Алматыэкономикажәне статистикаакадемиясы пәннің ОҚу- әдістемелік кешені «Математикалық анализ»


Ҥзіліссіз функциялардың қасиеттері



жүктеу 5.83 Kb.
Pdf просмотр
бет9/26
Дата04.05.2017
өлшемі5.83 Kb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   26

Ҥзіліссіз функциялардың қасиеттері 
1-Теорема.  Егер 
)
(x
f
  функциясы 
 
в
а;
  кесіндісінде  ҥзіліссіз  болса,  ол  осы 
кесіндіде шенелген функция болады. 
2-Теорема.  Егер 
)
(x
f
  функциясы 
 
в
а;
  сегментінде  ҥзіліссіз  болса, онда 
)
(x
f
 
функциясының осы сегментте ең ҥлкен және ең кіші мәндері бар болады. 
3-Теорема.  Егер 
)
(x
f
  функциясы 
 
в
а;
  сегментінде  ҥзіліссіз  және  сегменттің 
шеткі  нҥктелерінде 
)
(x
f
  функциясының  мәндерінің  таңбалары  әр  тҥрлі  болса, 
онда 
 
в
а;
 сегментінің болмағанда бір ішкі 
в
c
а
с
х



,
 нҥктесінде 
0
)
(

c
f

4-Теорема.  Егер 
)
(x
f
  функциясы 
 
в
а;
  аралығында  ҥзіліссіз  және 
В
в
f
A
a
f



)
(
)
(
 болса, онда А мен В –ның арасында жатқан С саны ҧшін қандай 
болса  да, 
 
в
а;
  интервалында  ең  болмағанда  бір 
0
х
  нҥктесі  табылып, 
C
x
f

)
(
0
 
болады. 
 
Сҧрақтар 
1.
 
Біржақты шектер. Функцияның нҥктеде шегі бар болуы. 
2.
 
Функцияның ҥзіліссіздігі. Ҥзіліссіз функциялар қасиеттері. 
3.
 
15.Ҥзіліс нҥктелерінің классификациясы. Мысалдар. 
4.
 
16. Кесіндіде ҥзіліссіз функцияның қасиеттері. 
5.
 
17.Бірінші тамаша шек. 
6.
 
18.Екінші тамаша шек. 
7.
 
19. Шексіз аз функцияларды салыстыру. Эквиваленттілік.Эквивалентті 
8.
 
Функциялардың қасиеттері. 
Әдебиеттер [1], [3], [15] 
 
3-4 дәрістер 

77 
 
Туынды және дифференциал  
1. Туындының ҧғымына байланысты есептер.  
2. Функцияның нҥктедегі туындысының анықтамасы. 3.Функцияның нҥктедегі оң 
жақ және сол жақ туындылары. 4.Дифференциалдау ережелері. 5. sinx, cjsx, tdx, 
logx функцияларының туындылары. 
6.Кҥрделі және кері функциялардың туындысы. Мысал. 
7. Дифференциял және оның қолданылуы. 
8.Жоғарғы ретті туындылар. 
9. Ферма, Ролль, Лагранж теоремалары және олардың геометриялық 
талқыламалары. 
Туынды және дифференциал (3 сағат) 
5.1. Туынды ұғымы. Туындының анықтамасы 
Туынды  ҧғымы  –  дифференциалдық  есептеулерде  ең  негізгі  ҧғым  болып 
саналады. Алдымен, осы ҧғымға келтірілетін бір есепті қарастырайық. 
Айталық,  М  материалдық  нҥкте  тҥзудің  бойымен  бірқалыпты  емес  қозғалыс 
жасайды (24 – сызба). 
 
 
 
 
 
 
 
Бастапқы О нҥктеден М нҥктеге дейінгі қашықтықты 
S
  деп  белгілесек, онда 
бҧл  қашықтық  уақыт 
t
  -ның  функциясы  болады: 
 
t
f
S

.  Егер  уақыт 
t

-ға 
ӛзгеретін  болса,  онда  М  нҥктесі 
S

-ке  тең  қашықтықты  жҥріп  ӛтеді.  Сонда 
t
S


 
қатынасын орташа жылдамдық 
орт

 деп атайды. Егер 
t

-ның шамасын ӛте аз деп 
алатын болсақ, онда орташа жылдамдық та ӛте аз болады. Осыдан, жылдамдық 

 
- ның кез келген 
t
 уақыттағы мәнін мына шектен табуға болады: 
t
S
t





0
lim


Дербес  жағдайда,  егер  қозғалыс  бір  қалыпты  болса,  онда 
орт



.  Осындай 
есептерді физикадан, механикадан келтіруге болады. 
Айталық,  Х  аралығында 
 
x
f
y

  функциясы  анықталсын.  Бҧл  аралықтан 
0
x
 
нҥктесін  алып,  оған 
x

  ӛсімшесін  берейік.  Сонда 
 
x
f
y

  функциясы  да  ӛсімше 
қабылдайды: 

  
0
0
x
f
x
x
f
y





.  Мҧнда 
X
x
x



0
,  басқаша  болса, 


x
x
f


0
-
тың мәні болмайтыны  анықтауынан  белгілі болып тҧр. 
Анықтама.  Егер 
x

  нӛлге  ҧмтылғанда  функция  ӛсімшесі  мен  аргумент 
ӛсімшесі  қатынасының  шегі  бар  болса,  онда  бҧл  шек  берілген  функцияның 
0
x
 
нҥктесіндегі туындысы деп аталады. 
Сонымен, егер 



S
 

24 -сызба 

78 
 
   

  
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x











0
0
0
0
lim
lim
             (5.1.1) 
бар болса, оны берілген функцияның 
0
x
 нҥктесіндегі туындысы деп атайды. 
Туындыны мынандай символдармен белгілейді: 
y

(игрек штрих), 
х
у

 (игрек штрих 
х
  бойынша), 
dx
dy
(де  игрек  де  икстен), 
 
x
f

  (эф  штрих  икстен).  Сӛйтіп, 
функцияның туындысы, мысалы, бірінші символымен былай жазылады: 
x
y
y
x






0
lim
 
немесе: 
 

  
x
x
f
x
x
f
x
f
x








0
0
0
0
lim

Туынды табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды. Ал, жоғарыда 
қаралған  физикалық  есепте  айнымалы  жылдамдық  жҥрген  жолдың  туындысына 
 
t
f



  тең  болады.  Бҧл  жағдайды  туындының  механикалық  мағынасы  деп 
атайды. 
Туынды  есептеуге  мысал  келтірейік: 
 
1
,
0


x
x
x
f
  нҥктесіндегі  туындыны 
табу керек болсын: 
1)
 
аргумент 
1
0

x
-ге 
x

 ӛсімшесін береміз 
х


1
 
2)
 
осыған сәйкес функцияның ӛсімшесін табамыз: 

  
1
1
1
1









x
f
x
f
y

3)
 
x
y


 қатынасын табамыз: 
x
x
x
y







1
1

4)
 
осы қатынастың 
0


x
 шегін табамыз: 






























1
1
1
1
1
1
lim
1
1
lim
lim
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x


2
1
1
1
1
lim
1
1
1
1
lim
0
0

















x
x
x
x
x
x
. Сонымен, 
 
2
1
1


f

Жоғарыдағы 
 
0
x
f

-дың анықтамасындағы 
x
x
x



0
 деп алсақ, онда 
0
x
x
x



 
және  
 
   
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x






Енді осы нҥктедегі функцияның біржақты туындыларын келтірейік. 


   
0
0
0
0
0
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x







 - сол жақты туындысы, 


   
0
0
0
0
0
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x







 - оң жақты туындысы. 

79 
 
Егер 


0
0


x
f
  және 


0
0


x
f
  бар  болса  және  бір  біріне  тең  болса,  онда 
 
0
x
f

 
бар болады және солардың мәніне тең болады. 
 
5.2. Туындының геометриялық мағынасы 
Алдымен, қисық сызыққа жіргізілген жанаманың анықтамасын келтірейік. 
L
 қисық сызықтың бойынан екі нҥкте 
M
 және 
N
 алайық және сол нҥктелер 
арқылы қиюшы жҥргізейік. 
M
 нҥктесін қозғалмайды деп есептеп, 
N
 нҥктесін 
L
 
қисығы бойымен 
M
 нҥктесіне дейін жҥргізейік. Егер 
0

MN
 (25–сызба,а) болса, 
онда қиюшы 
MN
 тҥзу 
MP
- ға ҧмтылады. 
Анықтама
M
  нҥктесі 
N
  нҥктесіне  ҧмтылғанда  қиюшы 
MN
  мен  тҥзу 
MP
 
арасындағы  бҧрыш 

  нӛлге  ҧмтылса,  онда 
MP
  тҥзуді 
L
  қисық  сызықтың 
M
 
нҥктесіндегі жанамасы деп атаймыз. Енді туындының геометриялық мағынасына 
кӛшейік. 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 



а) 

 

 
0                             x
0
                x
0
+

x             






ә) 

80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Айталық, 
 
x
f
-тың 
0
x
x

  нҥктесіндегі  туындысы 
 
0
x
f

  болсын.  Қиюшы 
MN
OX
 осімен (оң бағыттағы) 

 бҧрышын жасасын. Сонда (25 –сызба,ә): 

  
x
y
x
x
f
x
x
f
tg








0
0

 
немесе: 
x
y
arctg





Егер 
x

 нӛлге ҧмтылатын болса, онда: 
1)
 
N
 нҥктесі 
 
x
f
y

 қисығы бойымен 
M
 нҥктесіне ҧмтылады, 
2)
 
қиюшы 
MN
 тҥзу 
MP
 - ға ҧмтылады, 
3)
 

 бҧрышы 

 бҧрышына ҧмтылады, онда 
 
0
0
0
lim
lim
x
f
arctg
x
y
arctg
x
y
arctg
x
x

















 
осыдан, 
 
0
0
lim
x
f
arctg
x





  бар  болады  және 



lim
.  Яғни,  қиюшы 
MN
MP
 
тҥзудің  орнына  келеді  де 
 
x
f
y

  функцияның  жанамасы  болады  және 
 



0
x
f
arctg
 немесе 
 

tg
x
f


0
.  
Туындының  геометриялық  мағынасы:  туынды 
 
x
f

 
x
f
y

  функцияның 
 
y
x
M
;
  нҥктесіне  жҥргізілген  жанама  мен 
OX
  осінің  оң  бағытының  арасындағы 
бҧрыштың тангенсін кескіндейді. 
          Онда 
 
x
f
  функциясының 


0
0
y
x
  нҥктесіндегі  жанамасының  теңдеуін 
мына тҥрде жазуға болады: 
   
 

0
0
0
x
x
x
f
y
y




 
 
(5.2.1) 
Егер  осы    жанамаға 


0
0
y
x
  нҥктесінде  перпендикуляр  тҥсіретін  болсақ,  онда 
ол тҥзуді нормаль деп атайды және оның теңдеуін мына тҥрде жазуға болады: 
   
 

0
0
0
1
x
x
x
f
y
y





 
 
(5.2.2) 
 
25-сызба 

81 
 
5.3.  Функцияның  дифференциалдануы  мен  ҥзіліссіздігінің  арасындағы 
байланыс 
Бізге Х аралығында анықталған 
 
x
f
y

 функциясы берілсін. Бҧл аралықтан 
белгілі 
0
x
x

 нҥктесін алып, оған 
x

 ӛсімшесін берейік, яғни 
X
x
x



0
. Онда 
осы 
x

 -ке сәйкес функцияның ӛсімшесі 
   
 

  
0
0
0
x
f
x
x
f
x
f
y







             (5.3.1) 
Анықтама.  Егер  Х  аралығының 
0
x
x

  нҥктесінде 
 
x
f
y

  функциясының 
шенеулі  туындысы  бар  болса,  онда  мҧндай  функцияны 
0
х
  нҥктесінде 
дифференциалданатын функция деп атайды. 
Осы  айтылғандарды  былай  да  тҧжырымдауға  болады.  Егер 
 
x
f
y

 
функцияның Х аралығынан алынған 
х
 нҥктесіндегі ӛсімшесі келесі теңдік, 

  
 
 
х
х
х
x
f
x
f
х
x
f
y













       (5.3.2) 
арқылы 
ӛрнектелсе, 
онда 
бҧл 
функцияны 
кӛрсетілген 
аралықта 
дифференциалданатын  функция  деп  атайды.  Мҧндағы 
 
х


ақырсыз  кішкене 
шама, 
х

 пен бірге нольге ҧмтылады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
y

  функциясы 
0
х
  нҥктесінде  диффе-ренциалданатын 
функция болса, онда сол нҥктеде функция ҥзіліссіз болады. 
 Шынында да  
 
 















x
x
x
x
f
y
x
x

0
0
0
lim
lim
 
 
0
x
lim
x
lim
x
lim
x
f
0
x
0
x
0
x
0
















Бҧл қорытынды, яғни 
0
lim
0




y
x
, берілген функцияның 
0
x
 нҥктесінде ҥзіліссіз 
екенін  кӛрсетеді. 
Ал  функцияның  ҥзіліссіздігінен  оның  сол  нҥктеде  диф-ференциалдануы 
әрқашанда  бола  бермейді.  Демек,  функция  ҥзіліссіз  бола  тҧрып,  ол  нҥктеде 
дифференциалдануы да, дифференциалданбауы да мҥмкін. 
  Мысал ретінде 
x
y

 функцияны қарастырайық. 
   
 
 
 
 
Бҧл 
функция 
0

x
 
нҥктесінде  ҥзіліссіз.  Ол  мына  
теңдіктен шығады: 
 
 
0
0
lim
0



f
x
f
x

Бірақ 
сол 
нҥктеде 
функцияның 
туындысы 
болмайтынын  дәлелдейік.  Егер 
бір  жақты  шектерді  табатын 
болсақ, 
   
1
x
x
lim
x
x
lim
0
x
0
f
x
f
lim
0
0
x
0
0
x
0
0
x













,
   
1
lim
lim
0
0
lim
0
0
0
0
0
0











x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x

О 
у 
у=

х

 
х 
26-
сызба 

82 
 
нӛл нҥктесінде екі жағындағы шектері тең емес, сондықтан туынды болмайтыны 
анықталды. 
 
5.4. Функцияларды дифференциалдау ережелері 
Туындының  анықтамасын  пайдаланып,  функцияны  дифференциалдаудың 
бірнеше  ережелерін  қорытып  шығарайық.  Олардың  кӛмегімен  элементар 
(қарапайым)  функциялардан  қҧрастырылған  кез  келген  функциялар  ҥшін 
туындыны есептеу мҥмкіндігі туады. 
1)  Тҧрақты  функцияның  туындысы.  Егер 
c
y

  (
c
-  кез  келген  нақты  сан) 
болса,  оның  туындысы  нӛлге  тең.  Себебі  кез  келген  ӛсімше 
x

  ҥшін 
c
y
y




немесе 
0




c
c
y

Демек: 
0
,



у
с
у

 
2) Егер 
х
у

 болса, онда кез келген 
x

 ҥшін 
х
х
y
y





 немесе 
х
y




Сонда: 
1



х
у
 және 
1
lim
0





х
у
x
. Бҧдан 
х
у

 болса, онда 
1


y

Теорема. Егер 
 
x
U
U

 және 
 
x



 функцияларының 
x
 нҥктесінде шенелген 
туындылары  бар  болса,  олардың  алгебралық  қосындысының,  кӛбейтіндісінің 
және  қатынасының  (егер  бӛлімі  нӛлге  тең  болмаса)  туындылары  бар  болады  да 
мына формулалар бойынша табылады: 
   












U
U
y
 
 
 (5.4.1) 
   


U
U
U
y











 
 
   (5.4.2) 
   


0
,
2



















U
U
U
y
           (5.4.3) 
Дәлелдеу. (5.4.3) – формуланы дәлелдейік (басқалары да осылай дәлелденеді). 
Егер 
х
  -ке 
x

  ӛсімшесін  берсек,  онда 

,
U
  және 

U
y

  функциялары  да 
сәйкесінше 



,
U
 және 
y

 ӛсімшелерін қабылдайды. Сонда : 





U
U
U
y
U
U
y
y














,






























x
U
x
U
x
y
U
U
,

Енді осы ӛрнектің 
0


x
 -дағы шегін тапсақ: 












































0
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
U
x
U
x
U
x
U
x
y
y
немесе: 


0
lim
,
0
2






















x
U
U
U
y

Каталог: books
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді Жайлыбай F. Таңдамалы. Астана: Фолиант, 2014
books -> Орынбасар Дөңқабақ ДӘуір дүЛДҮлдері
books -> Бағдарламасы бойынша шығарылды Редакция алқасы: С. Абдрахманов, Н. Асқарбекова, Р. Асылбекқызы
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді
books -> Ұлы дала тұЛҒалары қҰдайберген
books -> Редакция ал қ
books -> Ббк 84 Қаз-7 82 Қазақстан Республикасының Мәдениет және ақпарат министрлігі Ақпарат және мұрағат комитеті «Әдебиеттің әлеуметтік маңызды түрлерін басып шығару»
books -> Анықтамалық Е. Тілешов, Д.Қамзабекұлы Алматы, 2014 «Сардар» Баспа үйі

жүктеу 5.83 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   26




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет