Литература:
1.
Б.П. Торебаев. Основы дизайна текстильных изделий. Ташкент «Tafakkur qanoti» 2013
2.
В.Н. Козлов Основы художественного оформления текстильных изделий М.; «Легкая и пищевая
промышленность», 1981
3.
Бесчастнов Н.П., Журавлева Т.А. Художественное проектирование текстильного печатного
рисунка. М.: МГТУ. Группа «Совьяж Бево» 2003.
276
УДК 517-583
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ЧЕРЕЗ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Турганбаева Ж.Н.
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан
turganbaeva_zhan@mail.ru
Екі гармониялық функциялар аркылы белгілі Коши-Риман жуйесін жалпылайтын, бірінші ретті
тӛрт тәуелсіз айнымалыдан кҧралған әртҥрлі теңдеулер жҥйесінің шешімдерінің ӛрнектеуі табылган
және Риман-Гилберт есебі гармониялық функция ҥшін кӛлбеу туындылы есебіне келтірілген.
Submissions of decisions of small systems of the equations of the first order, from four independent
variables generalizing known system of Koshi-Riman are found, through derivatives of two harmonious
functions and Rimana-Hilbert problem is reduced to the oblique derivative problem for harmonic functions.
Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка четырех
независимых переменных
z
y
x
,
,
и
t
, являющейся четырехмерным обобщением известной системы
Коши-Римана:
0
z
y
x
t
w
v
u
s
,
0
z
y
x
t
v
w
s
u
,
0
z
y
x
t
u
s
w
v
,
0
z
y
x
t
s
u
v
w
, (1)
где
w
v
u
s
,
,
,
искомые функции и эта система называется Мойсила-Теодореску [1].
Эту систему можно записать одним дифференциальным уравнением, если в рассмотрение ввести
кватернионнозначную функцию [2]
kw
jv
iu
s
U
(2)
и кватернионное дифференцирование
z
k
y
j
x
i
t
(3)
с кватернионными единицами
k
j
i ,
,
с обычными правилами умножения:
,
k
ji
ij
1
2
2
j
i
, (4)
Тогда эллиптическая система (1) эквивалентно одному дифференциальному уравнению
,
0
kw
jv
iu
s
z
k
y
j
x
i
t
U
(5)
где
kz
jy
ix
t
,
kz
jy
ix
t
.
Кватернионнозначную функцию можно представить в виде:
j
iw
v
iu
s
U
или
iw
v
j
iu
s
U
Тогда кватернионнозначное дифференцирование записывается в следующей форме:
,
2
2
q
j
p
j
qj
p
j
U
(6)
где
iu
s
p
,
iw
v
q
,
x
i
t
2
1
,
z
i
y
2
1
. (7)
В дальнейшем мы будем рассматривать также операторы
x
i
t
2
1
,
z
i
y
2
1
. (8)
или
z
y
x
t
k
j
i
.
Используя эти операторы, из уравнений (6) имеем
277
0
q
j
j
p
. (9)
Отсюда
0
2
1
q
j
z
i
y
j
p
или
0
q
p
. (10)
Из уравнений (6) кроме соотношения (9) имеем еще одно соотношение
0
q
j
P
j
Преобразуя его следующим образом
0
2
1
q
x
i
t
j
p
j
,
получим
0
q
p
. (11)
Таким образом, для определения функций
iu
s
p
,
iw
v
q
, получим систему уравнений
(10) и (11):
0
q
p
,
0
q
p
. (12)
Если введем в рассмотрение аналитическую функцию
,
,
,
всех своих аргументов
,
,
,
, то общее решение первого уравнения системы (12) дается формулами
p
,
q
, (13)
Подставляя (13) во второе уравнение системы (12), для функции
получим, что она должна
удовлетворить уравнению Лапласа
0
2
2
.
Следовательно, для того чтобы формулы (13) представляли общее решение системы (12),
аналитическая функция
должна иметь (через две произвольные действительные функции
и
)
следующий вид
z
y
x
t
i
z
y
x
t
z
y
x
t
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Тогда из формулы (13) имеем
.
2
1
2
1
2
1
x
x
t
t
z
z
y
y
j
k
k
j
i
i
i
x
i
t
j
i
z
i
y
j
q
j
p
Так как левая часть последнего равенства представима в виде
kw
jv
iu
s
q
j
p
,
а в правой части
2
1
и
2
1
-гармонические функции, то их обратно обозначив теми же буквами
и
, получим представление решений системы (1) в виде:
z
y
s
,
z
y
u
,
x
t
v
,
x
t
w
. (14)
278
Соотношения (14) выражают решение системы (5) через производные двух произвольных
гармонических функций
и
. С помощью этих представлений задачу Римана – Гильберта для
системы (5) приведем к известной задаче о наклонной производной для двух гармонических функций.
Задача Римана – Гильберта для системы (1) ставится следующим образом: требуется найти
регулярное в области решение системы (1)
w
v
u
s
,
,
,
, удовлетворяющее на границе
области
D
условиям [3]
i
i
i
i
i
f
w
d
v
c
u
b
s
a
, (
2
,
1
i
). (15)
где
i
i
i
i
d
c
b
a
,
,
,
заданные на
функции.
Теперь, подставляя представления (14) решений системы (5) в (15), получаем
i
z
i
y
i
x
i
t
i
z
i
y
i
x
i
t
i
f
a
b
c
d
b
a
d
c
, (
2
,
1
i
) . (16)
Мы пришли к задаче о наклонной производной для гармонических функций: требуется найти
регулярные гармонические в области функции
и
, непрерывно дифференци-руемые в замкнутой
области
D
, удовлетворяющие на границе
области
D
условию
F
Q
P
,
,
, (12)
где вектор
i
i
i
i
b
a
d
c
P
,
,
,
, вектор
i
i
i
i
a
b
c
d
Q
,
,
,
,
2
1
, f
f
F
,
операция
градиента.
Представляя гармонических функций
и
в виде потенциалов простого слоя, задачу (12)
можем свести к системе сингулярных интегральных уравнений. В силу того, что нет соответствующего
аналога аппарата теории функций комплексного переменного [3], задача (12) мало исследована, но
отдельные частные случаи этой задачи (12) можно изучить различными методами [1].
Обозначим через множество однородных эллиптических систем
p
уравнений порядка
s
с
n
независимыми переменными и постоянными комплексными коэффициен-тами. При
1
,
2 s
p
и
4
n
в [4] доказано, что множество комплексных эллиптических систем имеет две компоненты
связности, представителями которых служат операторы
2
1
4
3
4
3
2
1
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
,
2
1
4
3
4
3
2
1
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
(18)
Теперь представим решения системы эллиптических уравнений
0
4
3
2
1
x
x
x
x
w
v
u
s
,
0
4
3
2
1
x
x
x
x
v
w
s
u
,
0
4
3
2
1
x
x
x
x
u
s
w
v
,
0
4
3
2
1
x
x
x
x
s
u
v
w
(19)
и
0
4
3
2
1
x
x
x
x
w
v
u
s
,
0
4
3
2
1
x
x
x
x
v
w
s
u
,
0
4
3
2
1
x
x
x
x
u
s
w
v
,
0
4
3
2
1
x
x
x
x
s
u
v
w
(20)
через две гармонические функции.
Вводя в рассмотрение две комплексные функции
iu
s
p
,
iw
v
q
и две комплексные
переменные
2
1
ix
x
,
4
3
ix
x
, систему (19) запишем в виде
0
q
p
,
0
q
p
. (19‘)
Общее решение этой системы дается через производные гармонической комплексной функции
4
3
2
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
x
x
x
i
x
x
x
x
в виде
i
x
i
x
iu
s
2
1
,
i
x
i
x
iw
v
4
3
.
279
Отсюда
2
1
x
x
s
,
2
1
x
x
u
,
4
3
x
x
v
,
4
3
x
x
w
. (21)
Аналогично (20) записывается через комплексные функции
p
и
q
в следующей форме
0
q
p
,
0
q
p
(20‘)
и
i
x
i
x
iu
s
2
1
,
i
x
i
x
iw
v
4
3
.
Решение системы (20) представляется через две гармонические функции
и
:
2
1
x
x
s
,
2
1
x
x
u
,
4
3
x
x
v
,
4
3
x
x
w
. (22)
Самым общим обобщением системы уравнений первого порядка от четырех переменных
эллиптического типа является система
0
4
4
3
3
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
w
b
v
b
w
b
v
b
u
s
,
0
4
4
3
3
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
w
b
v
b
w
b
v
b
s
u
,
0
4
4
3
3
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
u
kb
s
kb
u
kb
s
kb
w
v
, (23)
0
4
4
3
3
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
u
kb
s
kb
u
kb
s
kb
v
w
.
где
2
1
ib
b
b
произвольная комплексная постоянная,
.
1
2
2
2
1
b
b
k
Вышеприведенным методом ее решение
w
v
u
s
,
,
,
можно представить через две гармонические
функции
и
в следующем виде:
4
3
3
4
2
1
x
x
x
x
b
b
s
,
4
4
4
3
2
1
x
x
x
x
b
b
u
,
2
1
x
x
v
,
1
2
x
x
w
. (24)
С помощью представлений решений через две гармонические функций (14), (21),(22) и (24)
можно исследовать задачу (15), приводя ее к задаче о наклонной производной для двух гармонических
функций для систем уравнений (1), (19),(20) и(23).
Литература
1.
Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск. Наука.
1985. 261 с.
2.
Виноградов В.С. Докл. АН СССР, 1971, т.199, №5, с.1008-1010.
3.
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1981.
204 с.
4.
Шевченко В.И. Докл. АН БССР,1987, т.XXII, №8. С.681-683.
280
УДК 517-43
NORMAL SEMIFINITE FAITHFUL TRACES
Турганбаева Ж.Н.
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан
turganbaeva_zhan@mail.ru
Түйін
Бұл статьяда коммутативті
p
L
кеңістіктеріндегі τ-ӛлшемді операторлар үшін параллелограмм заңы
зерттелді және оның айқын түрі кӛрсетілді.
Резюме
В этой статье исследована закон параллелограмма для τ -мерного оператора в коммутативных
p
L
пространствах.
In this paper we give parallelogram law for the noncommutative
p
L
-norms of -measurable
operators, mainly introduced some notations, definitions and some properties of von Neumann algebras,
noncommutative
p
L
-spaces, -measurable operators and singular numbers.
Let
H
be a complex Hilbert space and let
(
)
B H
denote the algebra of all bounded linear operators
on
H
. Equipped with the usual adjoint as involution,
(
)
B H
becomes a unital C*-algebra. The unit of
(
)
B H
, which is the identity operator on
H
, will be systematically denoted by 1. As a Banach space,
(
)
B H
is a dual space, whose predual is the class of trace operators. Recall that a von Neumann algebra on
H
is a C*-subalgebra
M
of
(
)
B H
which contains 1 and is w*-closed (i.e. a-weakly closed). In particular,
M
is also a dual Banach space whose predual is denoted by
*
M
. (Recall that the classical Sakai theorem
asserts that
M
admits a unique predual.) A linear functional
on
M
belongs to
*
M
iff it is continuous on
M
with respect to the a-weak operator topology. Such a linear functional is said to be normal. The positive
part of
M
is denoted by
M
. The modulus (or absolute value) of an operator
x
M
is defined as
*
1/ 2
(
)
x
x x
. We could equally define the modulus of
x
as
* 1/ 2
(
)
xx
, which is
*
x
. Note that because
of noncommutativity,
*
x
x
in general. To distinguish
x
and
*
x
, we sometimes call them the left
modulus and right modulus, respectively.
We will frequently use polar and spectral decompositions. Let
(
)
x
B H
. There is a unique couple
( , )
u y
verifying the following:
,
( )
x
uy y
B H
and
u
is a partial isometry such that
*
(ker )
x
u u
P
where P
K
denotes the orthogonal projection from
H
onto a closed subspace
K
H
. Then
y
x
and
*
(
)
imx
uu
P
with imx
H
. Thus
x
u x
, the polar decomposition of
x
. Let
*
( )
r x
u u
and
*
( )
l x
uu
.We call
( )
r x
and
( )
l x
the left and right supports of
x
, respectively. Note
the
( )
l x
(resp.
( )
r x
) is the least projection e of
(
)
B H
such that
ex
x
(resp.
x
xe
). If
x
is
selfadjoint,
( )
( )
r x
l x
. This common projection is then called the support of
x
and denoted by
( )
s x
. If
x
is in a von Neumann algebra M. Then all these operators associated to
x
belong to
M
too.
Now let
( )
x
B H
. Then
x
admits a unique spectral decomposition (or resolution of identity):
0
( ).
x
de x
The spectral measure of
x
is supported on the spectrum
( )
x
. Note that an operator
(
)
y
B H
commutes with
x
iff
y
commutes with all spectral projections of
x
. Let h be a bounded Borel function on
( )
x
. Then the Borel functional calculus defines a bounded operator
( )
x
via the integral formula:
281
( )
( )
( )
( ).
x
x
de x
Again, if
x
M
, its spectral projections and
( )
x
belong to
M
too. In particular,
p
x
M
for
any
0
p
.
Let
(
)
M
be the lattice of projections of
M
. We will often denote
(
)
M
simply by P whenever
no confusion can occur. Set
1
e
e
for
e
. Given a family of projections
( )
i i I
e
, we denote
as usual by
i
e
and
i
e
its supremum and infimum, respectively. Recall that
i
e
(resp.
i
e
) is the
projection from
H
onto the subspace generated by the
( )
i
e H
(resp. onto the subspace
( )
i
e H
Consequently,
(
)
.
i
i
i I
i I
e
e
Two projections
e
and
f
are said to be equivalent if there exists a partial isometry
u
M
such that
*
u u
e
and
*
uu
f
. In this case, we write
e
f
and call
e
(resp.
f
) the initial (resp. final)
projection of
u
. If e is equivalent to a subprojection of
f
, we write
e
f
. Note the very useful fact that
( )
( )
r x
l x
for any
x
M
by virtue of the polar decomposition of
x
.The following elementary properties
of projections will be frequently used.
Proposition 1.1.1 Let e and f be two projections of M. Then
(i)
.
e
f
f
e
e
f
(ii)
0
.
e
f
e
f
Proof. (i) It is clear that
ker(
)
( )
( )
( )
(
)( );
ef
f H
e H
f
H
f
e
f
H
whence
(
)
r ef
e
f
f
and
(
)
l f e
e
f
f
. The latter equality also implies that
(
)
l ef
f
e
e
e e
f
. Therefore,
e
f
f
e
e
f
.
(ii) We have that
0
) 1
e
f
e
f
. Thus by (i)
.
e
f
e
e
f
f
e
and
e
f
Now we turn to the central notion of this chapter, i.e. that of normal semifinite faithful traces. We use
the usual convention about operations involving
. Namely,
for
0
,
for
0
and
0
0
.
Definition 1.1.2 Let
M
be a von Neumann algebra and
M
its positive part.
(i)
A trace on
M
is a map
:
[0, )
M
satisfying
1)
,
,
x y
M
R
:
(
)
( )
( )
x
y
x
y
;
2)
x
M
:
*
*
(
)
(
)
xx
x x
;
(ii) A trace
is said to be normal if
sup ( )
(sup )
i
i
i
i
x
x
for any bounded increasing net
( )
i i I
x
in
M
, faithful if
( )
0
x
implies
0
x
, finite if
(1)
, and semifinite if for any non-zero
282
x
M
there is a non-zero
y
M
such that
y
x
and
( )
y
.In the sequel, unless explicitly
stated otherwise, т will always denote a normal semifinite faithful (abbreviated as n.s.f.) trace on
M
. This
requires that
M
be semifinite. There exist, of course, non semifinite von Neumann algebras (i.e. all those of
type III). What is crucial in the preceding definition is the tracial property that
*
*
(
)
(
)
xx
x x
.
(i) A trace
is increasing, i.e.
0
( )
( )
x
y
x
y
. Consequently, if
is
finite,
( )
x
for any
x
M
.In this case,
can be uniquely extended to a linear functional on
M
. If
is finite, we will often assume it is normalized, i.e.
(1) 1
.
(ii)
The tracial property implies that
is unitary invariant,( i.e.faithful tracial state) on
M
, we
call (
M
,
) a noncommutative probability space. By analogy, we sometimes call (
M
,
) a
noncommutative measure space if
is an n.s.f. trace on
M
.The following elementary properties of an n.s.f.
trace will be repeatedly used later.
Поделитесь с Вашими друзьями: |