u
u
(6)
Проверяя систему (6) на совместность, нетрудно получить, что главный определитель этой
системы равен
2
2
)
1
(
, очевидно, что система (6), а, следовательно, и задача S имеет
бесконечное число линейно независимых решений. То есть, при
0
задача S не является нѐтеровой.
Поэтому при
0
система (6) имеет единственное решение
0
)
;
( t
x
u
.
Пусть выполнено условие
0
, тогда существует единственный обратный оператор
1
S
L
(обратный к оператору , соответствующему задаче S. в смысле сильного замыкания), этот оператор
определен на всем пространстве
2
L
, то есть единственность регулярного решения задачи S со
смещением является следствием принципа Асгейрссона.
Далее переходим к вопросу существования, решение будем искать в каждой из областей по
формуле:
,
,
1
1
1
1
1
d
f
d
u
i
i
i
(7)
24
где
2
,
1
,
2
;
2
,
4
1
1
i
f
f
i
так как в силу однозначной разрешимости начальной задачи
Коши, любое решение уравнения (1), представимо в виде (7) в каждой из областей.
В результате перехода к характеристическим переменным
,
,
t
x
t
x
- исходная область
преобразуется в область
0
, ограниченную прямыми А
0
С
0
и В
0
D
0
:
0
и
1
, а также прямыми
А
0
D
0
и В
0
С
0
:
1
,
0
. Удовлетворяя формулой (7) краевые условия (2-3) и дифференцируя их,
получим для определения
s
i
и
s
i
где
2
,
1
i
систему:
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
s
Ф
s
s
s
Ф
s
s
,
(8)
где
,
,
,
)
(
0
1
1
1
1
1
1
1
1
S
S
d
s
f
d
s
f
s
Ф
S
s
d
s
f
d
s
f
s
Ф
1
0
1
1
1
1
1
1
2
,
,
)
(
, в области
0
0
0
, из которой при выполнении условия теоремы (4) и условия склеивания на отрезке
АВ:
1
0
x
оси
получаем решение задачи S.(1)-(3) в явном виде
0
0
области
в
,
u
области
в
,
u
,
u
,
(9)
где
,
1
1
1
1
1
0
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
0
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
при
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
u
.
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
1
1
2
1
0
1
2
1
0
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
1
при
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
u
Все утверждения пункта (а) теоремы 1 являются следствием этой формулы.
Для доказательства пункта (б) теоремы покажем, что найденное при
2
L
f
решение задачи S
(1-3) является сильным: пусть
2
L
f
в силу плотности
1
C
в
2
L
существует
последовательность
1
n
C
f
такая, что
,
0
f
f
2
L
n
при
n
(10)
Через
n
u
, обозначим решение задачи S для уравнения (1) с правой частью
n
f
, в силу пункта (а)
теоремы 1,
w
C
u
n
2
2
2
. Из неравенства (5) и из (9) получаем, что
0
u
u
W
1
2
n
при
n
,
(11)
то есть последовательность
n
u
сходится к
u
при
n
в
1
2
W
. Поэтому решение
u
является сильным принадлежность сильного решения классу
C
следует из представления (5).
в) Рассмотрим теперь вопрос о не единственности решения задачи S.
Пусть (4) не имеет место, тогда из условия согласования и работы /3/ следует, что решение
задачи S не единственно. Поэтому условие (4) является необходимым для единственности решения
задачи S.
Отметим сразу также, что задача S (1-3) и ее спектральный вариант не решаются методом
разделения переменных. Ниже докажем базисность в
2
L
системы собственных и присоединенных
функций.
Спектральная задача S. Пусть выполнено условие (4).Тогда в силу теоремы 1 существует
оператор
1
S
L
(обратный к оператору , соответствующему задаче S в смысле сильного замыкания), этот
25
оператор определен на всем пространстве
. Так как
)
(
)
(
1
2
W
L
D
, то оператор
1
S
L
является
вполне непрерывным. Поэтому спектр оператора , а, следовательно, и спектр задачи S может состоять
только из собственных значений.
Напомним, что базис, получаемый из ортонормированного базиса с помощью ограниченного
обратимого
преобразования,
называется
базисом
Рисса
или
базисом,
эквивалентным
ортонормированному.
Методом, обобщающим метод работы /3/, доказывается следующий результат.
Теорема 2. Пусть
0
1
1
2
. Тогда спектр краевой задачи S состоит только из
собственных значений конечной кратности, а соответствующие им собственные и присоединенные
функции задачи S образуют полную в
систему функций и составляют базис Рисса.
Полное доказательство теоремы приведено в работе /10/: повторим вкратце идею, сначала
положим, что
0
1
1
2
, собственные и присоединенные (корневые) функции задачи S (1-3)
будем искать в виде:
,
),
(
)
ln
2
2
exp(
)
,
(
Z
n
t
U
x
ni
t
x
U
n
n
(12)
где
2
,
0
arg
,
arg
ln
ln
i
. При этом, если построенная система будет базисом в
то корневых функций другого вида нет.
Подставляя (12) в (1) и краевые условия (2-3), получим соответственно (при этом используем
разложение из /6/):
),
(
)
2
(
exp
)
,
(
t
fn
nix
t
x
f
13
2
exp
)
(
)
ln
2
2
exp(
))
(
)
(
(
2
//
nix
t
f
x
ni
t
U
t
U
n
n
n
n
где
ln
2
2 ni
n
также, для первого условия (2) имеем
,
2
1
1
2
n
n
n
U
U
при
k
n
2
.
2
1
2
2
2
k
k
U
U
Дифференцируя по
,
2
1
2
/
2
/
2
k
k
U
U
при
1
2 k
n
2
1
2
1
2
1
2
k
k
U
U
Дифференцируя по
,
2
1
2
/
1
2
/
1
2
r
k
U
U
если
,
2
1
тогда для любого
4
1
1
4
1
4
1
1
4
1
/
1
/
nk
n
nk
nk
n
nk
Значит
4
1
;
0
C
t
nk
- система функций удовлетворяющих
условию
0
4
1
1
1
4
1
1
1
/
nk
n
nk
n
Аналогично, из второго краевого условия (3) имеем
0
4
1
1
1
4
1
1
1
/
nk
n
nk
n
следовательно,
t
U
n
- собственная, либо присоединенная функция оператора, заданного уравнением
26
ln
2
2
,
2
//
ni
t
U
t
U
U
l
n
n
n
n
n
n
(14)
на линейном многообразии функций из
2
1
:
2
1
C
, удовлетворяющих условиям
0
2
1
,
2
1
1
2
1
0
,
2
1
1
1
t
t
U
t
U
t
t
U
t
U
n
n
n
n
n
n
(15)
Пусть
4
1
;
4
1
C
t
nk
- система корневых функций оператора, заданного равенством (14) на
множестве функций из
4
1
;
4
1
C
, удовлетворяющих условиям типа Штурма.
Так как краевые условия являются краевыми условиями типа Штурма, то из /5/ при каждом
система
1
n
kл
t
образует базис Рисса в
.
4
1
;
4
1
2
L
Обозначим
4
1
;
2
1
2
1
1
2
1
;
4
1
2
1
1
4
1
;
4
1
1
t
t
t
t
t
t
t
U
nk
n
nk
n
nk
nk
(16)
Нетрудно убедиться, что функции
t
U
nk
принадлежат классу
2
1
;
2
1
C
, удовлетворяют
условиям (13) и являются корневыми функциями оператора
n
l
. Поэтому функции
N
k
Z
n
t
U
e
t
x
U
nk
x
n
nk
,
,
(17)
принадлежат классу
С
, удовлетворяют краевым условиям (2-3) и являются корневыми
функциями задачи S, так как система
- ортонормированная с весом
x
x
4
, а система
t
nk
U
- образует базис Рисса в
, где
4
1
4
1
,
1
0
:
,
1
t
x
t
x
Поделитесь с Вашими друзьями: |