Халықаралық Ғылыми-тәжірибелік конференцияның ЕҢбектері

22 
 
УДК 621.373.121.14.023:517.956.32 
 
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА S СО СМЕЩЕНИЕМ  
 
Гавриков В.В. 
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан 
 
В  курсе  ТОЭ  изучают  только  основы  однородных  линейных  цепей  с  распределенными 
параметрами.  Вся  теория  излагается  применительно  к  электрическим  линиям  с  распределенными 
параметрами на переменном токе.  
Теория  однородных  линейных  магнитных  линий  на  постоянном  токе  в  значительной  мере 
аналогична  теории  однородных  линейных  электрических  линий  с  распределенными  параметрами, 
только  вместо  тока  в  уравнении  должен  быть  подставлен  магнитный  поток,  вместо      электрического   
напряжения — магнитное   напряжение, вместо продольного активного сопротивления — продольное 
магнитное сопротивление, вместо поперечной электрической проводимости — поперечная магнитная 
проводимость. 
Данная  статья  является  заключением  и  обобщением  работ  /1/  и  /2/,  в  которых  была  доказана: 
корректность и базисность в 
2
L
 системы собственных и присоединенных функций краевой задачи 
S со смещением; нумерация литературы из работы /1/. 
Уравнения  Максвелла,  описывающие  электромагнитные  процессы,  как  и  линейных 
электрических  и  магнитных  линий  с  распределенными  параметрами  можно  свести  к  уравнению 
гиперболического типа. 
Пусть 
2
R
-конечная  область,  ограниченная  характеристическими  прямыми  AC: 
0
t
x
, 
BC: 
,
1
t
x
 при 
 AD:
,
0
t
x
 BD:
,
1
t
x
 при 
 для волнового уравнения: 
x,t
f
u
u
Lu
tt
xx
                                                                      
(1) 
Обозначим 
}
0
{
,
}
0
{
t
t
, а через 
)
(
2
s
W
 будем обозначать пространство 
Л.С.Соболева со скалярным произведением 
s
,
, 
...
2
,
1
,
0
s
 и нормой 
;
s
 
)
(
)
(
2
0
2
L
W
. 
Задача S. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям: 
,
1
0
,
1
0
при
u
u
                                                     
(2) 
1
0
,
1
0
при
u
u
,                                                      (3) 
где 
,
2
;
2
0
AC
,
2
1
;
2
1
1
BC
,
2
;
2
0
AD
,
2
1
;
2
1
1
ВD
 
– произвольное комплексное число.  
Задача S., и ее спектральный вариант является  обобщением известной задачи Т.Ш Кальменова-
А.М.  Нахушева  /2/-/6/  со  смещением.  В  работе  /2/  на  основании  принципа  Асгейрссона  доказана 
регулярная  однозначная  разрешимость  задачи  S  для  однородного  уравнения  (1)  с  неоднородными 
условиями (2). Т.Ш. Кальменовым в работе /3/ доказана полнота системы собственных функций задачи 
S,  рассматриваемой  в  характеристическом  треугольнике  АВС,  доказательство  основано  на 
продолжении решения  задачи  в  область, 
  симметричную 
  относительно  оси 
0
t
  и  решение 
задачи в квадрате 
 методом разделения переменных. В работах /4-6/ задача Т.Ш. Кальменова 
-  А.М.  Нахушева  обобщается,  причем  возникает  ряд  новых  задач,  в  которых  М.A.  Садыбековым  и 
учениками  Т.Ш.  Кальменова  рассмотрены  обобщения  задачи  типа  задач  S.(1-3).  Причем  М.А. 
Садыбеков  использует  новый  метод,  то  есть  спектральный  вариант,  который  не  решается  методом 
разделения  переменных,  и  приводятся  критериии  корректности  задач  типа  задачи  S.,  и  доказывается 
базисность  в 
2
L
  системы  собственных  и  присоединенных  функций.  При  этом  существенно 
используется  известный  операторный  метод  М.О.  Отелбаева  -  Т.Ш.  Кальменова  регулярных 
расширений  /7/,  предложенный  ими  и  используемый  другими  математиками  в  работах  /8/,  в  данной 
работе используется их определение. 
Определение:  Оператор 
L
-замыкаем  в 
2
L
  называется  расширением  (по  М.О.Отелбаеву  - 
Т.Ш.Кальменову)  замыкания  -    на 
,  а 
*
S
L
-  оператор,  сопряженный  с  оператором
S
L
,  если 
L
 
имеет ограниченно обратный оператор 
1
S
L
, определѐнный на всѐм 
2
L
, причѐм 
*
S
S
L
L
L
. 

23 
 
Т  Ш  Кальменовым  и  учениками  в  работах  /5-8/  разработан  метод  исследования  корректных 
краевых  задач  в  случае  произвольных  дифференциальных  уравнений  и  новое  доказательство 
бесконечномерности корневых векторов. 
Будем  говорить,  что 
2
  
t)
u(x,
L
-  обобщѐнное  решение  уравнения  (1),  удовлетворяющее 
условию (2-3) если 
)
(
t)
u(x,
*
S
L
D
.
 
 
Корректность  задачи  S.  Пусть 
  –  множество  функций 
C
u
(Ω)  удовлетворяющих 
условию  (2-3).  Через 
S
L
  обозначим  замыкание  в  пространстве 
2
L
  дифференциального  оператора, 
заданного равенством (1) на подмножестве функций из 
. Под 
регулярным 
решением 
сформулированной  задачи,  как  обычно,  будем  понимать  функцию 
2
C
u
,  обращающую  в 
тождество  уравнение  (1)  и  краевые  условия  (2-3).  Функцию 
2
L
u
  назовем  сильным  решением 
задачи  S,
 
если  существует  последовательность 
)
(
1
2
W
u
n
  такая,  что 
n
u
    и 
n
Lu
  сходятся  в  норме 
2
L
  соответственно  к 
u
и 
f
.  Очевидно,  что 
u
  –  сильное  решение  задачи  S,  если  и  только  если 
S
L
D
u
.  
Теорема 1. Пусть
 
 выполнено условие:      
 
1
4
≠0             
 
 
 
                                        (4) 
Тогда,  
а)  для  любой 
1
C
f
  существует,  единственное,  регулярное  решение  задачи  S  (1-3)  и  это 
решение  
удовлетворяет неравенству:  
 
2
2
1
||
||
||
||
L
W
f
c
u
                                                                                         
(5) 
 
б)  для  любой 
2
L
f
  существует,  единственное,  сильное  решение  задачи.  Это  решение 
принадлежит классу: 
C
W
u
2
1
 и удовлетворяет неравенству (5). 
в) если условие (4) не выполнено, то решение задачи S не единственно. 
Полное  доказательство  теоремы  1  приведено  в  работе  /9/:  повторим  вкратце  идею,  сначала 
доказывается  единственность  регулярного  решения  задачи  S.  для  однородного  уравнения  (1)  с 
неоднородными  условиями  (2-3)  используя  принцип  Асгейрссона,  составляем  систему  линейных 
уравнений: 
,
0
))
(
(
)
1
(
)
(
)
0
;
(
,
0
))
(
(
))
(
(
)
(
)
0
;
(
,
0
))
(
(
)
1
(
)
(
)
0
;
(
,
0
))
(
(
))
(
(
)
(
)
0
;
(
1
1
1
1
1
1
2
u
B
u
u
u
u
B
u
u
u
B
u
u
u
u
B
u
u
 
 
 
 
(6) 
 
Проверяя  систему  (6)  на  совместность,  нетрудно  получить,  что  главный  определитель  этой 
системы  равен 
2
2
)
1
(
,  очевидно,  что  система  (6),  а,  следовательно,  и  задача  S  имеет 
бесконечное число линейно независимых решений. То есть, при 
0
 задача S не является нѐтеровой. 
Поэтому при 
0
 система (6) имеет единственное решение 
0
)
;
( t
x
u
. 
Пусть выполнено условие 
0
, тогда существует единственный обратный оператор 
1
S
L
 
(обратный к оператору  , соответствующему задаче S. в смысле сильного замыкания), этот оператор 
определен на всем пространстве 
2
L
, то есть единственность регулярного решения задачи S со 
смещением является следствием принципа Асгейрссона.  
Далее переходим к вопросу существования, решение будем искать в каждой из областей по 
формуле: 
,
,
1
1
1
1
1
d
f
d
u
i
i
i
 
   (7) 

24 
 
где 
2
,
1
,
2
;
2
,
4
1
1
i
f
f
i
 так как в силу однозначной разрешимости начальной задачи 
Коши, любое решение уравнения (1), представимо в виде (7) в каждой из областей. 
В  результате  перехода  к  характеристическим  переменным   
,
,
t
x
t
x
-  исходная  область 
 преобразуется в область 
0
, ограниченную прямыми А
0
С
0
 и В
0
D
0
: 
0
и 
1
, а также прямыми 
А
0
D
0
  и  В
0
С
0
: 
1
,
0
.  Удовлетворяя  формулой  (7)  краевые  условия  (2-3)  и  дифференцируя  их, 
получим для определения 
s
i
и 
s
i
 где 
2
,
1
i
 систему:  
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
s
Ф
s
s
s
Ф
s
s
 ,                                               
 
 
 
   (8) 
где 
,
,
,
)
(
0
1
1
1
1
1
1
1
1
S
S
d
s
f
d
s
f
s
Ф
 
S
s
d
s
f
d
s
f
s
Ф
1
0
1
1
1
1
1
1
2
,
,
)
(
,  в  области 
0
0
0
,  из  которой  при  выполнении  условия  теоремы  (4)  и  условия  склеивания  на  отрезке 
АВ: 
1
0
x
 оси 
 получаем решение задачи S.(1)-(3) в явном виде  
0
0
области
в
,
u
области
в
,
u
,
u
,                                                                   
    (9) 
где
,
1
1
1
1
1
0
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
0
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
при
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
u
.
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
1
1
2
1
0
1
2
1
0
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
1
при
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
u
 
Все утверждения пункта (а) теоремы 1 являются следствием этой формулы. 
Для доказательства пункта (б) теоремы покажем, что найденное при 
2
L
f
 решение задачи S 
(1-3)  является  сильным:  пусть 
2
L
f
  в  силу  плотности 
1
C
  в 
2
L
  существует 
последовательность 
1
n
C
f
 такая, что  
,
0
f
f
2
L
n
 при 
n
                               
 
 
(10) 
 
Через 
n
u
, обозначим решение задачи S для уравнения (1) с правой частью 
n
f
, в силу пункта (а) 
теоремы 1, 
w
C
u
n
2
2
2
. Из неравенства (5) и из (9) получаем, что  
0
u
u
W
1
2
n
 при 
n
,                        
 
 
 
(11) 
то  есть  последовательность 
n
u
  сходится  к 
u
  при 
n
  в 
1
2
W
.  Поэтому  решение 
u
 
является сильным принадлежность сильного решения классу 
C
 следует из представления (5). 
в) Рассмотрим теперь вопрос о не единственности решения задачи S. 
Пусть  (4)  не  имеет  место,  тогда  из  условия  согласования  и  работы    /3/  следует,  что  решение 
задачи  S  не  единственно.  Поэтому  условие  (4)  является  необходимым  для  единственности  решения 
задачи S. 
Отметим  сразу  также,  что  задача  S  (1-3)  и  ее  спектральный  вариант  не  решаются  методом 
разделения переменных. Ниже докажем базисность в 
2
L
 системы собственных и присоединенных 
функций. 
Спектральная  задача  S.  Пусть  выполнено  условие  (4).Тогда  в  силу  теоремы  1  существует 
оператор 
1
S
L
(обратный к оператору , соответствующему задаче S в смысле сильного замыкания), этот 

25 
 
оператор  определен  на  всем  пространстве 
.  Так  как 
)
(
)
(
1
2
W
L
D
,  то  оператор 
1
S
L
  является 
вполне непрерывным. Поэтому спектр оператора  , а, следовательно, и спектр задачи S может состоять 
только из собственных значений.  
Напомним,  что  базис,  получаемый  из  ортонормированного  базиса  с  помощью  ограниченного 
обратимого 
преобразования, 
называется 
базисом 
Рисса 
или 
базисом, 
эквивалентным 
ортонормированному.  
Методом, обобщающим метод работы /3/, доказывается следующий результат. 
Теорема  2.  Пусть 
0
1
1
2
.  Тогда  спектр  краевой  задачи  S  состоит  только  из 
собственных  значений  конечной  кратности,  а  соответствующие  им  собственные  и  присоединенные 
функции задачи S образуют полную в 
 систему функций и составляют базис Рисса. 
Полное доказательство теоремы приведено в работе /10/: повторим вкратце идею, сначала 
положим, что 
0
1
1
2
, собственные и присоединенные (корневые) функции задачи S (1-3) 
будем искать в виде:  
,
),
(
)
ln
2
2
exp(
)
,
(
Z
n
t
U
x
ni
t
x
U
n
n
 
 
 
 
 
   (12) 
где 
2
,
0
arg
,
arg
ln
ln
i
. При этом, если построенная система будет базисом в 
 
то корневых функций другого вида нет.  
Подставляя  (12)  в  (1)  и  краевые  условия  (2-3),  получим  соответственно  (при  этом  используем 
разложение из /6/): 
),
(
)
2
(
exp
)
,
(
t
fn
nix
t
x
f
 
13
2
exp
)
(
)
ln
2
2
exp(
))
(
)
(
(
2
//
nix
t
f
x
ni
t
U
t
U
n
n
n
n
 
где 
ln
2
2 ni
n
 
 
также, для первого условия (2) имеем 
,
2
1
1
2
n
n
n
U
U
 
при 
k
n
2
 
.
2
1
2
2
2
k
k
U
U
 
Дифференцируя по    
,
2
1
2
/
2
/
2
k
k
U
U
 
при 
1
2k
n
 
2
1
2
1
2
1
2
k
k
U
U
 
Дифференцируя по    
,
2
1
2
/
1
2
/
1
2
r
k
U
U
если 
,
2
1
 тогда для любого   
4
1
1
4
1
4
1
1
4
1
/
1
/
nk
n
nk
nk
n
nk
 
Значит 
4
1
;
0
C
t
nk
- система функций удовлетворяющих 
условию
0
4
1
1
1
4
1
1
1
/
nk
n
nk
n
 
Аналогично,  из  второго  краевого  условия  (3)  имеем 
0
4
1
1
1
4
1
1
1
/
nk
n
nk
n
 
 
следовательно, 
t
U
n
 - собственная, либо  присоединенная функция оператора, заданного уравнением  

26 
 
ln
2
2
,
2
//
ni
t
U
t
U
U
l
n
n
n
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
(14) 
на линейном многообразии функций из 
2
1
:
2
1
C
, удовлетворяющих условиям  
0
2
1
,
2
1
1
2
1
0
,
2
1
1
1
t
t
U
t
U
t
t
U
t
U
n
n
n
n
n
n
    
 
 
 
 
 
(15) 
Пусть 
4
1
;
4
1
C
t
nk
  - система корневых функций оператора, заданного равенством (14) на 
множестве функций из 
4
1
;
4
1
C
, удовлетворяющих условиям типа Штурма. 
Так как краевые условия являются краевыми условиями типа Штурма, то из  /5/ при каждом   
система 
1
n
kл
t
 образует базис Рисса в 
.
4
1
;
4
1
2
L
Обозначим 
4
1
;
2
1
2
1
1
2
1
;
4
1
2
1
1
4
1
;
4
1
1
t
t
t
t
t
t
t
U
nk
n
nk
n
nk
nk
 
 
 
 
 
 
(16) 
Нетрудно  убедиться,  что  функции 
t
U
nk
  принадлежат  классу 
2
1
;
2
1
C
,  удовлетворяют 
условиям (13)  и являются корневыми функциями оператора 
n
l
. Поэтому функции  
N
k
Z
n
t
U
e
t
x
U
nk
x
n
nk
,
,
                           
 
 
  (17) 
принадлежат  классу 
С
,  удовлетворяют  краевым  условиям  (2-3)  и  являются  корневыми 
функциями задачи S, так как система 
- ортонормированная с весом 
x
x
4
, а система 
t
nk
U
 
- образует базис Рисса в 
, где 
4
1
4
1
,
1
0
:
,
1
t
x
t
x
 

жүктеу 0.53 Mb.

Поделитесь с Вашими друзьями: