Стахов Гипотеза Прокла



жүктеу 0.64 Mb.

бет1/8
Дата08.09.2017
өлшемі0.64 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8

 

Алексей Стахов  



 

Гипотеза Прокла



 новый взгляд на “Начала» Евклида и Математика Гармонии,  

 

Оглавление 



Предисловие 

1. Математика на этапе своего зарождения 

2. «Начала» Евклида 

3. Гипотеза Прокла 

3.1. Прокл Диадох 

3.2. Космология Платона 

3.3. Числовые характеристики Платоновых тел 

3.4. Анализ гипотезы Прокла в исторической литературе 

3.5. «Космическая чаша» Кеплера как воплощение идей Платона и Евклида 

4. Теория Золотого Сечения: от Евклида и Фибоначчи до Фибоначчи-Ассоциации и 

Института Золотого Сечения  

4.1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении 

4.2. Как Евклид создавал геометрическую теорию Платоновых тел 

4.3. Уникальные математические свойства «Золотой Пропорции» 

4.4. «Божественная пропорция» Луки Пачоли и роль Леонардо да Винчи в ее 

подготовке 

4.5. Золотое Сечение в додекаэдре и икосаэдре 

4.6. Числа Фибоначчи и Люка 

4.7. Формула Кассини 

4.8. Формулы Бине 

4.9. Иоганн Кеплер и Алексей Лосев о «золотом сечении» 

4.10.  Новейшая  история  Золотого  Сечения:  роль  «Славянской  «Золотой» 

Группы 

5. Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и  новый взгляд 



на происхождение математики 

6. Некоторые особенности развития современной математики  

6.1. Математика. Утрата определенности 

6.2. Математика. Разрыв с теоретическим естествознанием 

6.3. Феликс Клейн: роль икосаэдра в развитии математики 

6.4.  Как  «золотое  сечение»  отражено  в  современной  математике  и 

математическом образовании? 

6.5. Почему историки математики проигнорировали гипотезу Прокла? 

6.6. Роль «Золотого Сечения» в современном математическом образовании  

6.7. Математика Гармонии: новые математические результаты 

7. Некоторые тенденции в развитии современной науки 

7.1.  Возврат  к  «проблеме  гармонии»  и  «космическому  религиозному 

чувству» 

7.2.  Платоновы  тела  как  наиболее  совершенные  геометрические  модели 

Природы 


 

7.3.  Возрастание  роли  «Золотого  Сечения»  и  чисел  Фибоначчи  в 



современной науке 

Заключение 

Литература 

 

 



Предисловие 

 

В  настоящее  время  каждый  школьник  знает,  кто  такой  Евклид,  который 

написал  самое  значительное  математическое  сочинение  греческой  эпохи  – 

«Начала» Евклида. 

Это научное произведение создано им в 3 в. до н. э.  и содержит 

основы  античной  математики:  элементарную  геометрию,  теорию  чисел,  алгебру, 

теорию  пропорций  и  отношений,  методы  определения  площадей  и  объемов  и  др. 

Евклид  подвел  в  этом  сочинении  итог  трехсотлетнему  развитию  греческой 

математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики. 

Какую  цель  ставил  Евклид,  создавая  свой  знаменитый  математический 

труд? Оригинальный ответ на этот вопрос дал греческий философ Прокл Диадох  

(412-485),  один  из  наиболее  блестящих  комментаторов  «Начал»  Евклида.  Суть 

гипотезы  Прокла  состоит  в  том,  что 

Евклид  создавал  «Начала»  не  с  целью 

изложения  геометрии  как  таковой,  а  чтобы  дать  полную  систематизированную 

теорию  построения  «идеальных»  фигур,  в  частности  пяти  Платоновых  тел, 

попутно осветив некоторые новейшие достижения греческой математики!  

Главный  вывод  из  гипотезы  Прокла  состоит  в  том,  что  «Элементы» 

Евклида,  величайшее  математическое  произведение  древних  греков,  является 

отражением идеи гармонии Мироздания, которая стояла в центре греческой науки и 

была  связана  с  Платоновыми  телами,  которые  символизировали  Основные 

Элементы  Мироздания  (огонь,  воздух,  земля,  вода  и  эфир).  Таким  образом, 

«гипотеза  Прокла»  позволяет  высказать  предположение,  что  хорошо  известные  в 

античной науке  "Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания» 

и  «Космология  Платона»,  основанная  на  правильных  многогранниках,  были 

отражены  в  величайшем  математическом  сочинении  греческой  математики, 

Началах Евклида. И это было главной целью Евклида! 

Для  построения  полной  теории  Платоновых  тел,  в  частности,  додекаэдра

Евклид  ввел  в  рассмотрение  Теорему  II.11,  в  которой  описал  задачу  о  делении 

отрезка  в  крайнем  и  среднем  отношении,  известную  в  современной  науке  как 

золотое сечение.  

Из гипотезы Прокла логически вытекает, что «Начала» Евклида послужили 

источником  двух  математических  теорий  –  Классической  Математики,  которая 

позаимствовала  в  «Началах»  Евклида  аксиоматический  подход,  теорию  чисел  и 

теорию  иррациональностей,  и  Математики  Гармонии,  которая  позаимствовала  в 

«Началах» Евклида  золотое сечение и Платоновы тела 

Признание  гипотезы  Прокла  приводит  к  выводу,  что  Математика 

Гармонии должна занять достойное место в системе современных математических 

теорий. Математика Гармонии является новым междисциплинарным направлением 

современной  науки,  а  ее  введение  в  современное  математическое  образование  



 

может стать основой  для реформы образования, основанной  на  идеях гармонии и 



золотого сечения      

 

1.

 

Математика на этапе своего зарождения 



 

Когда  возникла  математика?  Какие  практические  проблемы  и  задачи 

стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения? Блестящий ответ на 

этот  вопрос  мы  находим  в  книге  «Математика  в  ее  историческом  развитии», 

написанной  выдающимся    математиком  современности  академиком  Андреем 

Николаевичем Колмогоровым (1903-1987) [1]. Колмогоров пишет: 



 

«Ясное  понимание  самостоятельного  положения  математики  как  особой 

науки,  имеющей  собственный  предмет  и  метод,  стало  возможным  только  после 

накопления  достаточно  большого  фактического  материала  и  возникло  впервые  в 

Древней  Греции  в  6-5  вв.  до  н.э.  Развитие  математики  до  этого  времени 

естественно  отнести  к  периоду  зарождения  математики,  а  к  6-5  вв.  до  н.э

приурочить  начало  периода  элементарной  математики.  В  течение  этих  двух 

первых 

периодов 

математического 

исследования 

имеют 

дело 

почти 

исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятийвозникших еще 

на  очень  ранних  ступенях  исторического  развития  в  связи  с  самыми  простыми 

запросами  хозяйственной  жизни,  сводившимися  к    счету  предметов,  измерению 

количества  продуктов,  площадей  земельных  участков,  определению  размеров 

отдельных 

частей 

архитектурных 

сооружений

измерению 

времени

коммерческим  расчетам  и  т.п.  Первые  шаги  механики  и  физики  (за  исключением 

отдельных  исследований  греческого  ученого  Архимеда  (3  в.  до  н.э.),  требовавших 

уже начатков исчисления бесконечно малыхмогла еще удовлетвориться этим же 

запасом  основных  математических  понятий.  Единственной  наукой,  которая 

задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17-18 

вв.  систематически  предъявляла  математике  свои  особые  и  очень  большие 

требованиябыла астрономияцеликом обусловившаянапримерраннее развитие 

тригонометрииЗапас понятийс которыми имела дело математика до начала 17 

в.,  составляет  и  до  настоящего    времени  основу  «элементарной  математики», 

преподаваемой в начальной и средней школе». 

 

В этой замечательной фразе в концентрированном виде сформулированы и 

выделены  все  основные  проблемы  развития  математики  на  начальном  этапе  ее 

развития:  

1.  Выделено  два  важных  периода  в  развитии  математики  на  этапе  ее  становления 

как самостоятельной науки: этап зарождения математики (догреческий пеиод) и 

этап  элементарной  математики  (от  греческой  математики  6-5  вв.  до  н.э.  и  до 

начала 17 в.). 

2.  Отмечены  две  главные  практические  задачи,  которые  стимулировали  развитие 

математики на этапе ее зарождения. Это – задача счета  и задача измерения 

3.  Отмечена  роль  астрономии  в  развитии  математики  на  этапе  зарождения,  в 

частности,  в  создании  такой  важной  математической  дисциплины  как 

тригонометрия.  

4.  Подчеркнуто, что математика как особая наука, имеющая собственный предмет 

и метод, была создана в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э. 


 

5.  Отмечено,  что  математические  знания,  полученные  в  период  элементарной 



математики  (от  6-5  вв.  до  н.э.  и  до  начала  17  в.)  составляют  основу  школьного 

математического образования.  

 

Как  подчеркивает  выдающийся  украинский  математик  академик  Юрий 



Алексеевич  Митропольский  (1917-2008)  [2],  «словосочетание  «элементарная 

математика»,  которое  часто  используется  в  математике,  носит  некоторый 

уничижительный  характер  в  русском  языке  (что-то  «школьное»,  «элементарное», 

недостойное  внимание  серьезного  ученого).  В  английском  языке  словосочетание 

“elementary  mathematics”  носит  некоторый  другой  смысл.  Тот  смысл,  который  мы 

вкладываем  в  сочинение  Евклида,  когда  мы  говорим  «Элементы»  или  «Начала» 

Евклида.  То  есть  «элементарная  математика»  -  это  совокупность  исходных, 

«начальных»,  «элементарных»  знаний,  на  которых  зиждется  вся  математика. 

Попробуйте изъять из «элементарной математики» такие «элементарные» понятия 

как  натуральные  числа,  иррациональные  числа,  «золотое  сечение»,  теорему 

Пифагораалгоритм Евклидаэлементарные функции и т.д. И что тогда останется 

от математики в целом?» 

 

Возможно,  именно  из-за  такой  уничижительной  трактовки  «элементарной 



математики»  интерес  к  ней  в  современной  математике  невелик.  На  это 

обстоятельство в свое время обратил внимание Николай Иванович Лобачевский 

(1792-1856), который написал: 

Алгебру и Геометрию  постигла одна и та  же участьЗа быстрыми успехами 

вначале  следовали  весьма  медленные  и  оставили  науку  на  такой  ступени,  где 

она еще далека от совершенстваЭто произошло от тогочто  Математики 

все  свое  внимание  обратили  на  высшие  части  Аналитики,  пренебрегая 

началами  и  не  желая  трудиться  над  обрабатыванием  такого  поля,  которое 

они уже раз перешли и оставили за собою. 

 

Цель  настоящей  статьи  состоит  в  том,  чтобы  возвратиться  к  истокам 



математики,  в  частности,  к  «Началам»  Евклида,  и  показать,  что  в  этом 

удивительном  математическом  произведении  хранится  одна  тайна,  раскрытие 

которой  может  привести  к  переосмысливанию  всей  математической  науки  и 

математического образования.         



 

           

2.

 

«Начала» Евклида 

Сведения  о  Евклиде  крайне  скудны.  К  наиболее  достоверным  сведениям  о 

жизни  Евклида  принято  относить  то  немногое,  что  приводится  в  Комментариях 

Прокла  к  первой  книге  «Начал»  Евклида  [3]  (к  Комментариям  Прокла  мы 

возвратимся  ниже).  Прокл  указывает,  что  Евклид  был  старше  Платоновского 

кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», 

потому  что  и  Архимед,  живший  при  Птолемее  Первом,  упоминает  об  Евклиде.  В 

частности,  Архимед  рассказывает,  что  Птолемей  однажды  спросил  Евклида,  есть 

ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что 

нет царского пути к геометрии.   

Кроме нескольких анекдотов, нам известно лишь, что учителями Евклида в 

Афинах  были  ученики  Платона,  а  в  правление  Птолемея  I  (306–283  до  н.э.)  он 



 

преподавал  во  вновь  основанной  школе  в  Александрии.  «Начала»  Евклида 



превзошли сочинения его предшественников в области геометрии и на протяжении 

более двух тысячелетий оставались основным трудом по элементарной математике. 

В 13 частях, или книгах, «Начал» содержится большая часть знаний по геометрии и 

арифметике эпохи Евклида. 

«Начала» 

Евклида  построены  по  дедуктивной 

системе:  сначала  приводятся  определения,  постулаты  и 

аксиомы,  затем  формулировки  теорем  и  их  доказательства. 

Вслед за определением основных геометрических понятий и 

объектов  (например,  точки,  прямой)  Евклид  доказывает 

существование  остальных  объектов  геометрии  (например, 

равностороннего  треугольника)  путём  их  построения, 

которое  выполняется  на  основании  пяти  постулатов.  В 

постулатах 

утверждается 

возможность 

выполнения 

некоторых  элементарных  построений,  например  «что  от 

всякой  точки  до  всякой  точки  (можно)  провести  прямую 

линию»  (1  постулат);  «И  что  от  всякого  центра  и  всяким 

раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое 

место  среди  постулатов  занимает  V  постулат  (аксиома  о 

параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и 

по  одну  сторону  углы,  меньшие  двух  прямых,  то  продолженные  эти  прямые 

неограниченно  встретятся  с  той  стороной,  где  углы  меньше  двух  прямых». 

Относительная  сложность  формулировки  привела  к  стремлению  многих 

математиков  (на  протяжении  почти  2  тыс.  лет)  вывести  его  как  теорему  из  др. 

основных  положений  геометрии.  Попытки  доказать  V  постулат  продолжались 

вплоть до работ НИЛобачевского, построившего первую систему неевклидовой 

геометрии,  в  которой  этот  постулат  не  выполняется.  Открытие  неевклидовой 

геометрии  является  блестящим  примером  того,  как  важно  изучать  историю 

математики для создания новых математических теорий.  

   «Начала» Евклида состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I 

рассматриваются 

основные 

свойства 

треугольников, 

прямоугольников, 

параллелограммов  и  производится  сравнение  их  площадей.  Заканчивается  книга 

знаменитой  Теоремой  Пифагора.  В  книге  II  излагается  так  называемая 

геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, 

сводящихся  к  квадратным  уравнениям.  В  книге  III  рассматриваются  свойства 

круга, его касательных и хорд, в книге IV — правильные многоугольники. В книге 

V  даётся  общая  теория  отношений  величин,  созданная  Евдоксом  Книдским;  её 

можно  рассматривать  как  прообраз  теории  действительных  чисел,  разработанной 

только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о 

подобии  (книга  VI)  и  метода  исчерпывания  (книга  VII),  также  восходящих  к 

Евдоксу.  В  книгах  VII—IX  изложены  начала  теории  чисел,  основанные  на 

алгоритме  нахождения  наибольшего  общего  делителя  (алгоритм  Евклида).  В  эти 

книги  входит  теория  делимости,  включая  теоремы  об  однозначности  разложения 

целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь 

излагается также  учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, 

теории  рациональных  (положительных)  чисел.  В  книге  Х  даётся  классификация 


 

квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые 



правила  их  преобразования.  Результаты  книги  Х  применяются  в  книге  XIII  для 

нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и 

XIII  (вероятно  и  VII)  принадлежит  Теэтету  (начало  4  в.  до  н.  э.).  В  книге  XI 

излагаются  основы  стереометрии.  В  книге  XII  определяются  с  помощью  метода 

исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и 

призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в 

книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных 

многогранников  и  доказывается,  что  иных  правильных  тел  не  существует.  

 

3.

 

Гипотеза Прокла 

Возникает  вопрос:  с  какой  целью  Евклид  написал  свои  «Начала»?  На 

первый  взгляд,  кажется,  что  ответ  на  этот  вопрос  очень  простой:  главная  цель 

Евклида  состояла  в  том,  чтобы  изложить  основные  достижения  греческой 

математики  за  300  лет,  предшествующих  Евклиду,  используя  «аксиоматический 

метод» изложения материала. Действительно, «Начала» Евклида являются главным 

трудом греческой науки, посвященным аксиоматическому построению геометрии и 

математики.  Такой  взгляд  на  «Начала»  наиболее  распространен  в  современной 

математике.  

Однако, кроме «аксиоматической» точки зрения существует и другая точка 

зрения  на  мотивы,  которыми  руководствовался  Евклид  при  написании  «Начал». 

Эта  точка  зрения  высказана  греческим  философом  и  математиком    Проклом 

Диадохом (412-485), одним из наиболее блестящих комментаторов «Начал».  



3.1.  Прокл  Диадох.  Прежде  всего,  несколько  слов  о  Прокле  [4].  Прокл  родился  в 

Византии в семье богатого адвоката из Ликии. Намереваясь пойти по стопам отца, 

подростком  уехал  в  Александрию,  где  учился  сначала  риторике,  затем 

заинтересовался  философией  и  стал  учеником  александрийского  неоплатоника 

Олимпиодора Младшего. Именно у него Прокл начал изучать логические трактаты 

Аристотеля.  В  возрасте  20  лет  Прокл  переезжает  в  Афины,  где  Платоновскую 

Академию  в  то  время  возглавлял  Плутарх  Афинский.  Уже  к  28-летнему  возрасту 

Прокл  написал  одну  из  своих  главнейших  работ,  комментарий  на  платоновского 

«Тимея». Около 450 г. Прокл становится главой Платоновской Академии. 

Время  жизни  Прокла —  закат  древнегреческой  цивилизации.  Языческие 

культы еще отправлялись, но христиане все больше настаивали на их запрете. В это 

время  из  Парфенона  была  изъята  знаменитая  статуя  Афины  работы  Фидия,  что  в 

окружении  Прокла  было  воспринято  как  кощунство.  В  полемике  с  христианами 

Прокл не был пассивной стороной — он написал «Возражения против христиан» в 

18  книгах  (работа  не  сохранилась).  В  какой-то  момент  конфликт  христиан  с 

академиками приобрел такое напряжение, что Прокл был вынужден на год уехать 

из  Афин  в  Лидию.  Во  время  путешествия  по  Азии  Прокл  познакомился  с 

некоторыми восточными учениями, которые синтезировал с собственной системой. 

Религиозная  практика,  молитвы  солнцу,  ритуалы  при  Прокле  стали  в  Академии 

необходимой  составляющей  самого  образовательного  процесса.  В  личной  жизни 

Прокл  придерживался  аскетических  принципов:  не  был  женат,  воздерживался  от 


 

мясной пищи и соблюдал посты согласно указаниям богов, являвшихся ему во сне. 



Умер Прокл в Афинах, в возрасте 73 лет. Был похоронен в Афинах в одном склепе 

со своим учителем Сирианом. 

 Среди математических сочинений Прокла наиболее известным является его 

Комментарий  к  первой  книге  «Начал»  Евклида  [3].  В  этом  Комментарии  он 

выдвигает следующую необычную гипотезу, которую называют гипотезой Прокла

Суть  ее  состоит  в  следующем.  Как  известно,  13-я,  то  есть,  заключительная  книга 

«Начал» посвящена изложению теории пяти правильных многогранников, которые 

играли  главенствующую  роль  в  «Космологии  Платона»  и  в  современной  науке 

известны  под  названием  Платоновых  тел.  Именно  на  это  обстоятельство  и 

обращает  внимание  Прокл.  Как  подчеркивает  Эдуард  Сороко  [5],  по  мнению 

Прокла,  Евклид  «создавал  «Начала»  якобы  не  с  целью  изложения  геометрии 

как  таковой,  а  чтобы  дать  полную  систематизированную  теорию  построения 

пяти  «Платоновых  тел»,  попутно  осветив  некоторые  новейшие  достижения 

математики». 




  1   2   3   4   5   6   7   8


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал