“Физика-математика ғылымдары” сериясы №4 (44)


Э.А. Бакирова, Н.Р. Муналбаева



жүктеу 5.4 Kb.
Pdf просмотр
бет4/23
Дата30.04.2017
өлшемі5.4 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Э.А. Бакирова, Н.Р. Муналбаева  
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ҤШІН  
ҤШ НҤКТЕЛІ ШЕТТІК ЕСЕПТІ ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕМЕСІ 
 
(Алматы қ., Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университеті) 
 
Бұл  мақалада  үш  нүктелі  шеттік  есепті  шешудің  әдістемесі  қарастырылған.  Есеп 
қарастырып  отырған  аралықты  белгілі  бір  қадаммен  бӛліп  және  қосымша 
параметрлерді  енгізу  кӛмегімен  пара-пар  жәй  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі 
үшін  параметрі  бар  кӛп  нүктелі  шеттік  есебіне  келтіріледі.  Дифференциалдық 
теңдеулер  жүйесі  үшін  үш  нүктелі  шеттік  есептің  бірмәнді  шешімі  болуының 
фундаменталдық  матрицаның  қажетті  және  жеткілікті  шарттарын  алуға  параметрлеу 
әдісі мүмкіндік береді. Тақырыптың ӛзектілігі бір жағынан ғылым мен техниканың әр 
түрлі  мәселелерін  шешуде  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептер 
теориясының  практикалық  қосымшаларының  маңыздылығымен,  ал  екінші  жағынан 
дифференциалдық теңдеулер үшін үш нүктелі шеттік есептерді шешудің жаңа тиімді 
әдістерін құру қажеттілігімен байланысты анықталады. 
В  статье  рассмотрены  способы  решения  трехточечных  краевых  задач. 
Дифференциальные  уравнения  для  многоточечных  краевых  задач  с  параметрами 
решаются  с  использованием  деления  интервала  с  определенными  шагами  и  вводом 
дополнительных  параметров.  С  помощью  метода  параметризации  определены 
озназначные  решения  необходимых  и  нужных  условий  фудаментальной  матрицы 
дифференциальных  уравнений  для  трехточечных  краевых  задач.  Актуальность  темы 
определяется,  с  одной  стороны  решением  многих  проблем  науки  и  техники  с 
практическим  применением  трех  точечных  краевых  задач,  а  с  другой  стороны 
необходимостью  составления  дифференциальных  уравнений  для  нахождения  новых 
методов решения краевых задач.  
In  this  article  ways  of  the  solution  of  three-point  regional  tasks  considered.  The 
differential  equations  for  multipoint  regional  tasks  with  parameters  solved  with  using  of 
division  of  an  interval  with  certain  steps  and  puting  of  additional  parameters.  Meaning 
solutions of necessary conditions of a fundamentanly matrix for the differential equations are 
defined  by  a  method  of  parametrization  for  three-point  regional  tasks.  Relevance  of  the 
subject  defined,  on  the  one  hand  the  solution  of  many  problems  in  science  and  equipment 
with  practical  application  of  three  dot  regional  tasks,  and  on  the  other  hand  needing  of 
drawing  up  the  differential  equations  for  finding  of  new  methods  of  the  solution  about 
regional tasks. 
 
Түйін  сөздер:  шеттік  есептер,  дифференциалдық  теңдеулер,  үш  нүктелі  шеттік  есептер, 
параметрлеу әдісі, үзіліссіздік шарты, сызықты теңдеулер жүйесі 
Ключевые  слова:  краевые  задачи,  дифференциальные  уравнение,  трехточечные  краевые 
задачи, метод параметров, условие непрерывности, линейные системы уравнения. 
Keywords:
  regional  tasks,  differential  equation,  three-point  regional  tasks,  method  of 
parameters, continuity condition, linear systems of the equation. 
 
Қазіргі  уақытта  шеттік  есептердің  мейлінше  толық  игерілген  саласы 
дифференциалдық  теңдеу  үшін  шеттік  есептер  теориясы  болып  табылады.  Шеттік 
есептер теориясының дамуы, операторлық теңдеулерді  зерттеу және  шешімдерін табу 
әдістерімен  тығыз  байланысты.  Операторлық  теңдеулерді  зерттеудің  топологиялық 
және итерациялық әдістері шеттік есептердің шешімділік шарттарын алу мен олардың 
шешімін  табу  алгоритмдерін  құруды  қамтамасыз  етті.  Аналитикалық,  функционалды-
аналитикалық, сандық және сандық-аналитикалық әдістер жасалынды. 
Кӛптеген  табиғи  құбылыстар  мен  техникалық  үдерістерді  зерттеу  үш  нүктелі 
шеттік  дифференциалдық  теңдеулерге  алып  келеді.  Сонымен  бірге,  биологиялық, 

25 
 
механикалық  және  химиялық  құбылыстарды  математикалық  модельдеу  кезінде  үш 
нүктелі шеттік дифференциалдық теңдеулер үшін шеттік есептер пайда болады. Мысал 
ретінде  келесі  есептерді    қарастыруға  болады:  жинақталған  массалармен  жүктелген 
серіппенің  тербелістері  туралы  есеп,  шектің  тербелісі  туралы  есеп,  серпінді  жіпке 
ілінген жүктің бойлық қозғалысы туралы есеп, ұшына масса ілінген жіптің айналмалы 
тербелістері туралы есеп, жер сулары мен топырақ ылғалының деңгейін ұзақ мерзімді 
болжау және реттеу туралы есеп және т.б. 
Қазіргі  таңда,  үш  нүктелі  шеттік  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін 
шеттік  есептерді  зерттеу  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептер 
теориясының  маңызды  мәселелерінің  біріне  айналып  отыр,  оған  себеп  –  табиғат  пен 
қоршаған ортада болып жатқан кӛптеген құбылыстардың математикалық моделін құру 
кезінде аталған есептерді шешуді қажет етеді. Осыған байланысты, дифференциалдық 
теңдеулер үшін үш нүктелі шеттік есебі параметрлеу әдісімен зерттеледі. 
Нақты 
үдерістерді 
модельдеуге 
байланысты 
кӛптеген 
сұрақтар 
дифференциалдық  теңдеулер  үшін  үш  нүктелі  шеттік  есептерді  зерттеу  қажеттілігіне 
алып  келеді.  Тақырыптың  ӛзектілігі  бір  жағынан  ғылым  мен  техниканың  әр  түрлі 
мәселелерін  шешуде  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептер  теориясының 
практикалық 
қосымшаларының 
маңыздылығымен, 
ал 
екінші 
жағынан 
дифференциалдық  теңдеулер  үшін  үш  нүктелі  шеттік  есептерді  шешудің  жаңа  тиімді 
әдістерін құру қажеттілігімен байланысты анықталады. Дифференциалдық теңдеу үшін 
үш нүктелі шеттік есепті шешудің әдістемесі келесідей жүзеге асады. 
]
,
0
 кесіндісінде  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін  үш  нүктелі  шеттік 
есеп қарастырылады 
),
(
)
(
)
(
)
(
2
0
t
f
x
t
K
x
t
A
dt
dx
i
i
i






  
),
,
0
T
t

     
,
0
2
1
0
T







     
,
n
R
x

        (1) 
,
)
(
)
(
)
0
(
2
1
1
0
d
T
x
C
x
C
x
C




       
,
n
R
d

                                                     (2) 
мұндағы 
)
(
n
n

 -  ӛлшемді 
),
(t
A
 
)
(t
K
i
 матрицалары, 
2
,
0

i
 және 
-  ӛлшемді 
)
(t
f
 
вектор-функциясы 
]
,
0
 кесіндісінде  үзіліссіз, 
0

1

2
 - 
)
(
n
n

 -  ӛлшемді  тұрақты 
матрицалар, 
,
max
,
1
i
n
i
x
x


,
)
(
max
)
(
1
,
1






n
j
ij
n
i
t
a
t
A
,
)
(
i
i
t
K


 
.
,
const
i



 
Нормасы   
)
(
max
]
,
0
[
1
t
x
x
T
t


 болатын  үзіліссіз  функциялар 
n
R
T
x

]
,
0
[
:
 кеңістігін 
)
],
,
0
([
n
R
T
C
 деп белгілейміз. 
(1),  (2)  есебінің  шешімі  деп  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесін 
қанағаттандыратын  және 
0

t
,   
1


t

T
t

 нүктелеріндегі  мәндері  үшін  (2)  теңдігі 
орындалатын 
]
,
0
T
 аралығында  үзіліссіз  дифференциалданатын 
)
(t
x
 вектор-
функциясын айтамыз.  
Дифференциалдық  теңдеулер  мен  оларға  қойылған  шеттік  есептер  [1,2] 
еңбектерінде қарастырылған. Бұрын [3] жұмысында жай дифференциалдық теңдеулер 
жүйесі  үшін  екі  нүктелі  шеттік  есепті  зерттеуге  және  оның  шешімдерін  табуға 
параметрлеу  әдісі  ұсынылған.  Бұл  әдіс  қарастырылған  есептің  бастапқы  терминінде 
бірмәнді  шешілімділігінің  критериін  алуға  және  шешімдерін  табудың  алгоритмін 
құруға  мүмкіндік  берді.  [4]  жұмысында  осы  әдіс  жүктелген  дифференциалдық 
теңдеулер  жүйесі  үшін  екі  нүктелі  шеттік  есепке  дамытылып  және  шешілімділік 
мәселелері зерттелді.  
[5]  жұмысында  (1),  (2)  есебі 
0
1

C
 және  соңғы  шеткі 
T
t

 нүктесі  жүктеу 
нүктесіне кіретін жағдайы  үшін параметрлеу әдісі кӛмегімен зерттелген болатын.  

26 
 
Ұсынылып  отырған  жұмыста    (1),  (2)  есебін  шешуге    арналған  параметрлеу 
әдісінің бір нұсқасы жасалынды және оның  шешімін табудың алгоритмі ұсынылды.  
(1),  (2)  есебіне  параметрлеу  әдісін  қолданайық. 
,
1



r
r
r
h


 
3
,
1

r
 делік. 
Берілген  ,
i

  
2
,
0

i
   жүктеу  нүктелері  бойынша   
]
,
0
 кесіндісін  бӛліктерге  бӛлейік: 
,
)
,
[
)
,
0
[
3
1
1




r
r
r
t
t
T
 мұндағы 
,
0
0
0



t
 
,
1
1


t
  
,
2
2


t
 
T
t


3
3

 және  (1),  (2)  есебінің 
шешімі  болатын 
)
(t
x
   функциясының 
),
,
[
1
r
r
t
t

 
3
,
1

r
 аралығында  сығылуын 
)
(t
x
r
арқылы белгілейік, яғни 
)
(
)
(
t
x
t
x
r


),
,
[
1
r
r
t
t

 
3
,
1

r
. Онда  (1), (2) есебі келесі  пара-пар 
шеттік есебіне келтіріледі 
),
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
t
f
x
t
K
x
t
A
dt
dx
i
i
i
i
r
r







       
)
,
(
1
r
r
t
t
t


,     
3
,
1

r
                 (3)  
  
,
)
(
lim
)
(
)
0
(
3
0
2
1
2
1
1
0
d
t
x
C
x
C
x
C
T
t






                                          (4) 
),
(
)
(
lim
1
2
1
0
1


x
t
x
t



                                                         (5) 
),
(
)
(
lim
2
3
2
0
2


x
t
x
t



                                                         (6) 
мұндағы  (5),  (6)  теңдіктері  ішкі  нүктелердегі  шешімнің  үзіліссіздік  шарты  болып 
табылады.   
Егер 
)
(t
x
 функциясы (1),(2) есебінің шешімі болса, онда 
))
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
x

 
осы функцияның сығылуларының жүйесі  - (3)-(6) есебінің шешімі болады. Керісінше, 
егер 
))
(
~
),
(
~
),
(
~
(
]
[
~
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
x

 функциялар  жүйесі  -  (3)-(6)  есебінің  шешімі  болса,  онда 
),
(
~
)
(
~
t
x
t
x
r

              
)
,
(
1
r
r
t
t
t



3
,
1

r

)
(
~
lim
)
(
~
3
0
t
x
T
x
T
t



 теңдіктерімен  анықталатын   
)
(
t
x
   
функциясы  бастапқы (1), (2) есебінің шешімі болады.  
)
(
1


r
r
r
t
x


3
,
1

r
 белгілеуін  енгізіп  және  де  әрбір   
)
,
[
1
r
r
t
t

 аралықтарында  
,
)
(
)
(
r
r
r
t
x
t
u



 
3
,
1

r
 алмастыруларын  жасасақ,  онда  (3)-(6)  есебі  келесі    параметрі 
бар шеттік есебіне келтіріледі 
),
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
t
f
t
K
t
A
u
t
A
dt
du
i
i
i
r
r
r









    
),
,
(
1
r
r
t
t
t


                         (7) 
,
0
)
(
1


r
r
t
u
          
,
3
,
1

r
                                                             (8) 
       
,
)
(
lim
3
0
2
3
2
2
1
1
0
d
t
u
C
C
C
C
T
t









                                                (9) 
,
)
(
lim
2
1
0
1
1







t
u
t
                                                            (10) 
.
)
(
lim
3
2
0
2
2







t
u
t
                                                            (11) 
(1),  (2)  және  (7)-(11)  есептері  пара-пар  болады.  Егер 
)
(t
x
 функциясы  (1),(2) 
есебінің  шешімі  болса,  онда    келесі 
])
[
,
(
t
u

 жұбы,  мұндағы 
)
,
,
(
3
2
1






)),
(
)
),
(
),
(
(
2
1
0




x
x
x

 
)),
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

 
))
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
(
]
[
2
1
0



x
t
x
x
t
x
x
t
x
t
u




 -  (7)  -  (11)  есебінің  шешімі  болады. 
Керісінше,  егер   
])
[
~
,
~
(
t
u

   жұбы,  мұндағы   
),
~
,
~
,
~
(
~
3
2
1





  
))
(
~
),
(
~
),
(
~
(
]
[
~
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

,  (7)-
(11)  есебінің  шешімі  болса,  онда 
),
(
~
~
)
(
~
t
u
t
x
r
r



 
),
,
[
1
r
r
t
t
t


 
,
3
,
1

r
  
)
(
~
lim
~
)
(
~
3
0
3
t
u
T
x
T
t





 теңдіктерімен  анықталатын   
)
(
t
x
     функциясы    бастапқы  (1),  (2) 
есебінің шешімі болады.  

27 
 
Параметрлерді  енгізу, 
))
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

 белгісіз  функциялар  жүйесінің 
компоненттері үшін  
,
0
)
(
1


r
r
t
u
3
,
1

r
  бастапқы шарттарын алуға мүмкіндік береді.  
(7),  (8)    Коши  есептері  келесі  Вольтерраның  екінші  текті  интегралдық 
теңдеулеріне эквивалентті болады: 















t
t
t
t
t
t
i
i
i
r
t
t
r
r
r
r
r
r
d
f
d
K
d
A
d
u
A
t
u
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0











,     
).
,
[
1
r
r
t
t
t


    (12) 
Енді  интегралдардың  астындағы 
),
(

r
u
 функцияларының  орнына  (12) 
теңдеулерінің  сәйкес  оң  жақтарын  қойып,  бұл  үдерісті 
,...)
2
,
1
(



 рет  қайталасақ, 
онда 
)
(t
u
r
  функцияларының келесі кейіптемелерін аламыз   
 
),
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
t
F
t
u
G
t
H
t
D
t
u
r
r
i
i
i
r
r
r
r













        
),
,
[
1
r
r
t
t
t


      
,
3
,
1

r
                (13) 
мұндағы 
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
















d
d
A
A
d
d
A
A
d
A
t
D
t
t
t
t
t
t
t
t
r
r
r
r
r
r


















 











1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(








d
d
K
A
d
K
t
H
t
t
t
i
t
t
i
i
r
r
r
r
 
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(















d
d
d
K
A
A
A
t
t
t
i
t
t
r
r
r
r















,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
1
1
1
1
1
2
1















d
d
u
A
A
A
t
u
G
t
t
r
t
t
r
r
r
r












    
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
















d
d
f
A
d
d
f
A
d
f
t
F
t
t
t
t
t
t
t
t
r
r
r
r
r
r


















 
(13)  теңдеуінен 
)
(
lim
0
t
u
r
t
t
r



3
,
1

r
,  мәндерін  тауып  алып,  оларды  (9),(10),  (11) 
шарттарына      қойсақ  және  (9)  шартының  екі  жағын 
3
 оң  санына  кӛбейтсек,  онда 
енгізілген 


3
2
1
,
,





 параметрлер үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз. 
)
(
)
,
(
)
(
)
(
3
2
3
3
2
3
3
1
2
0
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
1
3
1
0
3
T
F
C
h
T
u
G
C
h
d
h
T
H
C
h
T
D
C
h
C
h
C
h
C
h
i
i
i



















     (14) 
       
),
,
(
)
(
)
(
)]
(
[
1
1
1
1
2
2
0
1
1
1
1
1
1











u
G
F
H
D
I
i
i
i









                               (15) 
            
),
,
(
)
(
)
(
)]
(
[
2
2
2
2
3
1
2
2
0
2
2
2
2











u
G
F
H
D
I
i
i
i









                         (16) 
(14), (15), (16) сызықты теңдеулер жүйесінің сол жағына сәйкес келетін 
)
3
3
(
n
n

-ӛлшемді  матрицаны 
)
(


Q
 деп  белгілейміз.  Онда  (14),  (15),  (16)  сызықты  теңдеулер 
жүйесі келесі түрде жазылады 
),
,
(
)
(
)
(







u
G
F
Q



     
,
3n
R


 (17) 
мұнда, 
)),
(
),
(
),
(
(
)
(
2
2
1
1
3
3
2
3
3








F
F
F
C
h
d
h
F



           
  
))
,
(
),
,
(
),
(
(
)
,
(
2
2
1
1
3
3
2
3








u
G
u
G
G
C
h
u
G


Сонымен,  белгісіз 
)
,
,
(
3
2
1





 параметрлерін  табу  үшін  (17)  сызықты 
алгебралық теңдеулер жүйесін алдық, ал  белгісіз 
))
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

 функцияларын 
(7),  (8)  Коши  есебінен  табамыз.  Енді  (6)  -  (9)  есебінің  шешімі  тӛмендегі  алгоритм 
арқылы  анықталатын 
]),
[
,
(
)
(
)
(
t
u
k
k

 

,
2
,
1
,
0

k
жұптар  тізбегінің  шегі  ретінде 
ізделінеді: 
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет