Алматыэкономикажәне статистикаакадемиясы пәннің ОҚу- әдістемелік кешені «Математикалық анализ»


 Функцияның нҥктедегі (жергілікті)және аралықтағы ҥзіліссіздігі



жүктеу 5.83 Kb.
Pdf просмотр
бет8/26
Дата04.05.2017
өлшемі5.83 Kb.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   26

4.17. Функцияның нҥктедегі (жергілікті)және аралықтағы ҥзіліссіздігі 
Табиғаттағы  байқалатын  қҧбылыстардың  басым  кӛпшілігіне  ортақ  қасиет 
олардың  ҥздіксіз  ӛзгеретіндігінде.  Мысалы,  ауа  температурасының  ӛзгеруі, 
қыздырудың нәтижесінде сымның ҧзаруы - ҥздіксіз ӛзгеретін қҧбылыстар. 
Функцияның ҥзіліссіздігі оның шегімен тікелей байланысты ҧғымдардың бірі. 
Сондықтан, математикада функцияның ҥзіліссіздік ҧғымы шек ҧғымдары арқылы 
беріледі. 
Бізге 
 
в
а;
  аралығында  анықталған 
 
x
f
  функциясы  берілсін.  Айталық, 
0
х
 
нҥктесі  осы  аралықтың  нҥктесі,  яғни 
 
в
а
х
;
0

  болсын.  Бҧл  нҥктеде 
 
x
f
 
анықталған, демек, 
 
0
x
f
 нақты санға тең. 
1-Анықтама. Егер кез  келген 
0


 оң  саны  бойынша 
 




  саны  табылып, 



0
x
x
  теңсіздігін  қанағаттандыратын  барлық  х-тер  ҥшін 
 



)
(
0
x
f
x
f
 
теңсіздігі  орындалса, 
 
x
f
  функциясын 
 
в
а;
  аралығының 
0
х
  нҥктесінде  ҥздіксіз 
(ҥзіліссіз) функция деп атайды. 

72 
 
Шек таңбасын пайдаланып, бҧл анықтаманы былай да айтуға болады. 
 
2-Анықтама.  Егер 
 
x
f
  функциясының  айнымалы  х  тҧрақты 
0
х
  санына 
ҧмтылғандағы 


0
х
х

  шегі  оның 
0
х
  нҥктесіндегі 
 
0
x
f
  мәніне  тең,  яғни 
 
 
0
0
lim
x
f
x
f
x
x


  болса,  онда 
 
x
f
  функциясын   
 
в
а;
  аралығының 
0
х
  нҥктесінде 
ҥзіліссіз функция деп атайды. 
Егер 
 
х
x
f

  болса,  онда 
 
x
x
f
x
x
x
x
0
0
lim
lim



.  Сондықтан 
 
 
0
0
lim
x
f
x
f
x
x


теңдікті 
былай да жазуға болады: 
 









x
f
x
f
x
x
x
x
0
0
lim
lim

Бҧдан біз ҥзіліссіз функциялар ҥшін функция таңбасы 
f
 пен шек таңбасы 
lim
 
екеуінің орындарын ауыстыруға болатындығын кӛреміз. 
Айталық х нҥктесі 
 
в
а;
 аралығының кез келген нҥктесі болсын, яғни 
 
в
a
x
;


Сонда 
х
х
х



0
  айырмасын  аргумент  немесе  тәуелсіз  айнымалы  х-тың 
0
х
 
нҥктесіндегі 
ӛсімшесі 
дейді. 
Ӛсімше 
х

  оң  да,  теріс  те 
таңбалы 
бола 
береді 
және 
 
в
а
х
х
х
;
0





Мына 

  
0
0
0
)
(
)
(
x
f
x
x
f
x
f
x
f





 
айырманы 
аргументтің 
х

 
ӛсімшесіне 
сәйкес 
 
x
f
 
функциясының  (немесе  тәуелді 
айнымалының)  ӛсімшесі  дейді. 
Яғни 
)
(
)
(
0
x
f
x
f
у



 
немесе 
 
)
(
)
(
0
x
f
x
f
x
f




Берілген 
)
(x
f
у

  функциясының  ӛсімшесі 
оң да, теріс те кейде нӛлге де тең 
болуы мҥмкін (23-сызба). 
Осыларды ескеріп, 1-анықтамадағы теңсіздіктерді мына тҥрде жазуға болады:   
,
0





х
х
х







y
x
f
x
x
f
)
(
)
(
0
0

бҧдан        

 Демек   
 
0
lim
lim
0
0








x
f
y
x
x
(4.17.1) 
Осыдан 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;
  аралығының 
0
х
  нҥктесінде  ҥзіліссіздігінің 
тағы да бір анықтамасы шығады. 
3-Анықтама.  Егер  аргументтің 
0
х
  нҥктесіндегі  ӛсімшесі 
х

  нӛлге 
ҧмтылғанда 

  
х
f
х
0


  функциясының  оған  сәйкес  ӛсімшесі 
 
x
f
y



-та  нӛлге 
ҧмтылса 
 


0


x
f

 
x
f
 функциясын 
0
х
 нҥктесінде ҥзіліссіз функция деп атайды. 
Бҧл  анықтамадан  ҥзіліссіз  функция  ҥшін  аргументтің  ақырсыз  кішкене 
ӛсімшесіне сол нҥктеде функцияның ақырсыз кішкене ӛсімшесі сәйкес келетінін 
кӛреміз  (4.17.1). 

  


0
lim
0
0
0






x
f
x
x
f
x
23 
сызба 
  A            x
0                                
x
0
+

x              
b     x 
y=f(x) 


f(x
0




73 
 
Функцияның  нҥктедегі,  немесе  жергілікті  ҥзіліссіздігінің  берілген 
анықтамалары  ӛзара  эквивалентті  анықтамалар.  Осыған  дейінгі  анықтамалардың 
барлығы  функцияның  нҥктедегі  ҥздіксіздігінің  анықтамалары.  Енді  функцияның 
аралықтағы ҥздіксіздігінің анықтамасын берейік. 
Анықтама.  Егер 
 
x
f
  функциясы 
 
в
а;
  аралығының  кез  келген  нҥктесінде 
ҥзіліссіз болса, онда оны 
 
в
а;
 аралығында ҥзіліссіз функция деп атайды. 
Берілген 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;
  аралығындағы  ҥзіліссіздігін  зерттегенде 
оның 
 
в
а;
  аралығында  жатқан  барлық  нҥктелердегі  ҥздіксіздігін  зерттеп  шығу 
мҥмкін  емес.  Сондықтан 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;
  аралығындағы  ҥздіксіздігін 
зерттеу ҥшін х нҥктесін 
 
в
а;
 аралығының кез келген нҥктесі деп, оған  
х

 ӛсімше 
береміз де, осы ӛсімшеге сәйкес функцияның ӛсімшесін тауып, одан 
х

-ты нӛлге 
ҧмтылдырып шек табамыз. Егер осы шек нӛлге тең болса, онда 
 
x
f
  функциясы 
 
в
а;
  аралығының  кез  келген  нҥктесінде,  яғни 
 
в
а;
  аралығында  ҥздіксіз  функция 
болады. 
Функцияның  берілген 
0
х
  нҥктесіндегі  ҥзіліссіздігінің  анықтамаларының 
мағынасы  болу  ҥшін  ол  функция  сол 
0
х
  нҥктесінің  қандайда  болмасын  бір 
маңайында  және 
0
х
  нҥктесінде  анықталуы  керек.  Сонымен  бірге 
 
x
f
 
функциясының шегі 
 
0
x
f
  аргумент  х-тың 
0
х
  нҥктесіне  қалай  ҧмтылатындығына 
тәуелді болмауы керек. Бірақ бҧл шарт барлық функциялар ҥшін бірдей орындала 
бермейтіндігі  шектер  теориясында  айтылды.  Олай  болса,  функцияның  нҥктедегі 
бір жақты шектерінің ҧғымдарына байланысты оның берілген нҥктедегі бір жақты 
ҥзіліссіздігі ҧғымын енгізуге болады. 
Анықтама. Егер 
 
x
f
 функциясының 
0
х
 нҥктесіндегі сол жақ шегі оның сол 
нҥктедегі  мәніне  тең  болса,  яғни 
 
 
0
0
0
lim
x
f
x
f
x
x



  теңдігі  орындалса, 
 
x
f
 
функциясын 
0
х
 нҥктесінде сол жағынан ҥзіліссіз деп атайды. 
Анықтама.  Егер 
 
x
f
  функциясының 
0
х
  нҥктесіндегі  оң  жақ  шегі  оның  сол  
нҥктедегі  мәніне  тең  болса,  яғни 
 
 
0
0
0
lim
x
f
x
f
x
x



  теңдігі  орындалса,  онда 
 
x
f
 
функциясын 
0
х
 нҥктесінде оң жағынан ҥзіліссіз деп атайды. 
Осы  анықтамалардан 
 
x
f
  функциясының  нҥктедегі  ҥзіліссіздігінің  қажетті 
және жеткілікті шарты шығады. 
Теорема
 
x
f
у

  функциясы 
0
х
  нҥктесінде  ҥзіліссіз  болуы  ҥшін  оның  осы 
нҥктеде  сол  жағынанда,  оң  жағынанда  ҥзіліссіз  болуы  қажет  және  жеткілікті. 
Яғни 




 
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f




 болса, 
 
x
f
 функциясы 
0
х
 нҥктесінде ҥзіліссіз. 
Анықтама.  Егер 
 
x
f
у

  функциясы 
 
в
а;
  аралығында  ҥзіліссіз  және 
а
 
нҥктесінде  оң  жағынан, 
в
  нҥктесінде  сол  жағынан  ҥзіліссіз  болса,  онда  ол 
 
в
а;
 
кесіндісінде ҥзіліссіз функция деп аталады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
у

  функциясы 
 
в
а;
  сегментінде  ҥзіліссіз  монотонды 
ӛспелі  немесе  монотонды  кемімелі  болса,  онда 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;

74 
 
сегментінде  қабылдайтын  барлық  мәндері  ӛзінің  қҧрамына  кіретін 
 
d
c;
 
сегментінде анықталған оған кері 
 
x
y


 функциясы да ҥзіліссіз болады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
z

  функциясы 
0
y
y

  нҥктесінде,  ал 
 
x
y


0
х
х

 
нҥктесінде  ҥзіліссіз  және 
 
0
0
у
x


  болса,  онда 
 


х
f
z


  кҥрделі  функциясы 
0
х
х

 нҥктесінде ҥзіліссіз функция болады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
  функциясы 
0
х
  нҥктесінде  ҥзіліссіз  болса,  онда  ол  осы 
нҥктенің қандайда бір 
 
0
x
U

 маңайында да ҥзіліссіз функция болады. 
Теорема. Егер 
 
x
f
  және 
 
x

  функциялары 
0
х
х

  нҥктесінде  ҥзіліссіз болса, 
онда  осы  функциялардың  алгебралық  қосындысы,  кӛбейтіндісі  және  қатынасы 
(бӛліміндегі  функция 
0
х
  нҥктесінде  нӛлге  тең  болмаса)  да  осы 
0
х
  нҥктесінде 
ҥзіліссіз болады. 
Енді бірнеше мысалдар қарастырайық. 
1-мысал. 
 
3
х
x
f

 функциясының аргументі кез келген х мәнінен 
х
х


 мәніне 
ауысқандағы ӛсімшесін табу керек. 
Шешуі: 

  
x
f
x
x
f
у





.  Ал 

 







3
x
x
x
x
f
 
3
2
2
3
3
3
x
x
x
x
x
x







. Сонда 

  






x
f
x
x
f
у
 
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















2-мысал. 
 
x
x
f
sin

  функциясының  аргументі  х-тан 
х
х


-қа  ауысқандағы 
ӛсімшесін табу керек. 
Шешуі: 
 

  












x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
sin
sin
 
2
2
2
2
2
2
x
sin
x
x
cos
x
x
x
sin
x
x
x
cos










 







3-мысал. 
 
2
6
5
2




x
x
x
f
y
  функциясының  кез  келген  х  нҥктесінде  ҥзіліссіз 
екенін дәлелдеу керек. 
Шешуі: Егер х -ке 
х

 ӛсімшесін берсек, берілген  
 
x
f
 функ-циясының жаңа 
нҥктедегі мәні, яғни 

 







2
5
x
x
x
x
f
 




2
2
2
2
5
2
6
10
6
5
2
6
6
5
10
5
2
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x





















тең 
болады. 
Сонда 
функцияның ӛсімшесі 
 

  








x
f
x
x
f
x
f
у
 




2
2
2
2
5
10
6
5
2
6
10
6
5
2
6
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


















Бҧдан 




0
5
10
6
2
0
0







x
x
x
lim
y
lim
x
x





, яғни зерттеліп отырған 
 
x
f
  функциясы 
барлық сан ӛсінде ҥзіліссіз. 
4-мысал. 
x
y
cos

  функциясының  кез  келген  х  нҥктесінде  ҥзіліссіз  екенін 
дәлелдеу керек. 
Шешуі:  Егер  х  –қа 
х

  ӛсімшесін  берсек,  функцияның  ӛсімшесі 


2
sin
2
sin
2
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
у














Бҧдан 
0
2
sin
2
sin
lim
2
lim
0















x
x
x
y
x
,  яғни 
x
y
cos

  функциясы  кез  келген 
нҥктесінде ҥзіліссіз. 
Енді  функциялардың  ҥздіксіздігін  пайдаланып  мына  маңызы  зор  шектерді 
дәлелдейік: 

75 
 


e
a
a
log
1
log
lim
0






  
 
(4.17.2) 
a
a
ln
1
lim
0






  
 
(4.17.3) 











1
1
lim
0
 
(

 - кез келген нақты сан)(4.17.4) 
Мына 












1
1
log
1
log
1
1
log





a
a
a
    теңбе-теңдіктің  оң  жағындағы 
логарифм  таңбасы  астындағы  тҧрған  ӛрнек 

  нӛльге  ҧмтылғанда 
e
  санына 
ҧмтылады, олай болса логарифмдік функцияның ҥзіліссіздігі бойынша бҧл ӛрнек 
e
a
log
-ге ҧмтылады, яғни  






e
a
a
a
a
log
1
lim
log
1
log
lim
1
log
lim
1
0
1
0
0



























Бҧдан дербес жағдайда 


1
1
ln
lim
0







Енді  (4.17.3)  формуланы  дәлелдеу  ҥшін 




1
a
  десек,  онда  кӛрсеткіштік 
функцияның 
ҥздіксіздігінен 
0


 
да, 

-да 
0-ге 
ҧмтылады 
және 










1
log
,
1
a
a
.  
Ендеше  
 



1
lim
0


a


a
e
a
a
ln
log
1
1
log
lim
0









Ал дербес жағдайда  
1
1
lim
0






e

Соңында  (4.11.4)  формуланы  дәлелдеу  ҥшін 








1
1
  десек,  онда 
дәрежелік  функцияның  ҥздіксіздігінен 
0


  да 
0


.  Енді 


1
1






 
теңдігінің екі жағын да логарифмдесек, 




1
ln
1
ln






. Сонда берілген ӛрнекті 
былай тҥрлендіруге болады:  
























1
ln
1
ln
1
1

Сонда  




























1
ln
lim
1
ln
lim
1
1
lim
0
0
0

4.18. Функцияның нҥктеде ҥзілуі және оның тҥрлері 
Егер 
0
х
 нҥктесі 
 
x
f
 функциясының анықталу жиынында жатып, сол нҥктеде 
 
x
f
 ҥзіліссіз болмаса, онда 
0
х
 нҥктесі 
 
x
f
 функциясының ҥзіліс нҥктесі немесе 
 
x
f
 осы 
0
х
 нҥктесінде ҥзіледі дейді. 
Біз бҧл жерде 
0
х
 нҥктесі 
)
(x
f
 функциясының ҥзіліс немесе ҥзіліссіздік нҥктесі 
болуы ҥшін 
)
(x
f
 сол нҥктеде анықталған функция екенін ҧмытпауымыз керек. 
Соныменен 
0
х
  нҥктесінде 
)
(x
f
  функциясының  шегі  (ақырлы  да,  ақырсыз да) 
болмаса, 
0
х
 нҥктесі осы функцияның ҥзіліс нҥктесі болады. 

76 
 
Егер 
)
(x
f
  функциясының 
0
х
  нҥктесінде  сол  және  оң  жақ  нақты  шектері  бар 
болып, олар ӛзара тең болмаса, онда 
)
(x
f
 функциясын 
0
х
 нҥктесінде жай немесе 
бірінші тҥрдегі ҥзілісті деп атайды. Ал 
0
х
 нҥктесін бірінші тҥрдегі ҥзіліс нҥктесі 
дейді. 
Егер 
)
(x
f
 функциясы 
0
х
 нҥктесінде ҥзілісті болып, бірақ бірінші тҥрдегі ҥзіліс 
болмаса,  яғни 
0
х
  нҥктесінде 
)
(x
f
  функциясының  кем  дегенде  біржақты, 
шектерінің  біреуінің  нақты  мәні  болмаса,  онда 
)
(x
f
  функциясын 
0
х
  нҥктесінде 
кҥрделі немесе екінші тҥрдегі ҥзілісті деп атап, 
0
х
  нҥктесін  екінші  тҥрдегі ҥзіліс 
нҥктесі дейді. 
Егер 
0
х
  нҥктесінде 
)
(x
f
  функциясы  ҥшін 




 
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f




  теңсіздігі 
орындалса, онда 
0
х
 нҥктесі жӛнделетін ҥзіліс нҥктесі деп аталады. 
Каталог: books
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді Жайлыбай F. Таңдамалы. Астана: Фолиант, 2014
books -> Орынбасар Дөңқабақ ДӘуір дүЛДҮлдері
books -> Бағдарламасы бойынша шығарылды Редакция алқасы: С. Абдрахманов, Н. Асқарбекова, Р. Асылбекқызы
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді
books -> Ұлы дала тұЛҒалары қҰдайберген
books -> Редакция ал қ
books -> Ббк 84 Қаз-7 82 Қазақстан Республикасының Мәдениет және ақпарат министрлігі Ақпарат және мұрағат комитеті «Әдебиеттің әлеуметтік маңызды түрлерін басып шығару»
books -> Анықтамалық Е. Тілешов, Д.Қамзабекұлы Алматы, 2014 «Сардар» Баспа үйі

жүктеу 5.83 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   26




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет