Халықаралық Ғылыми-тәжірибелік конференцияның ЕҢбектері

276 
 
УДК 517-583 
 
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 
ЧЕРЕЗ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 
 
Турганбаева Ж.Н.  
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан 
turganbaeva_zhan@mail.ru 
 
Екі гармониялық функциялар аркылы белгілі Коши-Риман жуйесін жалпылайтын, бірінші ретті 
тӛрт  тәуелсіз  айнымалыдан  кҧралған    әртҥрлі  теңдеулер  жҥйесінің  шешімдерінің  ӛрнектеуі  табылган 
және Риман-Гилберт есебі гармониялық функция ҥшін кӛлбеу туындылы есебіне келтірілген. 
Submissions  of  decisions  of  small  systems  of  the  equations  of  the  first  order,  from  four  independent 
variables  generalizing  known  system  of  Koshi-Riman  are  found,  through  derivatives  of  two  harmonious 
functions and Rimana-Hilbert problem is reduced to the oblique derivative problem for harmonic functions. 
Рассмотрим  следующую  систему  дифференциальных  уравнений  первого  порядка  четырех 
независимых  переменных 
z
y
x
,
,
  и 
t
,  являющейся  четырехмерным  обобщением  известной  системы 
Коши-Римана:  
0
z
y
x
t
w
v
u
s
, 
0
z
y
x
t
v
w
s
u
, 
0
z
y
x
t
u
s
w
v
, 
0
z
y
x
t
s
u
v
w
,                                           (1)  
где 
w
v
u
s
,
,
,
искомые функции и эта система называется Мойсила-Теодореску [1]. 
Эту систему можно записать одним дифференциальным уравнением, если в рассмотрение ввести 
кватернионнозначную функцию [2] 
kw
jv
iu
s
U
                                                                                 (2) 
и кватернионное дифференцирование 
z
k
y
j
x
i
t
                                                                      (3) 
с кватернионными единицами 
k
j
i ,
,
 с обычными правилами умножения: 
,
k
ji
ij
1
2
2
j
i
,                                                                          (4) 
Тогда эллиптическая система (1) эквивалентно одному дифференциальному уравнению 
,
0
kw
jv
iu
s
z
k
y
j
x
i
t
U
                               (5) 
где 
kz
jy
ix
t
, 
kz
jy
ix
t
. 
Кватернионнозначную функцию можно представить в виде: 
j
iw
v
iu
s
U
 или 
iw
v
j
iu
s
U
 
Тогда кватернионнозначное дифференцирование записывается в следующей форме: 
,
2
2
q
j
p
j
qj
p
j
U
                              (6) 
где  
iu
s
p
, 
iw
v
q
, 
x
i
t
2
1
, 
z
i
y
2
1
.              (7) 
В дальнейшем мы будем рассматривать также операторы 
x
i
t
2
1
, 
z
i
y
2
1
.                                                      (8) 
или 
z
y
x
t
k
j
i
. 
Используя эти операторы, из уравнений (6) имеем 

277 
 
0
q
j
j
p
  .                                                                                       (9) 
Отсюда 
0
2
1
q
j
z
i
y
j
p
 
или  
0
q
p
.                                                                                                (10) 
Из уравнений (6) кроме соотношения (9) имеем еще одно соотношение 
0
q
j
P
j
 
Преобразуя его следующим образом 
0
2
1
q
x
i
t
j
p
j
, 
 получим 
0
q
p
.                                                                                                     (11) 
Таким образом, для определения функций 
iu
s
p
, 
iw
v
q
, получим систему уравнений 
(10) и (11): 
0
q
p
, 
0
q
p
.                                           (12) 
Если  введем  в  рассмотрение  аналитическую  функцию 
,
,
,
  всех  своих  аргументов 
,
,
,
, то общее решение первого уравнения системы (12) дается формулами 
p
, 
q
,                                                     (13) 
Подставляя  (13)  во  второе  уравнение  системы  (12),  для  функции 
  получим,  что  она  должна 
удовлетворить уравнению Лапласа 
0
2
2
. 
Следовательно,  для  того  чтобы  формулы  (13)  представляли  общее  решение  системы  (12), 
аналитическая  функция 
  должна  иметь  (через  две  произвольные  действительные  функции 
и 
) 
следующий вид 
z
y
x
t
i
z
y
x
t
z
y
x
t
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, 
Тогда из формулы (13) имеем 
.
2
1
2
1
2
1
x
x
t
t
z
z
y
y
j
k
k
j
i
i
i
x
i
t
j
i
z
i
y
j
q
j
p
 
Так как левая часть последнего равенства представима в виде 
kw
jv
iu
s
q
j
p
, 
а в правой части 
2
1
 и 
2
1
-гармонические функции, то их обратно обозначив теми же буквами 
 и 
, получим представление решений системы (1) в виде:  
z
y
s
, 
z
y
u
, 
x
t
v
, 
x
t
w
.                                         (14) 

278 
 
Соотношения  (14)  выражают  решение  системы  (5)  через  производные  двух  произвольных 
гармонических  функций 
  и 
.  С  помощью  этих  представлений  задачу  Римана  –  Гильберта  для 
системы (5) приведем к известной задаче о наклонной производной для двух гармонических функций. 
Задача  Римана  –  Гильберта  для  системы  (1)  ставится  следующим  образом:  требуется  найти 
регулярное  в  области  решение  системы  (1) 
w
v
u
s
,
,
,
,  удовлетворяющее  на  границе 
  области 
D
 
условиям [3] 
i
i
i
i
i
f
w
d
v
c
u
b
s
a
, (
2
,
1
i
).                                               (15) 
где 
i
i
i
i
d
c
b
a
,
,
,
 заданные на 
 функции. 
Теперь, подставляя представления (14) решений системы (5) в (15), получаем 
i
z
i
y
i
x
i
t
i
z
i
y
i
x
i
t
i
f
a
b
c
d
b
a
d
c
, (
2
,
1
i
) .               (16) 
Мы  пришли  к  задаче  о  наклонной  производной  для  гармонических  функций:  требуется  найти 
регулярные  гармонические  в  области  функции 
и 
,  непрерывно  дифференци-руемые в  замкнутой 
области 

D
, удовлетворяющие на границе 
 области 
D
 условию 
F
Q
P
,
,
,                                                            (12) 
где    вектор 
i
i
i
i
b
a
d
c
P
,
,
,
,  вектор 
i
i
i
i
a
b
c
d
Q
,
,
,
, 
2
1
, f
f
F
, 
операция 
градиента. 
Представляя  гармонических  функций 
и 
  в  виде  потенциалов  простого  слоя,  задачу  (12) 
можем свести к системе сингулярных интегральных уравнений. В силу того, что нет соответствующего 
аналога  аппарата  теории  функций  комплексного  переменного  [3],  задача  (12)  мало  исследована,  но 
отдельные частные случаи этой задачи (12) можно изучить различными методами [1]. 
Обозначим  через    множество  однородных  эллиптических  систем 
p
уравнений  порядка 
s
  с 
n
независимыми  переменными  и  постоянными  комплексными  коэффициен-тами.  При 
1
,
2 s
p
  и 
4
n
в  [4]  доказано,  что  множество    комплексных  эллиптических  систем  имеет  две  компоненты 
связности, представителями которых служат операторы 
2
1
4
3
4
3
2
1
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
,  
2
1
4
3
4
3
2
1
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
                        (18) 
Теперь представим решения системы эллиптических уравнений  
0
4
3
2
1
x
x
x
x
w
v
u
s
,    
0
4
3
2
1
x
x
x
x
v
w
s
u
, 
0
4
3
2
1
x
x
x
x
u
s
w
v
,     
0
4
3
2
1
x
x
x
x
s
u
v
w
                                         (19) 
и                                          
0
4
3
2
1
x
x
x
x
w
v
u
s
,   
0
4
3
2
1
x
x
x
x
v
w
s
u
, 
0
4
3
2
1
x
x
x
x
u
s
w
v
,   
0
4
3
2
1
x
x
x
x
s
u
v
w
                               (20) 
через две гармонические функции. 
Вводя  в  рассмотрение  две  комплексные  функции 
iu
s
p
,   
iw
v
q
  и  две  комплексные 
переменные 
2
1
ix
x
, 
4
3
ix
x
, систему (19) запишем в виде  
0
q
p
, 
0
q
p
.                                           (19‘) 
Общее  решение  этой  системы  дается  через  производные  гармонической  комплексной  функции 
4
3
2
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
x
x
x
i
x
x
x
x
 в виде 
i
x
i
x
iu
s
2
1
, 
i
x
i
x
iw
v
4
3
. 

279 
 
Отсюда       
2
1
x
x
s
,   
2
1
x
x
u
,   
4
3
x
x
v
,   
4
3
x
x
w
.                         (21) 
 
Аналогично (20) записывается через комплексные функции 
p
и 
q
 в следующей форме 
0
q
p
,   
0
q
p
                                                    (20‘) 
и                                                      
i
x
i
x
iu
s
2
1
, 
i
x
i
x
iw
v
4
3
. 
Решение системы (20) представляется через две гармонические функции 
и 
: 
2
1
x
x
s
,   
2
1
x
x
u
,   
4
3
x
x
v
,   
4
3
x
x
w
.              (22) 
Самым  общим  обобщением  системы  уравнений  первого  порядка  от    четырех  переменных 
эллиптического типа является система 
0
4
4
3
3
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
w
b
v
b
w
b
v
b
u
s
, 
0
4
4
3
3
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
w
b
v
b
w
b
v
b
s
u
, 
0
4
4
3
3
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
u
kb
s
kb
u
kb
s
kb
w
v
,                                  (23) 
0
4
4
3
3
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
u
kb
s
kb
u
kb
s
kb
v
w
. 
где 
2
1
ib
b
b
 произвольная комплексная постоянная, 
.
1
2
2
2
1
b
b
k
 
Вышеприведенным методом ее решение 
w
v
u
s
,
,
,
 можно представить через две гармонические 
функции 
 и 
 в следующем виде: 
4
3
3
4
2
1
x
x
x
x
b
b
s
, 
4
4
4
3
2
1
x
x
x
x
b
b
u
, 
2
1
x
x
v
,    
1
2
x
x
w
.                                              (24) 
С  помощью  представлений  решений  через  две  гармонические  функций  (14),  (21),(22)  и  (24) 
можно исследовать задачу (15), приводя ее к задаче о наклонной производной для двух гармонических 
функций для систем уравнений (1), (19),(20) и(23). 
 
Литература 
1.
 
Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск. Наука. 
1985. 261 с. 
2.
 
Виноградов В.С. Докл. АН СССР, 1971, т.199, №5, с.1008-1010. 
3.
 
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1981. 
204 с. 
4.
 
Шевченко В.И. Докл. АН БССР,1987, т.XXII, №8. С.681-683. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

280 
 
УДК 517-43 
 
NORMAL SEMIFINITE FAITHFUL TRACES 
 
Турганбаева Ж.Н. 
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан 
turganbaeva_zhan@mail.ru
 
 
Түйін
 
Бұл статьяда  коммутативті  
p
L
 кеңістіктеріндегі τ-ӛлшемді  операторлар  үшін  параллелограмм  заңы  
зерттелді  және оның  айқын  түрі  кӛрсетілді. 
 
Резюме 
В этой статье  исследована закон параллелограмма для  τ -мерного оператора  в коммутативных  
p
L
пространствах. 
 
In    this  paper    we  give  parallelogram  law  for  the  noncommutative 
p
L
-norms  of        -measurable 
operators, mainly  introduced  some notations, definitions  and  some  properties  of  von Neumann algebras, 
noncommutative 
p
L
 -spaces,   -measurable operators and  singular numbers.   
Let 
H
 be a complex Hilbert space and let  
(
)
B H
 denote the algebra of all bounded linear operators 
on 
H
.  Equipped  with  the  usual  adjoint  as  involution, 
(
)
B H
  becomes  a  unital  C*-algebra.  The  unit  of  
(
)
B H
  ,  which  is  the  identity  operator  on 
H
,  will  be  systematically  denoted  by  1.  As  a  Banach  space, 
(
)
B H
 is a dual space, whose predual is the class of trace operators. Recall that a von Neumann algebra on 
H
 is a C*-subalgebra 
M
of 
(
)
B H
 which contains 1 and is w*-closed (i.e. a-weakly closed). In particular, 
M
  is also a dual Banach space whose  predual is denoted by 
*
M
.  (Recall that the classical Sakai theorem 
asserts that 
M
 admits a unique predual.) A linear functional 
 on 
M
 belongs to 
*
M
 iff it is continuous on 
M
 with respect to the a-weak operator topology. Such a linear functional is said to be normal. The positive 
part  of 
M
  is  denoted  by 
M
.  The  modulus  (or  absolute  value)  of  an  operator 
x
M
  is  defined  as 
*
1/ 2
(
)
x
x x
. We could equally define the modulus of 
x
 as 
* 1/ 2
(
)
xx
, which is 
*
x
.  Note that because 
of  noncommutativity, 
*
x
x
    in  general.  To  distinguish 
x
and 
*
x
  ,  we  sometimes  call  them  the  left 
modulus and right modulus, respectively. 
We will frequently use polar and spectral decompositions. Let 
(
)
x
B H
. There is a unique couple 
( , )
u y
  verifying  the  following: 
,
( )
x
uy y
B H
  and 
u
  is  a  partial  isometry  such  that 
*
(ker )
x
u u
P
 where P
K
 denotes the orthogonal projection from 
H
 onto a closed subspace 
K
H
. Then 
y
x
  and 
*
(
)
imx
uu
P
with imx
H
.  Thus 
x
u x
,  the  polar  decomposition  of 
x
.  Let 
*
( )
r x
u u
 and 
*
( )
l x
uu
.We call 
( )
r x
 and 
( )
l x
 the left and right supports of 
x
, respectively. Note 
the 
( )
l x
  (resp. 
( )
r x
)  is  the  least  projection  e  of
(
)
B H
    such  that 
ex
x
  (resp. 
x
xe
).  If 
x
  is 
selfadjoint, 
( )
( )
r x
l x
. This common projection is then called the support of 
x
 and denoted by 
( )
s x
. If 
x
 is in a von Neumann algebra M. Then all these operators associated to 
x
 belong to  
M
too. 
Now let 
( )
x
B H
 . Then 
x
 admits a unique spectral decomposition (orresolution of identity): 
0
( ).
x
de x
 
The  spectral  measure  of 
x
  is  supported  on  the  spectrum 
( )
x
.  Note  that  an  operator 
(
)
y
B H
 
commutes with 
x
 iff 
y
 commutes with all spectral projections of 
x
. Let h be a bounded Borel function on 
( )
x
. Then the Borel functional calculus defines a bounded operator 
( )
x
 via the integral formula:  

281 
 
( )
( )
( )
( ).
x
x
de x
 
Again, if 
x
M
, its spectral projections and 
( )
x
belong to 
M
 too. In particular, 
p
x
M
 for 
any 
0
p
.  
Let 
(
)
M
 be the lattice of projections of 
M
. We will often denote 
(
)
M
simply by P whenever 
no confusion can occur. Set 
1
e
e
 for 
e
. Given a family of projections 
( )
i i I
e
, we denote 
as  usual  by 
i
e
 
and 
i
e
  its  supremum  and  infimum,  respectively.  Recall  that 
i
e
  (resp. 
i
e
)  is  the 
projection  from 
H
  onto  the  subspace  generated  by  the 
( )
i
e H
  (resp.  onto  the  subspace 
( )
i
e H

Consequently, 
(
)
.
i
i
i I
i I
e
e
 
Two projections 
e
 and 
f
 are said to be equivalent if there exists a partial isometry 
u
M
  such that 
*
u u
e
  and 
*
uu
f
.  In  this  case,  we  write 
e
f

  and  call 
e
  (resp. 
f
)  the  initial  (resp.  final) 
projection of 
u
. If e is equivalent to a subprojection of 
f
, we write 
e
f

. Note the very useful fact that 
( )
( )
r x
l x

for any 
x
M
by virtue of the polar decomposition of 
x
.The following elementary properties 
of projections will be frequently   used. 
Proposition 1.1.1  Let e and  f be two projections of  M.  Then 
(i)
 
.
e
f
f
e
e
f

 
(ii)
 
0
.
e
f
e
f

 
Proof.  (i) It is clear that 
ker(
)
( )
( )
( )
(
)( );
ef
f H
e H
f
H
f
e
f
H
 
whence 
(
)
r ef
e
f
f
  and 
(
)
l f e
e
f
f
.      The  latter  equality  also  implies  that  
(
)
l ef
f
e
e
e e
f
. Therefore,  
e
f
f
e
e
f

. 
(ii) We have that 
0
) 1
e
f
e
f
. Thus by (i)     
.
e
f
e
e
f
f
e

 
 and 
e
f

 
                                                                               
Now we turn to the central notion of this chapter, i.e. that of normal semifinite faithful traces. We use 
the  usual  convention  about  operations  involving 
.  Namely, 
  for 
0
, 
  for 
0
 and 
0
0
. 
Definition 1.1.2 Let 
M
 be a von  Neumann algebra and 
M
its positive part. 
(i) 
A trace on 
M
 is a map
: 
[0, )
M
 satisfying 
1) 
,
,
x y
M
R
:
(
)
( )
( )
x
y
x
y
; 
2) 
x
M
: 
*
*
(
)
(
)
xx
x x
; 
(ii)    A  trace 
  is  said  to  be  normal  if 
sup ( )
(sup )
i
i
i
i
x
x
for  any  bounded  increasing          net 
( )
i i I
x
in 
M
, faithful if 
( )
0
x
implies 
0
x
, finite if 
(1)
, and semifinite if for any non-zero 

282 
 
x
M
there  is  a  non-zero 
y
M
  such  that 
y
x
  and 
( )
y
.In  the  sequel,  unless  explicitly 
stated  otherwise,  т  will  always  denote  a  normal  semifinite  faithful  (abbreviated  as  n.s.f.)  trace  on 
M
.  This 
requires that 
M
 be semifinite. There exist, of course, non semifinite von Neumann algebras (i.e. all those of 
type III). What is crucial in the preceding     definition is the tracial property that 
*
*
(
)
(
)
xx
x x
. 
Remark  1.1.5  (i)  A  trace 
  is  increasing,  i.e. 
0
( )
( )
x
y
x
y
.  Consequently,  if 
  is 
finite, 
( )
x
 for any 
x
M
.In this case, 
 can be uniquely extended to a linear functional on 
M
. If 
  is finite, we will often assume it is normalized, i.e. 
(1) 1
. 
(ii) 
The tracial property implies that 
 is unitary invariant,( i.e.faithful tracial state) on 
M
, we 
call  (
M
,
) a noncommutative probability space. By analogy, we sometimes call (
M
, 
) a 
noncommutative measure space if 
 is an n.s.f. trace on  
M
.The following elementary properties of an n.s.f. 
trace will be repeatedly used later. 

жүктеу 0.53 Mb.

Поделитесь с Вашими друзьями: