“Физика-математика ғылымдары” сериясы №4 (44)


Н.Б. Искакова, Д.К. Икрамбекова



жүктеу 5.4 Kb.
Pdf просмотр
бет13/23
Дата30.04.2017
өлшемі5.4 Kb.
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   23

Н.Б. Искакова, Д.К. Икрамбекова 
 
ОБ АЛГОРИТМАХ НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ 
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АЛГОРИТМОМ 
 
(г.Алматы, КазНПУ имени Абая) 
 
Ұсынып  отырған  мақалада  кешігулі  аргументті  сызықтық  дифференциалдық 
теңдеулер  жүйесі  үшін  периодты  шеттік  есеп  қарастырылады.  Параметрлеу  әдісі 
негізінде  қарастырылып  отырған  периодты  шеттік  есептің  жуықталған  шешімін 
табудың алгоритмдерінің екі параметрлі әулеті ұсынылған. 
В  статье  рассматривается  периодическая  краевая  задача  для  системы  линейных 
дифференциальных  уравнений  с  запаздывающим  аргументом.  На  основе  метода 
параметризации предложено двухпараметрическое семейство алгоритмов нахождения 
приближенного решения рассматриваемой периодической краевой задачи.  
In  the  work  is  considered  the  periodical  boundary  value  problem  for  system  of  linear 
differential equations with delay argument. On the basis of the method parametrization’s is 
offered a two-parametric family of algorithms of finding solutions of the periodical boundary 
value problem. 
 
Түйін сөздер: параметрлеу әдісі, дифференциалдық теңдеулер, кешігулі аргументті. 
Ключевые  слова:  метод  параметризации,  дифференциальные  уравнения,  запаздывающий 
аргумент. 
Keywords: the method parametrization’s, the differential equations, the delay argument 
 
 
На  отрезке 
]
,
0
T
 рассматривается  периодическая  краевая  задача  для  системы 
линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 
,
],
,
0
[
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
R
x
T
t
t
f
t
x
t
B
t
x
t
A
dt
t
dx







  
 
 
(1) 
]
0
,
[
),
(
)]
0
(
[
)
(






z
z
x
diag
z
x

 
 
 
 
(2) 
),
(
)
0
(
T
x
x

 
 
 
 
 
 
 
(3) 
где переменные 


)
(
n
n
матрицы 
)
(
),
(
t
B
t
A
 и вектор-функция 
)
(t
f
 непрерывны на 
]
,
0
T

)
(t

– непрерывная вектор-функция, заданная на начальном множестве 
]
0
,
[


 такая, что 
0
,
,
1
,
1
)
0
(





n
i
i
–  постоянное  запаздывание, 
,
)
(
max
)
(
1
,
1






n
j
ij
n
i
t
a
t
A
,
)
(


t
B
 
где 
.
,
const




i
n
i
x
t
x
,
1
max
)
(



 
Решением задачи (1)-(3) является непрерывно дифференцируемая на 
]
,
0
T
 вектор-
функция 
)
(t
x
,  удовлетворяющая  на 
]
,
0
T
 дифференциальному  уравнению  (1), 
совпадающая  на 
]
0
,
[


 с  функцией 
)
(
)]
0
(
[
t
x
diag


 и,  имеющая  в  точках 
T
t
t


,
0
 
значения 
),
(
),
0
(
T
x
x
 для которых справедливо равенство (3). 
 
В  работе  [1]  разработан  метод  параметризации,  на  основе  которого  исследована 
разрешимость 
двухточечной 
краевой 
задачи 
для 
системы 
обыкновенных 
дифференциальных  уравнений.  Данным  методом  в  [2]  установлены  признаки 
однозначной  разрешимости  периодической  краевой  задачи  для  системы  нелинейных 
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. 

96 
 
 
Используя  метод  параметризации,  с  шагом 
:
l
h


 



l
T
N
,

 производится 
разбиение 



lN
r
r
r
l
s
s
s
t
t
t
t
T
1
1
1
1
)
,
[
)
,
[
)
,
0
[
)
0
,
[










,  где 
0
0

t

,
sh
t
s



l
s
,
1


rh
t
r


lN
r
,
1

.  Сужение  функции 
)
(t
x
 на 
r
–ый  интервал 
)
,
[
1
r
r
t
t

 обозначим  через 
),
(t
x
r
lN
r
,
1

.  Через 
)
(t
s


l
s
,
1

 обозначим  сужения  начальной  функции 
)
(t

 на 
s
–ый 
интервал 
)
,
[
)
1
(
s
l
s
l
t
t





. При 
)
,
[
1
r
r
t
t
t


аргумент 


t
 изменяется на 
)
,
[
1
l
r
l
r
t
t



, причем,  

























,
1
,
0
1
),
,
[
,
1
,
0
1
),
,
[
)
,
[
)
1
(
1
1
l
r
l
r
если
t
t
l
r
l
r
если
t
t
t
t
r
l
r
l
l
r
l
r
l
r
l
r
 
поэтому функция 
)
(


t
x
 совпадает с функцией 
)
(



t
x
l
r
.  
 
Введем  дополнительные  параметры 
)
(
1


r
r
r
t
x

 и  на  каждом 
r
-ом  интервале  
)
,
[
1
r
r
t
t

 произведем  следующую  замену 
r
r
r
t
x
t
u



)
(
)
(
.  Тогда  задача  (1)-(3)  сведется  к 
эквивалентной многоточечной краевой задаче с параметрами 


,
,
1
),
,
[
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
l
r
t
t
t
t
f
t
t
B
t
u
t
A
dt
du
r
r
r
r
r
r












 
 
 (4) 




,
,
1
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lN
l
r
t
f
t
u
t
B
t
u
t
A
dt
du
l
r
l
r
r
r
r













    
(5) 
,
,
1
,
0
)
(
1
lN
r
t
u
r
r



   
 
 
 
 
 (6) 
),
(
lim
0
1
t
u
lN
T
t
lN






   
 
 
 
 
 (7) 
,
1
,
1
,
)
(
lim
1
0







lN
s
t
u
s
s
t
t
s
s


 
 
 
 
 
(8) 
где 
)
(



t
r
 есть матрица размерности 
)
(
n
n

 вида 
)]
(
[



t
diag
r

l
r
,
1

.  
 
Если 
)
(t
x
-  решение  задачи  (1)-(3),  то  система  пар 


)
(
,
t
u
r
r


lN
r
,
1

 –  решение 
задачи (4)-(8), и, наоборот, если система 


)
(
~
,
t
u
r
r


lN
r
,
1

– решение задачи (4)-(8),  то 
функция 













T
t
t
u
lN
r
t
t
t
t
u
t
x
lN
T
t
lN
r
r
r
r
),
(
~
lim
~
,
1
),
,
[
),
(
~
~
)
(
~
0
1


 
 будет решением задачи (1)-(3). 
 
В  задаче  (4)-(8)  появились  начальные  условия  (6),  позволяющие  определить 
неизвестные функции из интегральных уравнений Вольтера 2-го рода: 
-  функцию 
)
(t
u
r
,   
)
,
[
1
r
r
t
t
t



l
r
,
1

 при  фиксированном  параметре 
r

 определяем  из 
уравнения 














t
t
t
t
r
t
t
r
r
r
r
r
r
ds
s
f
ds
s
s
B
ds
s
u
s
A
t
u
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(


,  
 
(9) 
-  функцию 
)
(t
u
r

)
,
[
1
r
r
t
t
t



lN
l
r
,
1


 при  фиксированных 
)
(
,
,






t
u
l
r
l
r
r
 определяем 
из уравнения 


















t
t
t
t
l
r
l
r
t
t
r
r
r
r
r
r
ds
s
f
ds
s
u
s
B
ds
s
u
s
A
t
u
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(



,    
(10) 
где  пара 


)
(
,
t
u
r
r


l
r
,
1

 удовлетворяет  уравнению  (9),  а  пара 
))
(
,
(
t
u
l
r
l
r




)
1
(
,...,
2
,
1




N
l
l
l
r
 удовлетворяет уравнению  

97 
 




,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
2




















t
t
t
t
l
r
l
r
t
t
l
r
l
r
l
r
l
r
l
r
l
r
ds
s
f
ds
s
u
s
B
ds
s
u
s
A
t
u



 
)
,
[
1
l
r
l
r
t
t
t





В  уравнении  (9)  вместо 
)
(s
u
r
подставим  правую  часть  этого  уравнения  и,  повторяя 
процесс 
,...)
2
,
1
(



 раз, получаем представление функции 
)
(t
u
r
 
)
,
(
)
,
(
)
0
,
(
)
0
,
(
)
(
0
,
0
1
r
r
r
r
r
r
r
u
t
G
f
t
F
t
E
t
D
t
u











)
,
[
1
r
r
t
t
t



l
r
,
1


 
(11) 
Аналогично поступаем с правой частью равенства (10). Тогда представление функции 
)
(t
u
j
il

 имеет вид 








1
,
,
,
)]
,
(
,
[
)
0
,
(
)
(






i
t
E
t
P
t
D
t
u
j
il
i
j
il
j
il
j
il
j
il
 













i
k
j
l
k
i
j
il
j
il
j
il
k
j
il
k
t
D
t
P
k
t
H
t
P
1
)
(
,
,
,
1
,
)]]
,
(
,
[
)
)
1
(
,
(
,
[







   
 
(12) 
,
,
1
,
1
,
1
,
)
,
[
)],
,
(
)
,
(
,
[
0
1
,
)
(
,
,
1
,
l
j
N
i
t
t
t
u
t
G
f
t
F
t
P
i
k
j
il
j
il
k
j
l
k
i
j
il
k
j
il
k
j
il






















 
где      
,
...
)
(
)...
(
)
,
(
1
0
1
1
1
1
,
1
1
 


















k
t
t
s
t
k
k
j
il
j
il
k
j
il
ds
ds
m
s
A
m
s
A
m
t
D
 
 












1
1
1
1
1
,
1
1
)...
(
)
(
)
,
(





k
t
t
t
t
j
il
j
il
j
il
m
s
A
ds
m
s
B
m
t
H
 
1
1
1
1
1
1
...
)
(
)
(
...
ds
ds
ds
m
s
B
m
s
A
k
j
il
k
j
il
s
t
k
k
s
t
k
k













 
...
)
(
)
(
)
,
(
1
1
1
1
1
,
1
1
 

















k
t
t
t
t
m
j
il
j
il
j
il
m
s
A
ds
m
s
f
f
t
F
 
,
...
)
(
)
(
...
1
1
1
1
1
1
ds
ds
ds
m
s
f
m
s
A
k
j
il
k
j
il
s
t
k
k
s
t
k
k













 
,
...
)
(
)
(
)
(
)...
(
)
,
(
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,





















t
t
s
t
s
t
j
il
m
j
il
j
il
j
il
j
il
j
il
ds
ds
ds
s
u
m
s
A
m
s
A
m
s
A
u
t
G












 
 



















1
1
1
1
1
)
1
(
1
,
)
1
(
,
1
1
...
)
)
1
(
(
)
(
)
)
1
(
(
)
,
(






k
t
t
t
t
j
l
i
m
j
l
i
j
il
j
il
j
il
m
s
A
ds
m
s
u
m
s
B
u
t
P
 
1
1
1
)
1
(
1
1
1
1
...
)
(
)
)
1
(
(
)
)
1
(
(
...
ds
ds
ds
m
s
u
m
s
B
m
s
A
k
j
il
k
j
il
s
t
k
k
k
j
l
i
s
t
k
k





















 















1
1
1
1
1
1
,
1
1
...
)
(
)
)
1
(
(
)
(
)
,
(






k
t
t
t
t
j
j
il
j
il
j
il
m
s
A
ds
m
s
m
s
B
m
t
E
 
1
1
1
1
1
1
1
...
)
)
1
(
(
)
(
)
(
...
ds
ds
ds
m
s
m
s
B
m
s
A
k
j
il
k
j
il
s
t
k
k
k
j
s
t
k
k



















i
m
,
0


1
,
1


N
i

l
j
,
1


,
]
,
[
0
y
y
t
P

 
]]
,
[
,
[
]
,
[
1
y
t
P
t
P
y
t
P
k
k




98 
 
 
Переходя  в  равенствах  (11),  (12)  к  пределам  при    и  подставляя  эти  пределы  в 
граничные  условия  (7)  и  условия  склеивания  (9),  получаем  систему  линейных 
алгебраических  уравнений относительно неизвестных параметров 
lN



,...,
,
2
1
, которую 
запишем в векторно-матричном виде  
)
,
(
~
)
,
(
~
)
(
l
u
G
l
f
F
l
Q








,   
 
 
 
(13) 
где 
)
(l
Q

-  матрица  размерности 
nlN
nlN

,  составленная  из  коэффициентов  при 
неизвестных параметрах 
lN
r
r
,
1
,


 системы алгебраических линейных уравнений,  


nlN
lN
R







,
,
,
2
1




nlN
lN
lN
lN
R
t
F
t
F
t
F
T
F
l
F






)
(
~
),...,
(
~
),
(
~
),
(
~
)
(
~
1
1
,
2
2
1
1
,








nlN
lN
lN
lN
R
t
u
G
t
u
G
t
u
G
T
u
G
l
u
G






)
,
(
~
),...,
,
(
~
),
,
(
~
),
,
(
~
)
,
(
~
1
1
,
2
2
1
1
,


















i
k
k
j
il
j
il
k
j
il
j
il
j
il
f
t
F
t
P
t
F
0
,
,
,
,
,
)
(
~




,  














i
k
k
j
l
k
i
j
il
j
il
k
j
il
j
il
j
il
u
t
G
t
P
t
u
G
0
,
)
(
,
,
,
,
,
)
,
(
~





1
,
0


N
i

l
j
,
1


 
Таким  образом,  имеем  систему  уравнений  (9),  (10)  и  (13)  для  нахождения  пары 
 


t
u
,

, где 


lN




,
,
,
2
1



 


)
(
,
),
(
),
(
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u
lN


.  
 
Решение  задачи  (4)-(8)  пару 
 


t
u
,

 найдем  как  предел  последовательности 
 


t
u
k
k
)
(
)
(
,


,...
2
,
1
,
0

k
по следующему алгоритму. 
Каталог: docs -> vestnik -> fizika matematika
vestnik -> Вестник Казнпу им. Абая, серия «Художественное образование», №1(42), 2015 г
vestnik -> Хабаршы вестник «Жаратылыстану-география ғылымдары»
vestnik -> Вестник Казнпу имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г
fizika matematika -> Задача определения правой части в нелинейном псевдопараболическом уравнении
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Абай атындағы
fizika matematika -> Г. У. Уалиев Редакционная коллегия
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №2 (30)
fizika matematika -> “Физика-математика ғылымдары” сериясы №3 (31)

жүктеу 5.4 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   23




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет