Г. У. Уалиев Редакционная коллегия


С.Е. Айтжанов, Х. Хомпыш, Ж.О. Бияздыкова, А.Н. Сарсенбаева



жүктеу 5.01 Kb.
Pdf просмотр
бет4/19
Дата27.04.2017
өлшемі5.01 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

С.Е. Айтжанов, Х. Хомпыш, Ж.О. Бияздыкова, А.Н. Сарсенбаева  
 
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ 
МОДИФИЦИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ  
 
(г. Алматы. КазНПУ им. Абая) 
 
Бұл  жұмыста  полимер  қосылысты  су  ерітінділерінің  қозғалысын  сипаттайтын 
жылу  конвекция  теңдеулер  жүйесіне  қойылған  шеттік  есебі  зерттелді.  Шеттік  есептің 
әлсіз  шешімінің  бар  болу  теоремасы  дәлелденді.  Есептің  әлсіз  шешімі  үшін  қажетті 
априорлық  бағалаулар  алынды.  Алынған  апирорлық  бағалауларды  қолдана  отырып, 
кіші параметрлі шеттік (8)-(11) есебінің шешімі 
0


 кезде алдыңғы жылу конвекция 
теңдеулер  үшін  (1)-(4)  шеттік  есептің  әлсіз  шешіміне  ұмтылатындығы  кӛрсетілді. 
Шешімнің бар болуын дәлелдеуде модификацияланған Галеркин әдісі қолданылды. 
In  this  paper  the  boundary  value  problem  for  a  system  of  equations  of  thermal 
convection,  which  describes  the  motion  of  viscous  fluids  with  polymer  additives.  Existence 
theorem  for  a  weak  solution  of  this  problem.  For  a  weak  solution  of  the  boundary,  a  priori 
estimates. With the help of a priori estimates show that the stationary boundary value problem 
with small parameter (8) - (11) with a weak solution of problem (1) - (4). In the proof of the 
existence of solutions used a modified Galerkin method. 
 
В  работе  доказывается  теорема  существования  слабого  решения  краевой  задачи 
для  системы  уравнения  тепловой  конвекции,  описывающая  движение  вязких 
жидкостей  с  полимерными  добавками.  Разрешимость  задачи  устанавливается  с 
помощью  методики,  развитой  О.А.  Ладыженской  по  гидродинамике  вязкой  жидкости 
[1]. 
Пусть 
3
R


-ограниченная  область,  с  гладкой  границей 
2
С



.  В  области 

 
рассмотрим краевую задачу для уравнений водных растворов полимеров [2-5]:  
 
 
 
 
 
 
x
S
g
x
f
x
x
v
v
x
p
x
x
v
v
x
v
k
k
k
k






















grad



1
,
0
,
0



   
    (1) 

30 
 
 
0
div

x
v


 
 
 
 
    (2) 
  
    
x
g
x
S
v
x
S








,   
 
 
 
    (3) 
0



v


0
S



,  
 
 
 
 
    (4) 
где 


,
,
,
3
2
1



x
x
x
x
 
 
x
p
-давление; 
 
     


x
v
x
v
x
v
x
v
3
2
1
,
,


-  скорость, 
 
x
S
-
температура; 
 
х
f


 
x
g
-известные  функций, 

,

,

-положительные  постоянные. 














3
2
1
,
,
x
p
x
p
x
p
p
-градиент давление, 

-оператор Лапласа,  






3
1
)
,
(
i
i
j
i
x







.
div
3
1





i
i
i
x



 
Разрешимость  краевой  задачи  для  уравнений  движения  водных  растворов 
полимеров т.е. не с учетом температуры изучалась в работах [2-3].  
В настоящей работе будут использованы обозначения из [1]. 
Определение  1.  Слабым  решением  краевой  задачи  (1)-(4)  называется  пара 
функции 
 
, S
v


 
 




H
 W
v
2
2


 



1
2
W
S
,  которые  удовлетворяют  следующим 
интегральным тождествам 




   











dx
S
g
x
x
f
dx
v
v
v
v
k
k
k
x
k
x
x















 
 



H
x


    
 
(5) 
 


   









dx
x
x
g
dx
S
v
x
S
k
x
k




,  
 
 




1
2
W
x


 
 
 
(6) 
Теорема 1. Пусть 
   
 


2
,
L
x
g
x
f

. Тогда краевая задача (1)-(4) имеет по крайней 
мере одно слабое решение и справедлива оценка: 
 
 
 
 
 













,
2
,
2
1
,
2
2
,
2
,
,
,
,
x
g
x
f
C
x
S
x
v





.   
 
 
(7) 
Для  доказательства  теоремы  1  воспользуемся  методом  введения  «исчезающей 
вязкости»  [2-3].  Наряду  с  системой  (1)-(4)  рассмотрим  в 

  стационарную  задачу  с 
малым параметром 
0



     


 
 


 
 


 
   


1
,
0
,
0
,
,
2
1





































x
f
x
S
g
x
p
x
v
x
v
v
x
v
x
v
S
v
L
   (8) 
 
0
div

x
v


,   
 
 
 
 
    (9) 


 


 
 
x
g
x
S
v
x
S
S
v
L
















,
2
,    
 
  (10) 
0








v
v


,   
0
S




,    
 
 
  (11) 
Определение 2. Назовем слабым решением краевой задачи (8)-(11) пару функций 


 
 
 









1
2
3
2
,
W
H
W
 
S
v


, которые удовлетворяют интегральным тождествам 
 




   














dx
S
g
x
x
f
dx
v
v
v
x
v
v
k
k
k
k
k
x
k
x
x
x
x
























 
 




H
W
x
3
2



,  (12) 
 


   









dx
x
x
g
dx
S
v
x
S
k
x
k







 
 




1
2
W
x

   
 
  (13) 
Для  построения  приближенных  решений  краевой  задачи  (8)-(11),  воспользуемся 
одной из модификацией метода Галеркина [6]. 

31 
 
Пусть 
 


,...
2
,
1
,


k
x
k
-полная в  
 
 



H
W
2
2
 система функций, 
 


x
k

-решения 
краевых задач 
 
 
 
 
,...
2
,
1
,
0
,











k
x
x
x
x
x
k
k
k
k








 
 
 
 
  (14) 
Так как 
 
0
div


x
k

, то и 
 
0
div

x
k



,...
2
,
1

k
. Как было отмечено в [6], система 
 


x
k

  также  полна  в 
 
 



H
W
2
2
  и  удовлетворяет  в  силу  (14)  граничному  условию 
 
0




x
k



Будем строить "приближенные решения" (8)-(11) в виде конечной суммы 
 
 
 
1
,



N
k
k
kN
N
x
a
x
v




,   
 
 



N
k
k
kN
N
x
b
x
S
1
,


 
 
              (15) 
где 
 


x
k


,...
2
,
1

k
 фундаментальная в 
 


1
2
W
 система функций, ортонормированная в 
 

2
L
.  Напомним,  что  всеми  этими  свойствами  обладает,  например,  система 
собственных функций спектральной задачи 
 
 









.
0
,
k
k
k
k
x
x




 
Из условий ортогональности 


 


 
0
,
,
,
1





dx
x
x
f
S
v
L
i
N
N






,...,
2
,
1

i
   
 
 (16) 
и 


 


 
0
,
,
,
2




dx
x
x
g
S
v
L
j
N
N






,...,
2
,
1

j
   
 
 
 (17) 
эти  равенства  представляют  собой  систему  нелинейных  алгебраических  уравнений, 
относительно неизвестных коэффициентов 
 
N
k
kN
a
1

,  
 
N
k
kN
b
1






 
,...)
2
,
1
,
,...,
2
,
1
(
,
,
,
,
,
,


















N
N
i
dx
x
f
dx
S
g
v
v
v
v
v
i
i
i
x
N
N
N
k
i
x
N
x
i
x
N
x
k
k
k
k
k




















 
 (18) 
 


   
,...)
2
,
1
,
,...,
2
,
1
(
,
,
,









N
N
j
dx
x
x
g
dx
S
v
x
S
j
j
x
N
k
j
N
k






 
 
 
 (19) 
Умножим 
i
-ое уравнение (18) на 
kN
a
,  -ое уравнение (19) на 
kN
b
 и просуммируем 
по 
N
i
,
1


N
j
,
1

 соответственно. Используя (14) и очевидное равенство  


0
2
,
,
,







dx
v
v
x
v
N
N
k
N
k







тогда из (18) для галеркинских приближений 
 
х
v
N
,


, получим тождество: 








 






















dx
v
v
x
f
dx
v
v
S
g
v
v
v
v
v
v
N
N
N
N
N
N
N
N
x
N
N
N
k
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,






























 
  (20) 
и аналогично из равенства (19) получим: 

32 
 


   




dx
x
S
x
g
dx
S
N
N
,
2
,




Оценивая правую часть последнего тождества с помощью неравенства Гельдера и 
Фридрихса, получим оценку: 

  





,
2
1
,
2
,
,
x
g
С
S
N


,  
,...
2
,
1

N
,  
0



 
 
  (21) 
тем более  

  





,
2
1
,
2
,
,
x
g
С
S
N



 
 
 
 
  (22) 
Из  равенства  (20),  применяя  неравенств  Гельдера,  Коши  и  Пуанкаре,  используя 
второе  основное  неравенства  для  оператора  Лапласа  [1]  и  применяя  оценку  (22), 
получим для 
 


х
v
N
,


 неравенство  
 












1
,
2
2
2
,
2
,
2
,
2
,
,
,
,
,
C
x
f
C
v
v
N
xxx
N
xx









,...
2
,
1

N

0


    
  (23) 
причем постоянные 
1
С
 и 
2
С
 не зависят от 
N
 и 


Из  априорной  оценки  (21)-(23)  и  теоремы  Брауэра  о  неподвижной  точке  [7] 
следует,  что  системы  алгебраических  уравнений  (18)-(19)  при  каждом 
,...
2
,
1

N
  и 
0



  имеет  по  крайней  мере  одно  решение,  т.е.  галеркинские  приближения 
 
 


х
S
х
v
N
N
,
,
,



 можно построить при каждом 
,...
2
,
1

N
 и 
0




  Из  оценки  (21)-(23),  равномерной  относительно 
,...
2
,
1

N
и 
0



, и теоремы о 
слабой  компактности  ограниченных  множеств  в  гильбертовом  пространстве  следует, 
что  из  последовательностей 
 
 


х
S
х
v
N
N
,
,
,



  можно  диагональным  процессом  извлечь 
подпоследовательности 
 


х
v
i
i
N
,


  и 
 


х
S
i
i
N
,

  которые  при 


i
N

0

i


 


х
v
N
,


 
сходится слабо в 
 

2
2
W
 и сильно в 
 

1
2
W
 и 
 

2
L
 к 
 
 
 




H
W
x
v
2
2

, а 
 


х
S
i
i
N
,

  сходится  слабо  в 
 

1
2
W
  и  сильно  в 
 

2
L
  (
 

4
L
)  к  предельной  функции 
 
 



1
2
W
x
S
. Кроме того, из неравенства (23) следует  
 
0
,




dx
x
v
i
i
N
x
i




,  при 
0

i




i
N

 



H

.    
 
 (24) 
Умножим, далее, уравнения (18), записанные для 
 


х
v
N
,


, на произвольные числа 
m
d

i
N
N
m


,...,
2
,
1
, а уравнения (19), записанные для 
 


х
S
i
i
N
,

, на произвольные числа 
m
c

i
N
N
m


,...,
2
,
1
, и просуммируем по 
N
m
,...,
2
,
1


Положим  
 
 
 
 
 
,...
2
,
1
 
,
1
1








N
x
c
x
x
d
x
N
m
m
m
N
N
m
m
m
N



 
 
 
 
  (25) 
Тогда для 
 


х
v
i
i
N
,


 и 
 


х
S
i
i
N
,

 получим тождества: 




 
i
N
N
N
x
N
N
N
k
N
x
N
x
N
x
N
x
N
N
dx
x
f
dx
S
g
v
v
v
v
v
k
k
k
k
k












,
,
,
,
,
,

























 
  (26) 
 


   









dx
x
x
g
dx
S
v
x
S
N
N
x
N
k
N
N
k






,
,
,  
i
N
N

 
 
 
  (27) 
Переходя в (26) и (27) к пределу по 
0

i




i
N
, используя соотношению (24) и 
описанные  выше  предельные  переходы 
 


х
v
i
i
N
,


  и 
 


х
S
i
i
N
,

  к 
 
x
v

  и 
 
x
S
 

33 
 
соответственно,  получим,  что  предельные  функций 
 
x
v

  и 
 
x
S
  удовлетворяют 
интегральные торжества (26) и (27) при любой 
 
x
N

 и 
 
x
N


,...
2
,
1

N
 вида (25). Но, 
как известно, такие функций (т.е. функций 
 
x
N

 и 
 
x
N

 вида (25)) плотны в 
 

H
 и в 
 


1
2
W
 соответственно, и потому в действительности предельные функций 
 
x
v

 и 
 
x
S
 
будут  удовлетворять  интегральные  торжества  (26)  и  (27)  при  любом 
 
 


H
x

  и 
 
 



1
2
W
x

  соответственно,  тем  самым  пара  функций 
   


x
S
x
v
,

  будет  одним  из 
слабых решений краевой задачи (1)-(4). 
Неравенство  (7)  получается  предельным  переходом  по 
0

i




i
N
  из 
энергетических неравенств  (21)-(23)  для  слабых  решений 


i
i
i
i
N
N
S
v
,
,
,



  задачи  (18)-(19). 
Теорема 1 доказана.  
 
 
1.
 
Ладыженская  О.А.  Математические  вопросы  динамики  вязкой  несжимаемой 
жидкости. М.: Наука, 1970. 
2.
 
Осколков А.П. О единственности и глобальной разрешимости первой краевой задачи 
для  систем  уравнений,  встречающих  движение  водных  растворов  полимеров  // 
Труды Ленингр. Кораблестр. Института, 1972. -Вып. 80. –С. 125-137. 
3.
 
Осколков  А.П.  О  единственности  и  разрешимости  в  целом  краевых  задач  для 
уравнений движения водных растворов полимеров // Запис. науч. сем. ЛОМИ. -1973. 
-Т. 38. -С. 98-136. 
4.
 
Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, 
встречающихся  при  изучении  движения  вязких  жидкостей  //  Записки  научных 
семинаров ЛОМИ. -1976. -Т. 59. -С.128-157. 
5.
 
Хомпыш  Х.  О  разрешимости  начально-краевой  задачи  магнитной  гидродинамики 
для  неньютоновской  жидкости  //  Вестник  КазНПУ  им.  Абая.  Серия  «Физико-
математические науки», 2007. -№1(17). –С. 4-7. 
6.
 
Ладыженская  О.А.,  Уральцева  Н.Н.  Линейные  и  нелинейные  уравнения 
эллиптического типа. М.: Наука, 1964.  
7.
 
Эльсгольц  Л.Э.  Качественные  методы  в  математическом  анализе.  М.:  Гостехиздат, 
1955. 
 
 
 
ӘОК 373.146.013
 
Каталог: docs -> vestnik -> fizika matematika
vestnik -> Вестник Казнпу им. Абая, серия «Художественное образование», №1(42), 2015 г
vestnik -> Хабаршы вестник «Жаратылыстану-география ғылымдары»
vestnik -> Вестник Казнпу имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г
fizika matematika -> Задача определения правой части в нелинейном псевдопараболическом уравнении
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №4 (44)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №2 (30)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №3 (31)

жүктеу 5.01 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет