Г. У. Уалиев Редакционная коллегия



жүктеу 5.01 Kb.
Pdf просмотр
бет17/19
Дата27.04.2017
өлшемі5.01 Kb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19

Лемма 2. (Брауэра [9]) Пусть 
)
(


P

 - такое непрерывное отображение 
m
R
  в 
себя,  что  для  подходящего 
0








,
0
)
),
(
(P
  из  сферы 
,



  где  для 
m
i
i
R



}
{
},
{




 мы полагаем  
.
)
,
(
,
)
,
(
2
/
1
1











m
i
i
i
 Тогда найдется такое 
0
)
(
что
,
,






P
.  
  
Относительно нашей задачи возьмем: 
)
,...,
(
1
N




 и определим:     
 
 
 




 
 
 
 
.
,
1
,
0
)
,
(
v
)
,
v
(
)
,
v
(
,
v
v
2
1
2
1
2
2
N
j
f
P
D
L
j
D
L
N
D
L
j
N
D
L
j
N
j
N
N
j























   
Тогда 
 
 


 
 










1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
v
v
v
v
)
(
v
1
v
,
S
N
N
D
N
S
N
D
L
N
D
L
N
dS
n
dx
f
dS
x
K
P













(12) 
Оценим последние две слагаемые: 
 
 
 
 
D
L
N
L
D
L
N
D
L
D
N
f
C
f
dx
f
2
5
6
6
5
6
v
v
v
0











 
 
3
1
3
1
2
2
1
3
1
v
v
v
v
D
L
N
S
L
N
S
N
N
C
dS
n









Далее  применим  лемму  2.  Т.е.  найдем  такое   
0


,  что


  из  сферы 



  имеет 
место: 
0
)
),
(
(



P
. Из (12) получим:  
 


 
 
 

















1
1
2
5
6
2
1
2
2
0
2
1
v
)
(
v
1
v
v
v
,
S
N
D
L
N
N
L
D
L
N
N
dS
x
K
f
С
С
P











  (13) 
Потребуем  
 
 
 
 
0
v
v
5
6
2
2
0
2
1






L
D
L
N
D
L
N
f
С
С



   
 
 
 
 
(14) 
Отсюда решив квадратное уравнение, выводим условие: 
 
 
 
1
1
0
2
2
4
v
5
6
2
C
f
C
C
L
D
L
N








,    где  
 


5
6
1
0
 
2
L
f
C
C

 
 
 
(15) 
далее решим неравенство (15): 
 
 
 
1
1
0
2
2
1
1
2
1
1
1
2
4
v
5
6
2
2
C
f
C
C
K
L
N
i
i
N
i
i
D
L
i
N
i
i
i
N
i
i
D
L
N




































 
Т.е. для выполнения (15) достаточно взять 

 так: 
 
 
N
R
L
KC
f
C
C









1
1
0
2
2
4
5
6
 
 
 
 
 
 
 
(16) 
Тогда для (16) имеет место неравенство (15), а соответственно и (14). Т.е. выполняется 
условие 
 


0
,



P
. Тогда по лемме Брауэра, для 
N

существует 

N
v
, удовлетворяющее 
уравнению (11). Итак, из (11) вытекают оценки: 
 
 
 







C
D
L
N
D
L
N




2
2
1
2
2
v
1
v

 
 
 
 
 
 
(17) 
Равномерные  по 
N
  оценки  (17)  позволяет  из  последовательности  приближенных 
решений 
}
v
{

N
  выделить  подпоследовательность(переобозначаемой  так  же),  для 
которой имеет место:  
)
(
v
v
2
D
L
в
слабо
N





,  
)
(
v
v
1
2
D
L
в
слабо
N







108 
 
)
(
v
v
2
D
L
в
сильно
N



,  
)
(
v
v
1
2
D
L
в
сильно
N



 
при 
.


N
 Далее, при 


N
, переходя к пределу в (11) выведем тождество (8). Т.е. 
предельная функция  
 
x

v
- есть слабым решением задачи (6)-(7). 
Так  как  оценки  (17)  равномерные  по  малому  параметру 

,  то  из 
последовательности 
 

v
 можно выделить подпоследовательность, для  которой имеют 
место: 
)
(
 
 
  
v
v
2
D
L
в
слабо





)
(
 
  
 
v
v
2
D
L
в
сильно



)
(
 
  
 
0
v
1
2
D
L
в
сильно



  при 
0


. Точно также, как описано в [5], переходя к пределу при 
0


  в  (8),  получим, 
что  предельная  функция 
 
x
v
  -  и  есть  слабое  решение  задачи  (1)-(2).  Теорема  1  
доказана. 
Определим понятие сильного решения задачи (6)-(7): 
Определение  2.  Сильным  решением  задачи  (6)-(7)  называются  пара  функций 


P
,
v
,  квадратично  суммируемые  со  всеми  производными,  входящими  в  (6)  и 
удовлетворяющие системе уравнений (6), а также краевым условиям (7) почти всюду 
в соответствующей мере. 
Предположение 1. Предположим, что существует сильное решение задачи (6)-(7) 
и оно сходится к сильному решению задачи исходной задачи (1)-(2) при 
0


.  
Теорема  2.  Пусть  имеет  место  предположение  1,  тогда  для  сильных  решений 
вспомогательной  задачи  (6)-(7)  и  исходной  задачи  (1)-(2)  имеет  место  следующая 
оценка скорости сходимости:  
.
v
v
3
4
2
3
)
(
1
2









C
W
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(18) 
Доказательство.    Решение 
)
v(x
  задачи  (1)-(2)  продолжим  нулем  в 
1
D
.  Далее 
умножим  (1)  на  пробную  функцию 
)
(
1
D
V


,  проинтегрируем  по  области 

  и 
продолжим полученное уравнение вне 

:           


















D
S
S
D
D
dx
f
dS
Pn
dS
n
dx
dx







v
v
v
v
   
 
 
(19) 
где 
n
 -вектор нормали к границе 
S

Потом (6) умножим на 
)
(
1
D
V


 и проинтегрируем по области 
D



 
















D
S
D
D
L
D
D
dx
f
dS
n
dx
dx
dx














1
1
1
2
1
v
v
v
1
v
v
v
 
 
(20) 
Далее возьмем 






    
,
v
-
v
и рассмотрим разность (19) и (20): 
 
 





























D
S
S
D
L
D
L
dx
dS
n
Pn
dS
x
K












v
v
v
)
(
1
1
1
2
2
1
2
2
2
  (21) 
где оценим правую часть уравнения, используя неравенства Гельдера, теорем вложения 
и Юнга[6] : 
















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
v
v
S
L
S
L
S
L
S
L
S
L
S
С
P
n
dS
n
Pn





                 
 
 
 
 


 
 
 
 













4
/
2
/
1
2
2
4
/
2
/
1
2
/
)
2
(
2
/
1
2
/
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1














D
L
D
L
D
L
x
D
L
D
L
D
L
x
D
L
D
L
x
C
C
 
 
 












4
/
4
/
1
2
/
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1







D
L
D
L
D
L
x
C
 
 
 
2
/
2
/
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1









D
L
D
L
D
L
x
C











109 
 
далее  оценим  слагаемое  с  правой  части  по  неравенству  Юнга  с  степенью   


,
2
2




p
 




3
4
2
2
 




p

 
 









3
4
4
6
2
2
/
2
/
1
1
2
1
2
4
1





C
D
L
D
L

Тогда  в  итоге  из  (21)  получим 
 
 







3
4
4
6
2
2
1
2
2
1






C
D
L
D
L
.  Т.е.  имеем  оценку  (18). 
Теорема  2  доказана.  Из  (18)  заметим,  что  при 
1


,  степень  малого  параметра 
сходится к 1(сравните с (5)). 
 
 
 
 
1.  Бугров  А.Н.,  Смагулов  Ш.С.  Метод  фиктивных  областей  в  краевых  задачах  для 
уравнений  Навье-Стокса  //  Математические    модели  течения  жидкости.  – 
Новосибирск, 1971. - С.79-90. 
2. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики.  - М.: 
Изд-во МГУ, 1991. - 111с. 
3.  Коновалов  А.Н.,  Коробицына  Ж.Л.,  Моделирование  краевых  условий  в  задачах  с 
помощью  метода  фиктивных  областей  //  Численное  решение  задач  фильтрации 
многофазной несжимаемой жидкости. Труды III  Всесоюз. конф. – Новосибирск, 1977. 
- С.115-120. 
4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 
- 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1970. - 288с. 
5.  Смагулов  Ш.С.,  Темирбеков  Н.М.,  Камаубаев  К.С.  Моделирование  методом 
фиктивных  областей  граничного  условия  для  давления  в  задачах  течения  вязкой 
жидкости  //  Сибирский  журнал  вычислительной  математики.    –  Новосибирск:  СО 
РАН, 2000. - Т.3, №1. - С.57-71. 
6. Жумагулов Б.Т., Смагулов Ш.С., Куттыкожаева Ш.Н. Неулучшаемые оценки скорости 
сходимости  в  методе  фиктивных  областей  для  уравнения  Навье-Стокса  //  Доклады 
РАН. – 2003. – Т. 390, - №4. – С. 448-451.
 
7. Смагулов Ш.С., Сейлханова Р.Б., Куттыкожаева Ш.Н., Есекеева М. Суперсходимость 
метода  фиктивных  областей  //  Совместный  выпуск  по  материалам  международной 
конференций «Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, 
технике  и  образовании»  (18-20  сентября).  –Новосибирск-Алматы,  2002.  -№4(32).  – 
С.135-140. 
  8.  Крыкпаева  А.А.  Моделирование  граничных  условий  для  давления  для  уравнения 
Стокса  модификацией  метода  фиктивных  областей  //  Вычислительные  технологии, 
том  13,  Вестник  КазНУ  им.  аль-Фараби.  Серия  мат.,  мех.,  инф.  №  3  (58),  2008 
(Совместный выпуск), часть1, Новосибирск-Алматы. С. 235-241. 
9. Антонцев  С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных 
жидкостей. - Новосибирск: Наука, 1983. - 318с.
 
 
 
 
 

110 
 
УДК 621.373.8 
С.Е. Кумеков, Г. К. Байменшина  
 
БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ  
ОДНОМОДОВОГО  ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ЛАЗЕРА 
 
(г. Алматы, КазНТУ имени Сатпаева) 
 
Осы  жұмыста,  бiр  модалы  жартылай  ӛткiзгiш  лазердiң  үлгiсiнiң  орнықтылығы 
биффуркациялық  әдiсiмен    зерттеледi.  Бифуркацилық    анализ  сызықты  емес  жүйенiң 
динамикасының  сапа  бағасын  бередi.  Жүйенiң  орнықтылығының    бифуркациялық  
диаграммасы  берiлген.  Лазердiң  генерациясының  шекарасы  анықталған.  Жүйедегi 
тербелiстердiң болу шарттары мен  параметр интервалы есептелген. 
The current work investigates the stability of the model of one mode semiconductor laser 
using bifurcation analysis. Bifurcation analysis allows giving the quality standard of dynamics 
of nonlinear system. The bifurcation diagram of stability of system is received. The threshold 
of generation of the laser is defined. The  parameter’s interval corresponding to conditions of 
existence of oscillations in a system is calculated. 
 
Нелинейные  модели  могут  иметь  не  одно,  а  несколько  решений,  для  них 
возможно  существование  колебательных  решений  (предельный  цикл),  хаотических 
решений, критического поведения решения в зависимости от параметров. 
Один  из  методов  решения  подобных  систем  является  анализ  бифуркаций,  который 
позволяет  проследить  поведение  динамической  системы  не  получая  ее  решения  и 
определить параметры, при которых возникают определенные изменения. 
   
Проведем  анализ    нелинейной  динамической  модели  одномодового 
полупроводникового лазера. 
Рассматривается  лазер,  основные  элементы  которого  являются:  активная  среда 
(в  полупроводниковом  лазере  -  это  тонкий  слой  узкозонного  полупроводника  с 
высоким  показателем  преломления),  где  происходит  усиление  излучения;  система 
накачки,  используемая  для  создания  инверсной  населенности  (инжекционный  ток);  
резонатор,  используемый для осуществления обратной связи и поддержания генерации 
излучения (сколотые плоскопараллельные торцы стержня активной среды) [1]. 
Динамическое  поведение  одномодового  лазера  можно  описать,  так 
называемыми  «скоростными  уравнениями»  [2],  связывающими  концентрацию 
носителей заряда (в данном случае электронов), N, и плотность фотонов, S, в активной 
области: 
                                 
(
-
) -
0
S
S
S
g N N
S


                                                       (1) 
                                 
0
- (
-
) -
sp
N
N
g N N S
P



.                                               (2)  
Здесь  
s

  -    время  жизни  фотона  в  резонаторе,  g-коэффициент  оптического  усиления, 
sp

-    время  спонтанного  перехода  (  время  рекомбинации  носителей  заряда),  
скорость  накачки  (для  полупроводниковых  лазеров  она  зависит  от  плотности  тока 
накачки    и  толщины  активного  слоя), 
0
N
-  порог  просветления  (  концентрация  
носителей в зоне проводимости, при которой достигается инверсная населенность) 

111 
 
Уравнение  (1)  показывает,  что  скорость  увеличения  плотности  фотонов  равна 
скорости рождения фотонов при стимулированном излучении (
0
(
-
)
g N N S
)  за вычетом 
потерь фотонов в резонаторе (
S
S

). 
Уравнение (2) представляет собой скорость увеличения носителей (электронов), 
которая  равна  скорости  накачки  (
P
)  за  вычетом  скорости  потерь  носителей  при 
спонтанном 
переходе 
(
sp
N


и 
потерь, 
обусловленных 
вынужденным 
(стимулированным) переходом (
0
(
-
)
g N N
). 
Другими словами уравнения (1) и (2) описывают уравнения гибели и рождения 
носителей заряда и фотонов в лазерном резонаторе. 
Для упрощения  можно привести систему уравнений к безразмерному виду. Для этого, 
введем следующие безразмерные переменные: 
sp
s
Sg



0
(
-
) -1
s
n
g
N N


 , 
-1
s
sp
p
Pg
 

                                           (3)  
Подставляя новые переменные (3) в уравнения (1) и (2), получим следующую  систему 
уравнений в безразмерном виде: 
s
ns
s


                                                                        (1’) 
- (
1) -
sp
p
n
s n
n



                                                            (2’) 
Система (1’-2’) имеет два стационарных состояния 
*
1
0
s


*
1
n
p

                                                              (4)    
 
*
2
s
p


*
2
0
n

                                                              (5) 
Для исследования зависимости  системы от параметра p , необходимо линеаризировать 
систему вблизи стационарной точки, полученная при этом  матрица  Якоби запишется в 
виде: 
(
1)
(
1)
s
s
sp
sp
n
s
s
s
s
n
n
s
n
n
s
n










 
 

























 

Каталог: docs -> vestnik -> fizika matematika
vestnik -> Вестник Казнпу им. Абая, серия «Художественное образование», №1(42), 2015 г
vestnik -> Хабаршы вестник «Жаратылыстану-география ғылымдары»
vestnik -> Вестник Казнпу имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г
fizika matematika -> Задача определения правой части в нелинейном псевдопараболическом уравнении
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №4 (44)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №2 (30)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №3 (31)

жүктеу 5.01 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет