Хабаршысы ғылыми журналы



жүктеу 5.09 Kb.
Pdf просмотр
бет2/19
Дата06.05.2017
өлшемі5.09 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

2 теорема. Егер (1.2), (1.3) шарттары орындалса, (2.1) теңдеуінің (2.1
0
) шартын 
қанағаттандыратын шешімі (2.3) өрнегімен беріледі және оның периодты шешімдері           
                                                         
const
c
u


                                                             (2.4)    
формуласымен анықталады. 
2.2 Бос мүшесі 
)
,
,
(
2
1
y
y
x
q
функциясымен берілген  
                                                     
)
,
,
(
2
1
y
y
x
q
Dz

                                                           (3.1)     
 теңдеуін қарастырайық. Мұндағы 
)
,
,
(
2
1
y
y
x
q
 функциясы х бойынша үзіліссіз және                      

-периодты, 
1
y
,
2
y
 бойынша үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын: 
                     
)
1
,
1
,
0
(
,
,
2
1
2
1
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
y
y
x
С
y
y
x
q
y
y
x
q




RxRxR,                                         (3.2) 
Бұл (3.1) теңдеуінің сипаттауыш теңдеулері 
                                        
),
(
1
1
1
1
x
q
y
dx
dy



),
(
2
2
2
2
x
q
y
dx
dy



                              (3.3) 
 
                                                        
),
,
,
(
2
1
y
y
x
q
dx
dz

                                                     (3.4) 
 
                                                      
)
,
(
2
1
0
y
y
u
z
x
x


                                                       (3.4
0
)  
 
теңдеулері болғандықтан, (3.4) теңдеуін (1.6) және (1.7) формулаларымен берілген                 
(3.3) жүйесінің шешімінің бойында қарастырып,  
                                     
)),
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
2
0
1
0
1
y
x
x
h
y
x
x
h
x
q
dx
dz

                                      (3.5) 

 
                                                    
)
,
(
0
2
0
1
0
y
y
u
z
x
x


                                                        (3.5
0
)    
 теңдеуін аламыз. Ендеше, (3.5)-(3.5
0
) есебін интегралдау арқылы 
ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
q
y
y
u
y
x
x
h
y
x
x
h
x
z
x
x



0
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
)
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
2
0
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0
1
          
(3.6)       
шешіміне келеміз. Егер 
0
1
,
0
2
 мәндерін (1.10)-(1.11) мәндерімен ауыстырсақ, онда           
(1.14)-(1.15) формулаларын ескеріп,(3.6) теңдігін 
ds
y
x
s
h
y
x
xs
h
s
q
y
x
x
h
y
x
x
h
u
y
y
x
z
x
x



0
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
(
)
,
,
(
2
2
1
1
2
0
2
1
0
1
2
1
           
(3.7) 
 
түрінде, (3.1) теңдеуінің (3.4
0
) шартын қанағаттандыратын шешімін аламыз. 
3 теорема. Егер (1.2), (1.3) және (3.2) шарттары орындалса, онда (3.1) теңдеуінің (3.4
0

бастапқы шартымен анықталған шешімі (3.7) формуласымен анықталады. Бұл (3.1) 
теңдеуінің 

-периодты шешімдері 
)
,
,
(
2
1
y
y
x
q
-бос мүшесі тек қана х-тен тәуелді болып, 
яғни 
)
(x
q
q

және орта мән 


                                                      






0
0
)
(
1
dx
x
q
                                                     (3.8)  
шартын қанағаттандырса ғана бар болады және олар шектеусіз көп болады. 
Егер (3.7) шешімге 
1
y
,
2
y
 айқын кірсе, онда ол периодты бола алмайтыны жоғарыда 
айтылды. Қарсы жағдайда периодты функцияның интегралы  
                                    





x
x
x
x
x
ds
s
q
0
),
(
)
(
)
(
0


)
(
)
(
x
x





                       (3.9)   
өрнегімен анықталады. Демек, (3.9) өрнегі периодты болуы үшін (3.8) шартын талап 
етудің қажеттігі шығады. Мұндай шешімдердің шектеусіз көптігі (2.4) өрнегімен және 
(3.7) шешімінің құрылысымен анықталады. Осымен 3 теорема толық дәлелденді.  
2.3 Біртектес сызықты  
                                                        
z
y
y
x
p
Dz
)
,
,
(
2
1

                                                    (4.1)   
теңдеуін қарастырайық. Мұндағы 
)
,
,
(
2
1
y
y
x
p
 функциясы          
                             
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
1
,
1
,
0
(
,
,
2
1
2
1
2
1
R
R
R
C
y
y
x
p
y
y
x
p
y
y
x






                     (4.2)  
шартын қанағаттандырсын. 
Бұл (4.1) теңдеуі жағдайында, (3.3) өрістік теңдеумен қатар,  
                                      
,
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
2
0
1
0
1
z
y
x
x
h
y
x
x
h
x
p
dx
dz

                                 (4.3) 
                                                        
)
,
(
0
2
0
1
0
y
y
u
z
x
x


                                                    (4.3
0
)             
есебін қарастыруға тура келеді. Жоғарыдағы келтірілген әдіспен (4.3)- (4.3
0
) есебінің 
шешімін 












ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
exp
y
y
u
y
x
x
h
y
x
x
h
x
z
x
x
0
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
)
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
2
0
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0
1
    
(4.4)         
түрінде аламыз. Осыдан өрістің топтық қасиеті бойынша  
 











ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
exp
y
x
x
h
y
x
x
h
u
y
y
x
z
x
x
0
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
(
)
,
,
(
2
2
1
1
2
0
2
1
0
1
2
1
     
(4.5)    
шешімін қортып шығарамыз. 
Егер 
)
,
,
(
2
1
y
y
x
p
p

функциясы тек қана х-тен тәуелді болса, яғни 
)
(x
p
p

болса, онда  
                           




x
x
x
x
x
dx
x
p
0
),
(
)
(
)
(
0


),
(
)
(
x
x





                          (4.6) 
 





0
)
(
1
dx
x
p
 
өрнегінен (4.5) шешімі 

-периодты болу үшін орта мән 
0


болып, 
const
c
u


 
шартын қанағаттандыруы керек. Бұл жағдайда (4.5) шешімі        
                                                  
)
(
)
(
x
e
c
x
z



                                                                 (4.7) 
өрнегімен анықталып,     
)
(
)
(
x
z
x
z



 шартын кез келген С тұрақтысымен берілетінін 
көреміз. Егер 
0


болса, онда (4.7) шешімі 
0

C
болған жағдайда ғана периодты 
шешімді береді.  
Ендеше, төмендегідей теорема дәлелденді. 
4 теорема. Егер (1.2), (1.3) және (4.2) шарттары қанағаттандырылса, онда             (4.1) 
теңдеуінің дифференциалданатын 
)
,
(
2
1
y
y
u
 бастапқы функциясымен анықталған шешімі 
(4.5) өрнегімен беріледі де, ал (4.2) функциясы тек қана х-тен тәуелді болып, оның орта 
мәні 0-ге тең болса, онда (4.1) теңдеуінің х бойынша сансыз көп 

-периодты шешімі 
болады және олар (4.7) өрнегімен анықталады. Ал егер де 
0


 болса, онда (4.1) 
теңдеуінің нөлден өзгеше периодты шешімі болмайды.  
2.4 Жұмыстың соңында  
                                     
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
2
1
y
y
x
q
z
y
y
x
p
Dz


                                              (5.1)         
теңдеуін 
            
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
1
,
1
,
0
(
,
,
2
1
2
1
2
1
R
R
R
C
y
y
x
p
y
y
x
p
y
y
x






                                      (5.2) 
 
           
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
1
,
1
,
0
(
,
,
2
1
2
1
2
1
R
R
R
C
y
y
x
q
y
y
x
q
y
y
x






                                   (5.3) 
 
берілген функцияларымен қарастырайық. 
Өрістің интегралы бойында бастапқы  
 
                          
)
(
)
,
(
)
1
,
0
(
,
2
1
2
1
0
R
R
C
y
y
u
z
y
y
x
x




                                       (5.1
0


 
шартымен (5.1)- (5.1
0
) есебін 
 
      
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
2
0
1
0
1
0
2
0
2
0
1
0
1
y
x
x
h
y
x
x
h
x
q
z
y
x
x
h
y
x
x
h
x
p
dx
dz


    (5.4) 
 
                                   
)
,
(
0
2
0
1
0
y
y
u
z
x
x


                                                  (5.4
0

 
түрінде қарастырып, (5.4)- (5.4
0
)    есебінің шешімін  
 
      






x
x
ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
d
y
x
h
y
x
h
q
e
e
y
y
u
y
x
x
h
y
x
x
h
x
z
x
x
x
0
0
2
0
2
0
1
0
1
0
0
2
0
2
0
1
0
1
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
)
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
2
0
1
0
1
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0
1





    
(5.5) 
 
өрнегімен сипаттаймыз. Одан әрі (1.14) және (1.15) топтық қасиеттер бойынша  (5.5) 
өрнегін  
 
       






x
x
ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
d
y
x
h
y
x
h
q
e
e
y
x
x
h
y
x
x
h
u
y
y
x
z
x
x
x
0
2
0
2
1
0
1
0
2
0
2
1
0
1
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
(
)
,
,
(
2
0
2
1
0
1
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
2
0
2
1
0
1
2
1





       
(5.6) 
 
түрінде, (5.1)-(5.1
0
) есебінің шешімін аламыз. 
5 теорема. Егер (1.2), (1.3), (5.2) және (5.3) шарттары қанағаттандырылса, онда (5.1)-(5.1
0

есебінің шешімі (5.6) өрнегімен таңбаланады. 
Енді (5.1) теңдеуінің х бойынша 

-периодты шешімін зерттейік. Ол үшін  
)
,
,
(
2
1
y
y
x
p
функциясы тек қана х-тен тәуелді 
)
(x
p
функциясы түрінде дейік және (4.6) өрнегіндегі 
орта мәні  
                                         






0
0
)
(
1
ds
s
p
                                           (5.7) 
шартын қанағаттандырсын. Демек 4 теорема бойынша (4.1) біртектес теңдеуінің тек 
нөлдік периодты шешімі болады. 
Осы   жағдайда   
0


болса,                                        





x
ds
y
x
s
h
y
x
s
h
s
p
d
y
x
h
y
x
h
q
e
y
y
x
z
x





))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
)
,
,
(
2
0
2
1
0
1
))
,
,
(
),
,
,
(
,
(
2
1
*
2
0
2
1
0
1
        
(5.8)   
өрнегі      

-периодты     шешім    екенін      көреміз.      Ал      егер 
0


      болса,      онда 
(5.8)  өрнегіндегі интегралдың  төменгі  шекарасы    ретінде    +∞   мәнін алу керек.       Екі 
периодты   шешімнің     айырмасы      (4.1)  теңдеуінің     периодты      шешімі болады.  Бұл 

жағдайда оның жалғыз нөлдік периодты   шешімі   бар  . Ендешет (5.1) теңдеуінің шешімі 
жалғыз болады. Сонымен мынадай теоремаға келдік.  
6 теорема. Егер 5 теореманың шарттарына қосымша (4.6) және (5.7) шарттары орындалса, 
онда (5.1) теңдеуінің жалғыз ғана 

-периодты шешімі болады және ол 
0


 болса (5.8) 
өрнегімен беріледі, ал 
0


 болса бұл өрнектегі интегралдың төмендегі шекарасын +∞ 
мәнімен ауыстырылады. 
Сондай-ақ, бұл нәтижелерді 




2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
)
,
(
)
,
(
y
t
q
y
a
y
a
y
t
q
y
a
y
a
t
a
D



















 
түріндегі операторлы теңдеулер үшін де жалпылауға болатынын байқау қиын емес. Бұл 
жерде 
22
21
12
11
,
,
,
,
a
a
a
a
a
 тұрақтылар.  
 
Сөз соңында D операторы (1.6)-(1.7) сипаттауыштары   бойында     х бойынша толық 
туынды 
dx
d
 операторына айналатынын еске аламыз.  
Егер (1.6)-(1.7) өрнектерінде 
,
0
0
1

y
0
0
2

y
 десек, онда  
),
(
1
*
1
x
y


)
(
2
*
2
x
y


 
периодты сипаттауышын алар едік. Бұл 

-периодтылық қасиеті бар жалғыз сипаттауыш.  
Ендеше, (5.1) теңдеуі осы сипаттауыш бойында  
 
))
(
),
(
,
(
))
(
),
(
,
(
))
(
),
(
,
(
))
(
),
(
,
(
*
2
*
1
*
2
*
1
*
2
*
1
*
2
*
1
x
y
x
y
x
q
x
y
x
y
x
z
x
y
x
y
x
p
x
y
x
y
x
z
dx
d


 
 
тепе -теңдігін алар едік. Әрі 
0


деп есептесек, 6 теорема жағдайында (5.8) өрнегімен 
анықталған шешім осы сипаттауыш бойында  
 
)
(
),
(
,
(
)
(
),
(
,
(
*
2
*
1
*
*
2
*
1
x
y
x
y
x
z
x
y
x
y
x
z

 
 
түріндегі 

-периодты шешімді берер еді. 
Басқаша айтсақ,   белгісізімен берілген  
 
                             
))
(
),
(
,
(
~
))
(
),
(
,
(
~
*
2
*
1
*
2
*
1
x
y
x
y
x
q
z
x
y
x
y
x
p
dx
z
d


                (5.9) 
 
периодты теңдеуінің 

-периодты шешімі  
                                            
))
(
),
(
,
(
~
*
2
*
1
*
x
y
x
y
x
z
z

                                (5.10) 
өрнегімен анықталар еді және ол да жалғыз болады.  
Сонымен 6 теореманың төмендегідей салдарын алдық. 

жүктеу 5.09 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет