Алматыэкономикажәне статистикаакадемиясы пәннің ОҚу- әдістемелік кешені «Математикалық анализ»


 Қатарлардың абсолют және шартты жинақталуы



жүктеу 5.83 Kb.
Pdf просмотр
бет20/26
Дата04.05.2017
өлшемі5.83 Kb.
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   26

11.5. Қатарлардың абсолют және шартты жинақталуы 
Біз  осыған  дейін  мҥшелері  оң  қатарлар  мен  ауыспалы  таңбалы  қатарларды 
қарастырдық. Ал енді  бҧлардан ӛзгеше тҥрдегі, яғни қҧрамында ақырсыз кӛп оң 
және  ақырсыз  кӛп  теріс  таңбалы  мҥшелері  бар  және  олар  кез  келген  тҥрде 
орналасқан қатарларды қарастырамыз. Ондай қатарлар жалпы алғанда мына 
          (11.5.1) 
тҥрде жазылады. 
Анықтама. Мҥшелері кез келген сандар болатын қатардың мҥшелерінің 
абсолют шамаларынан қҧралған 
 
(11.5.2) 
қатар (11.5.2) жинақталса, онда (11.5.1) қатар абсолют жинақталатын қатар деп 
аталады. Ал егер (11.5.2) қатар жинақталмаса, онда (11.5.1) қатар абсолют емес, 
немесе шартты жинақталатын деп аталады. 
...
...
1
3
2
1






n
n
a
a
a
a
a
0
lim



n
n
a

 



n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
S
2
1
2
4
3
2
1
2
1
2
2
1
2
...
...














n
n
S
2




n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
S
2
1
2
2
2
5
4
3
2
1
2
...
)
(











n
S
2
0
1

a
S
S
n
n



2
lim
n
n
n
a
S
S
2
1
2
2



n
n
n
a
S
S
2
2
1
2





S
a
S
a
S
S
n
n
n
n
n
n
n
n
n














2
2
2
2
1
2
lim
lim
lim
lim
S
S
S
n
n
n
n







1
2
2
lim
lim









1
3
2
1
...
...
n
n
n
U
U
U
U
U









1
3
2
1
...
...
n
n
n
U
U
U
U
U

138 
 
Теорема. Мҥшелері кез келген сандар болатын (11.5.1) қатар абсолют 
жинақталса, ол жай да жинақталады. 
Бірақ, мҥшелері кез келген сандар болатын қатар ҥшін кері бекітім барлық 
жағдайда дҧрыс бола бермейді, яғни (11.5.1) қатардың жинақты болуынан оның 
абсолют жинақталуы шықпайды 
Енді мҥшелері оң қатарлардың жинақтылығы жӛніндегі белгілерге ҧқсас 
және мҥшелері кез келген сан болатын қатарлардың жинақтылығын анықтауға 
қолданылатын жеткілікті белгілерге тоқталайық. 
1-теорема. Мҥшелері оң жинақталатын қатар 
 (11.5.3) мен мҥшелері 
кез келген сан болатын 
 (11.5.4) қатар берілсін. Егер қатарлардың барлық 
мҥшелері ҥшін 
 шарты орындалса, онда (11.5.4) қатар 
абсолют жинақталады. 
2-теорема. Егер (11.5.4) қатар ҥшін шек 
 бар болса, онда 
 
болғанда (11.5.4) қатар абсолют жинақталады да, ал 
 болғанда қатар 
жинақталмайды. 
3-теорема. Егер (11.5.4) қатар ҥшін шек 
 бар болса, онда 
 
болғанда қатар абсолют жинақталады, ал 
 болғанда қатар жинақталмайды. 
Сҧрақтар 
1.Сан қатары. Дербес қосындысы. Қатар жинақылығы. 
2.Жинақталатын қатардың негізгі қасиеттері. 
3. Мҥшелері теріс емес сан қатарларының жинақылығының жеткілікті 
шарттары(Даламбер Кошидің радикалдық және интегралдың белгілері). 



1
n
n
a



1
n
n
U


...
,
2
,
1
,


n
a
U
n
n
p
U
U
n
n
n




1
lim
1

p
1

p
k
U
n
n

lim
1

k
1

k

139 
 
4.Кошидің интегралдық белгісі. 
5. Қатардың салыстыру белгілері. 
6. Мҥшелерінің таңбасы кезекпен ӛзгеретін қатарлар. Лейбниц белгісі. 
Әдебиеттер [2], [3], [15] 
12-13 дәрістер 
Функциялық қатарлар. 
1. Функциялық тізбектер және қатарлар. 
2. Функциялық тізбектер және қатарлардың нҥктедегі жинақылығы. 
3. Функциялық қатардың жиындағы жинақылығы 
         4.Функциялық қатарлар. Жинақылық облысы. 
5.Дәрежелік қатарлар. Абель теоремасы. Дәрежелік қатардың жинақылық 
радиусы, жинақылық аралығы. 
6. Дәрежелік қатарды мҥшелеп дифференциалау және мҥшелеп интегралдау 
туралы теорема. 
7. Тейлор(Маклорен) қатары. 
8. Басты элементар фукциялардың Маклорен қатарына жіктелуі. 
 
 
Функциялық қатарлар ұғымы. Бірқалыпты жинақталу 
Мҥшелері тәуелсіз айнымалының функциялары болып келетін қатарлар 
функциялық қатарлар деп аталады. Оларды жалпы тҥрде былай жазуға болады: 
      (11.6.1) 
Егер 
 мәнін алып, оны (11.6.1) функциялық қатардағы тәуелсіз 
айнымалы  - тің орнына апарып қойсақ, функциялық қатар мынадай 
 
      (11.6.2) 
 
 
 
 
 
x
U
x
U
x
U
x
U
x
U
n
n
n









1
3
2
1
...
...
0
x
x

х
 
 
 
 
0
1
0
0
2
0
1
...
...
x
U
x
U
x
U
x
U
n
n
n









140 
 
сан қатарына айналады. Сонда (11.6.2) қатар жинақталса, онда   нҥктесі 
(11.6.1) қатардың жинақталу нҥктесі деп аталады. 
Функциялық қатар жинақталатын 
-нҥктелерінің жиыны М, сол 
қатардың жинақталу облысы деп аталады. 
Бізге (11.6.1) функциялық қатар беріліп, М жиынының кейбір облысында 
айнымалы  - тің функциясы болатын дербес қосынды 
 
 функциясына жинақталса, яғни 
 бар болса, онда (11.6.1) 
қатар бҧл облыста жинақталатын қатар деп, ал функция 
 оның қосындысы 
деп аталады. 
1-мысал. Мына функциялар тізбегінің 
 аралығындағы шектік 
функциясын табу керек 
 
Кез келген 
 ҥшін: 

Сондықтан берілген тізбектің 
 аралығындағы шектік функциясы нӛлге 
тең, яғни 

2-мысал. Функциялық қатар
 аралығында 
жинақтала ма? 
Шешуі. Дербес қосындылар тізбегінің жалпы мҥшесі 
0
х
М
х


х
 
 
 
  

,...
2
,
1
,
...
2
1





n
x
U
x
U
x
U
x
S
n
n
 
x
S
 
 
x
S
x
S
n
n



lim
 
x
S
 
1
;
0
...
,
1
...
,
3
1
,
2
1
,
1
1
n
x
x
x
x




 
1
;
0


х
0
1
lim




n
x
n
 
1
;
0
 
1
0
,
0



x
x
S
  

 
...
1
1
...
2
1
1
1
1










n
x
n
x
x
x
x
 
1
;
0

141 
 

Олай болса 
. Сондықтан берілген қатар 
 аралығында 
жинақталады және оның қосындысы нольге тең. 
11.7. Функциялық қатарларды интегралдау және дифференциалдау 
Теорема. Берілген 
   (11.7.1) 
қатардың әрбір мҥшесі 
 кесіндісінде ҥзіліссіз және осы аралықта қатар 
 функциясына бір қалыпты жинақталса, онда оны мҥшелеп интегралдауға 
болады және мына теңдік орындалады: 
  (11.7.2) 
Теорема. Егер функциялық қатар 
 
 
 (11.7.3) 
мына шарттарды қанағаттандырса: 
1)
 
М жиынында 
 функциясына жинақталса; 
2)
 
туындылары 
 
М  жиынында  ҥзіліссіз 
функциялар болса; 
3)
 
қатар 
  М  жиынында  бір  қалыпты  жинақталса,  онда  ол 
қатарды 
мҥшелеп 
дифференциалдауға 
болады 
және 
 теңдігі орындалады. 
 
n
x
n
x
n
x
x
x
x
x
S
n


























1
1
1
1
...
2
1
1
1
1
1
 
 
1
;
0
,
0
lim





x
x
S
n
n
 
1
;
0
 
 
 
 








1
2
1
...
...
n
n
n
x
U
x
U
x
U
x
U
 
в
а
М
;

 
x
S
 
 
 

 













в
а
в
a
n
n
n
в
a
n
dx
x
S
dx
x
U
dx
x
U
1
1
 
 
 
...
...
2
1




x
U
x
U
x
U
n
 
x
S
   
 
...
,
...,
,
,
2
1
x
U
x
U
x
U
n



 




1
n
n
x
U
 
 
 
 
...
...
2
1









x
U
x
U
x
U
x
S
n

142 
 
 
 
 
Дәрежелік қатарлар. 
 
Анықтама'>Дәрежелік қатарлар 
Анықтама. Сан тізбегі 
 беріліп және х тәуелсіз айнымалы 
болса, онда 
 (11.8.1) 
немесе 
    (11.8.2) 
тҥріндегі функциялық қатар дәрежелік қатар деп аталады. 
Дәрежелік қатарлардың мҥшелері барлық сан осінде ҥзіліссіз және 
дифференциалданатын функция екені ӛзінен ӛзі тҥсінікті. Сонымен бірге 
 
(немесе 
) болғанда дәрежелік қатар 
-ге тең болатындықтан, кез келген 
дәрежелік қатардың ең болмағанда бір жинақтылық нҥктесі бар екені де ӛзінен 
ӛзі тҥсінікті. 
Абель теоремасы. Егер (11.8.1) дәрежелік қатар 
 нҥктесінде 
жинақталса, онда ол қатар айнымалы  -тің 
 (11.8.3) шартын 
қанағаттандыратын барлық мәндерінде абсолют жинақталады. Ал егер ол 
,...
,...,
,
,
2
1
0
n
C
C
C
С









0
2
2
1
0
...
...
n
n
n
n
n
x
C
x
C
x
C
x
C
С
...
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
0








n
n
a
x
C
a
x
C
a
x
C
С
0

x
a
x

0
C
0
0


x
x
х
0
x
х


143 
 
 нҥктесінде жинақталмаса, онда ол қатар айнымалы  -тің 
 
(11.8.4) шартын қанағаттандыратын мәндерінде де жинақталмайды. 
Теорема. Кез келген 
 жинақтылық нҥктесі бар дәрежелік қатарлар 
ҥшін айнымалы  -тің 
 теңсіздігін қанағаттандыратын мәндерінде қатар 
абсолют жинақталатын, ал 
 теңсіздігін қанағаттандыратын мәндерінде 
қатар жинақсыз болатын 
 оң саны әрқашанда бар. 
Бҧл   санын қатардың жинақталу (жинақтылық) радиусы деп, ал 
 
аралығын қатардың жинақтылық интервалы деп атайды. 
Ескерту. 
 болған жағдайларда 
 интервалдарының шеткі 
нҥктелерінде қатар жинақты (абсолют немесе жәй) да, жинақталмайтын да 
болуы мҥмкін. Дәрежелік қатарлардың жинақтылық радиусын табу ҥшін 
Даламбер немесе Коши белгілерін қолдануға болады. 
Элементар функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.   
Егер  функция    бір  аралықта  дәрежелік  қатардың  қосындысы  болса,  онда 
функция осы аралықта дәрежелік қатарға жіктелген деп айтады. 
Теорема.  Егер  функция  қандайда  бір  аралықта 
-тің  дәрежесі  бойынша 
дәрежелік қатарға жіктелсе, ол жіктеліс біреу ғана болады. 
Дәлелдеу. Айталық 
 аралығында мынадай теңдік орындалсын: 
     (11.9.1) 
осы теңдікке 
-ді апарып қойсақ 
 
Енді (11.9.1) теңдікті мүшелеп дифференциалдайық 
    (11.9.2) 
осы теңдікке 
 -ді қойсақ 
 
0
1


x
x
х
1
x
х

0
0


x
x
x
R
х

R
х

0

R
R


R
R;




R
R
,
0


R
R;

x


R
R;

 










0
2
2
1
0
...
...
n
n
n
n
n
x
C
x
C
x
C
x
C
C
x
f
0

x
 
0
0
f
C

 
...
...
3
2
1
2
3
2
1








n
n
x
nC
x
C
x
C
C
x
f
0

x
 
 
!
1
0
0
1
f
f
C





144 
 
Енді (11.9.2) теңдікті мүшелеп дифференциалдасақ 
 
  
        (11.9.3) 
осы теңдікке 
 -ді қойсақ 
 
Осылай қатарды дифференциалдай беріп, коэффициенттерді таба берсек 
   
 
        (11.9.4) 
Бҧдан  біз  егер  (11.9.1)  теңдік  орындалса,  олардың  коэф-фициенттері 
 
функциясы  мен  оның  туындылары  арқылы  (11.9.4)  формула  бойынша 
табылатынын, яғни жіктелістің біреу ғана болатынын дәлелдедік. 
Анықтама. Коэффициенттері (11.9.4) формула арқылы табылатын дәрежелік 
қатар (11.9.1) 
 функциясының Тейлор қатары деп аталады. 
Теорема.  Кейбір  аралықта 
  функциясы  (11.9.1)  Тейлор  қатарының 
қосындысы  болу  ҥшін 
  -да,  ол  қатардың 
  қалдығы  нольге  ҧмтылуы 
қажет және жеткілікті. 
Дәлелдеу.  Қатардың  қосындысы 
  функциясына  тең  болсын,  яғни, 

Қатардың дербес қосындысы 

Сонда қатардың жинақталуынан 

Сондықтан 

Енді 
 -да 
 болсын, яғни 

Бҧдан 

Демек (11.9.1) қатар ӛзінің қосындысы 
 функциясына жинақталады. 
Теорема. 
Егер 
 
функциясы 
 
аралығында 
шексіз 
дифференциалданса  және  осы  аралықта 
 
теңсіздігі 
орындалса,  онда  осы  аралықта 
  функциясының  Тейлор  қатары 
 
функциясына жинақталады. 
 
...
3
2
1
2
3
2






x
C
C
x
f
0

x
 
 
!
2
0
2
0
2
f
f
C




 
 


...
,
2
,
1
,
0
!
0


n
n
f
C
n
n
 
x
f
 
x
f
 
x
f


n
 
x
R
n
 
x
f
 
 
 
 
 
 
 
x
R
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
n
n
n








!
0
...
!
2
0
!
1
0
0
2
 
 
 
 
 
 
n
n
n
x
n
f
x
f
x
f
f
x
S
!
0
...
!
2
0
!
1
0
0
2







 
 
x
f
x
S
n
n



lim
 
 
 


 
 
0
lim
lim
lim











x
S
x
f
x
S
x
f
x
R
n
n
n
n
n
n


n
 
0

x
R
n
 
 
 


0
lim
lim







x
S
x
f
x
R
n
n
n
n
 
 
x
S
x
f
n
n



lim
 
x
f
 
x
f


h
h;

 
 


...
,
2
,
1
n
M
x
f
n


 
x
f
 
x
f

145 
 
Енді  осы  айтылғандарды  пайдаланып,  кӛрсеткіштік,  тригонометриялық, 
логарифмдік  және  дәрежелік  функциялардың  мынадай  Тейлор  қатарына 
жіктелу формулаларын қорытып шығаруға болады: 
 
(11.9.5) 
(11.9.6) 
(11.9.7) 
(11.9.8) 
(11.9.9) 
Біз  кӛптеген  мысалдарды  шығарғанда  дәрежелік  қатар  функциялық 
қатарлардың  дербес  тҥрі  екенін  еске  алып  оларға  функциялық  қатарлар  ҥшін 
келтірілген теоремаларды пайдаландық (п.11.3.). 
Енді сӛз соңында сол теоремаларды келтірейік. 
Каталог: books
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді Жайлыбай F. Таңдамалы. Астана: Фолиант, 2014
books -> Орынбасар Дөңқабақ ДӘуір дүЛДҮлдері
books -> Бағдарламасы бойынша шығарылды Редакция алқасы: С. Абдрахманов, Н. Асқарбекова, Р. Асылбекқызы
books -> Бағдарламасы бойынша жарық көрді
books -> Ұлы дала тұЛҒалары қҰдайберген
books -> Редакция ал қ
books -> Ббк 84 Қаз-7 82 Қазақстан Республикасының Мәдениет және ақпарат министрлігі Ақпарат және мұрағат комитеті «Әдебиеттің әлеуметтік маңызды түрлерін басып шығару»
books -> Анықтамалық Е. Тілешов, Д.Қамзабекұлы Алматы, 2014 «Сардар» Баспа үйі

жүктеу 5.83 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   26




©emirb.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет