7 лекция Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері



жүктеу 123.97 Kb.
Дата31.03.2022
өлшемі123.97 Kb.
#18535
түріЛекция
12 дарис

Жабық, параметрлік және күрделі көрсеткіштіік функцияның туындысы.
теңдеуімен анықталатын жабық функцияның туындысын табу үшін мынаны қолданамыз:

Мысалы: жабық функциясының туындысын тап.


7 лекция
Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері.
1. Функцияның дифференциалы, оны жуықтап есептеуде қолдану.
функциясы х нүктесінде дифференциалданады, егер оның өсімшесін келесі түрде беруге болса:
(1)
- шексіз аз,
Т. Функция дифференциалданады, егер оның туындысы (2) болса.
Т. Егер функциясы х нүктесінде дифференциалданса, ол нүктеде үзіліссіз.
Ал х нүктесінде үзіліссіз функция дифференциалдануы да, дифференциалданбауы да мүмкін, яғни теорема шартына кері тұжырым әр уақытта орындалмайды.
Анықтама: функциясының дифференциалы – -ке қарағанда сызықты функция.

  1. формуласынан -ті арқылы белгілеп, (2) ескерсек, дифференциал мынаған тең:

(3)
болсын, онда аргументтің дифференциалы.
Онда (3) формуласы мына түрге келеді.
(4)
Жуықтап есептеуде қолдану.

2.Дифференциалдық есептеудің қолданылуы.
Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары.
Ферма теоремасы: функциясы АВ аралығында анықталған болсын және нүктесінде аралығындағы ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылтасын.
Егер нүктесінде туындысы бар болса, ол нөлгетең.
Ролль теоремасы:
функциясы : 1. сегментінде үзіліссіз;
2. аралығының әр нүктесінде туындысы бар;
3. интервалдың шекараларында мәні
Онда аралығынан нүктесі табылып, болады.
Лагранж теоремасы: функциясының аралығының әр нүктесінде туындысы бар болса, аралығынан нүктесі табылып,
Геометриялық түрде - нүктелері арқылы жүргізілген хорданың бұрыштық коэффициенті.
Коши теоремасы: және функциялары
1. аралығында үзіліссіз;
2. аралықтың әр нүктесінде туындысы бар;
3. аралықтың әр нүктесінде функциясының туындысы нөлге тең емес.
Онда аралығынан нүктесі табылып, ол келесі қанағаттандырады:
3.Туынды және жоғарғы ретті дифференциалдар
болсын. Егер болса, онда функциясының екінші туындысы деп аталады және былай белгіленеді:. Яғни,
немесе
Анықтама функциясының -ші ретті туындысы деп ()-ші ретті туындыдан алынған туындыны айтамыз, яғни,

болсын. Онда функциясының екінші ретті дифференциалы деп аталады. Бұдан
.

Анықтама функциясының -ші ретті дифференциалы деп ()-ші ретті дифференциалды тағы бір рет дифференциалдауды айтамыз және
(6)
(6)-дан
(7)
шығады. (6) және (7) теңдіктер айнымалысы тәуелсіз айнымалы болған жағдайда ғана ақиқат.
болсын. Онда .
,
яғни, дифференциалдың формасының инварианттылығы сақталмайды.
Екі функцияның көбейтіндісінің жоғарғы ретті туындысын қарастыралық.
және функциялары – рет дифференциалданатын функциялар болсын, онда Лейбниц формуласы орынды:

; . түріндегі анықталмағандықтарды ашу. Лопиталь ережесі
Бұл ереже түріндегі дифференциалданатын функцияның шектерін туынды көмегімен есептеуге мүмкіндік береді.
Мысал 1.
(8)-ші формуланың сол жағынның шегі табылуы мүмкін, ал оң жағының шегі – табылмайды.
Мысал 2.

- шегі табылмайды.
анықталмағандықтарын ашу
болсын. Онда
а) . Бұл жағдайда .
в) анықталмағандықтары өрнегінен шығады және теңдіктің екі жағын да логарифмдеу арқылы анықталмағандық түріне келтіреміз.
Тейлор формуласы
Теорема Егер функциясының a нүктесінің аймағында үзіліссіз туындысы бар болса, онда кез келген x нүктесі үшін а нүктесінің аймағынан функциясын былай жазуға болатындай:
(4)
нүктесі табылады.
(4) формуласы қалдық мүшесі Лагранж формасы түрінде болатын Тейлор формуласы деп аталады.
Егер a=0 болса, онда (4) формуласын Маклорен формуласы деп атаймыз. Бұл формулаларды функцияның мәнін жуықтап есептеу үшін қолдануға болады.
Мысал 7. функциясын Маклорен формуласы бойынша жікте.
Шешуі.
Бұл шексіз дифференциалданатын функция және

Табылған мәндерді (4)-ке қоя отырып, мына теңдікті аламыз:

жүктеу 123.97 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:




©emirb.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет