Сборник задач по математическому анализу. М., 2003. Аннотация Понятие предела функции одна из важнейших концепций математического



жүктеу 104 Kb.

бет1/27
Дата31.03.2017
өлшемі104 Kb.
түріСборник задач
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27
6025

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ.  - М.,  1985.
2. Фихтенгольц Г.М.  Основы математического  анализа.  - М., 2002.
3. Демидович Б.П.  Сборник задач и упражнений по математическом}' анализу.  - М., 2005.
4. Кудрявцев Л.Д.  Сборник задач по математическому анализу.  - М.,  2003.
Аннотация  Понятие  предела  функции  одна  из  важнейших  концепций  математического 
аначиза.  Понятие  предела  функции  встречается  при  изложении  таких  тем,  как  непрерывность 
функции,  производная  функции,  определенный  интеграч  и  т.д.  Существуют  различные  методы 
вычисления  пределов  функций.  В  данной  статье рассматривается  метод  вычисления  пределов  с 
использованием  эквивалентных  величин.  Этот  метод  основан  на  замене  бесконечно  малых 
эквивалентными  бесконечно малыми  функциями.  Показаны решения разных  задач,  в  вычислениях 
использованы графики функций.
Ключевые  слова:  предел  функций,  эквивалентность,  первый  и  второй  замечательные 
пределы.
Abstract.  The concept o f the limit offunction is  one o f the most important concepts  o f mathematical 
analysis.  The  concept o f limit o f a function can  be  used  in such  topics  as  the continuity o f function,  the 
derivative  o f function,  the  definite  integral,  etc.  There  are  various  methods  fo r  calculating  limits  o f 
f  unctions.  This  article  describes  a  method fo r   calculating  the  limits  o f  using  equivalent  quantities.  This 
method  is  based  on  the  replacement  o f the  infinitesimal  equivalent  infinitesimal functions.  Graphs  and 
illustrations  accompany  examples  and  exercises.
Keywords: limits o f function,  equivalence, first remarkable limit and second remarkable limit.
8

Хабаршы  ·  Вестник
«Физика-математика гылымдары» сериясы * Серия «Физико-математические науки»,
_______________________________ М2 (50) -2015_______________________________
У Д К  378
А.Е. Абылкасымова, Р. Хамзина 
О ПРОФЕССИОНАЛЬНО-НАПРАВЛЕННОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 
В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация. 
Реализация 
принципа 
профессиональной 
направленности 
в 
обучении 
математике создает предпосычки для осознания студентами нужности математических знаний 
в  целях  успешного  овладения  профессией.  В  статье рассматриваются  возможности  предмета 
математики в формировании профессионально-значимых умений.  В качестве примера предложена 
схема построения графика сложной функции без использования производной для развития умений 
читать  и строить графики,  как важнейшего элемента профессионально-значимых умений.
Ключевые  слова:  принцип  профессиональной  направленности,  профессионально-значимые 
умения,  график функции.
Один  из 
важных  аспектов  обеспечения  взаимосвязи  профессиональной  и 
общеобразовательной  подготовки  в  высшей  школе  является  реализация  принципа 
профессиональной направленности обучения общеобразовательным предметам.  Основным 
общеобразовательным  предметом  для  подготовки  к  профессиональной  деятельности 
будущего 
инженера 
является 
предмет 
математики, 
и 
реализация 
принципа 
профессиональной направленности при их изучении актуальна.
Профессиональная  направленность  общего  образования  осуществляется  путем 
дифференцированного  подхода  к  отбору  содержания  общеобразовательного  предмета, 
диктуемого 
требованиями 
профессиональной 
подготовки, 
и 
интеграцией 
общеобразовательных  и  профессионально  технических  знаний,  при  учете  сохранения 
логической целостности самого  общеобразовательного  курса.  Начальным этапом развития 
интереса  к  профессии  являются  познавательные  потребности,  на  основании  которых 
возникает  необходимость  в  предметной  деятельности,  то  есть  познавательный  интерес 
входит в  структуру профессионального  и является его  важнейшим  компонентом.  Поэтому 
обучение  студентов  надо  строить  таким  образом,  чтобы  в  структуре  познавательной 
деятельности 
студентов 
учитывалась 
структура 
их 
будущей 
профессиональной 
деятельности.
На  основе  профессиональной  направленности  обучения  преподаватель  может 
раскрыть  практическую,  научную,  профессиональную,  эстетическую  и  общественную 
значимость учебного  предмета,  тем  самым  воспитывая  у студентов  стремление  применять 
знания и умения по конкретной профессиональной деятельности  [1].
Чтобы 
вести 
профессионально 
направленное 
преподавание, 
преподавателю 
рекомендуется  при  постановке  целей  занятии  и  процесса  обучения  в  целом,  отборе  и 
структурировании  учебного  материала  предусматривать  формирование  профессионально 
значимых  знаний,  умений  и  раскрывать  сущность  естественнонаучных  явлений,  законов, 
теорий и сопровождение их конкретными примерами их применения, путем увязывания их 
изучения  [1].
Реализация 
принципа  профессиональной  направленности, 
несмотря 
на  его 
достаточное  теоретическое  обоснование,  в  практике  работы  преподавателей  встречает 
большие  трудности,  обусловленные  прежде  всего  недостаточной  разработанностью 
методической стороны вопроса.
9

М АТЕМ АТИКА.  М АТЕМ АТИКАНЫ  ОҚЫ ТУ ӘДІСТЕМ ЕСІ 
М АТЕМ АТИКА.  М ЕТОДИ КА  П РЕПОДАВАНИЯ М АТЕМ АТИКИ
В  обучении  математике  реализация  принципа  профессиональной  направленности 
имеет  целью  формирование  математического  аспекта  готовности  будущего  специалиста  к 
профессиональной  деятельности.  Ведущий  дидактический  принцип  обучения  в  высшей 
школе-принцип 
профессиональной 
направленности, 
предполагает, 
прежде 
всего 
формирование'  в  процессе  обучения  способности  студентов  к  профессиональной 
деятельности.  Такая  способность  определяется  и  сформированностью  соответствующих 
профессионально  значимых  умений.  Занятия  по  математике  при  методически  правильной 
их  организации  могут  способствовать  их  развитию.  Например,  к  профессионально 
значимым  умениям  будущих  инженеров  относятся  конструктивные  умения  и  навыки. 
Важным  элементом  которых  являются  умения  строить  и  читать  графики  функций,  т.е. 
определять  промежутки  монотонности,  экстремальные  значения  и  другие  характеристики 
функций  по  ее  графику.Навыки  работы  с  графиками  позволяют  студентам  осуществлять 
перенос способов решения в другие  предметные области.
Для  студентов технических  вузов  важна  методологическая  связь  получаемых  знаний 
с  их  практическими  приложениями.  В  общетехнических  и  специальных  предметах  есть 
иллюстрации практически всех элементарных функций,например,
-  линейная  функция  рассматривается  при  изучении  прямолинейного  равномерного 
движения, описания изменения длины стержня пружины при нагревании;
- квадратичная функция описывает движение тела, брошенного под углом к горизонту;
-  степенная  функция  используется  для  описания  прогиба  балки,  вольт-амперной 
характеристики электрической дуги;
-  тригонометрические  функции  описывают  гармонические  колебания,  переменный
ток;
-  показательная  функция  используется  при  изучении  изменения  напряжения  на 
конденсаторе;

логарифмическая 
функция 
рассматривается 
при 
определении 
характера 
распределения скоростей при турбулентном движении жидкости  [2].
Опыт  преподавания  математики  в  вузе  показывает,  что  при  изучении  функций,  их 
свойств,  понятий  предела  и  непрерывности  функций  возникают  определенные  трудности, 
связанные  с  попытками  дать  понятиям  строгие  определения  и  доказательством  теорем. 
Поэтому  привлечение  интуитивных,  наглядно-графических  представлений,  отказ  от 
излишней  формализации  при  изучении  рассматриваемых  тем  является  характерной 
методической  особенностью  преподавания  математики  [3].  Речь  идет  о  системном 
применении  во  взаимосвязи  графиков  и  вычислений  при  формировании  математических 
понятий,  выдвижении гипотез, доказательств.
Рассмотрим несколько примеров.
-  Понятие  предела  функции  будет  восприниматься  лучше,  если  ему  предшествует 
рассмотрение  графиков  как  непрерывных,  так  и  разрывных  функций.  Это  позволит 
сформировать  представление  о  пределе  функции  как  о  числе,  которое  с  наперед  заданной 
точностью  может  быть  приближено  значениям  функции.  Численные  эксперименты 
усиливают это представление.  При таком  подходе  к определению  предела,  естественно,  не 
должны  доказываться  на  формально-логическом  языке  его  свойства,  а  также  свойства 
непрерывных  функций.  Доказательства  можно  заменить  разъяснениями  в  пользу 
достоверности этих свойств.
-  Пользуясь  графическим  методом  также  можно  разъяснить,  что  показательная 
функция 
ех
  растет быстрее,  чем степенная 
х
1.
10

Хабаршы ·  Вестник
«Физика-математика гылымдарш  сериям  ·  Серия «Физико-математические науки», 
_______________________________ №2 (50) -2015_______________________________
-  Графическая  интерпретация  решения  системы  линейных  уравнений  с  тремя 
переменными  позволяет  студентам  связывать  множество  решений  системы  с  взаимным 
расположением соответствующих плоскостей в пространстве.
Приведенные  примеры  к  изучению  понятий  находит  продолжение  в  прикладной 
направленности изучения тем.
Развитие  навыков  построения  и  чтения  графиков  является  одной  из  важных  целей 
изучения  темы  «Производная  и  ее  приложения».  Сформированные  ранее  навыки  чтения 
графиков  можно  дополнить  умениями  описывать  изменения  скорости  движения  тела, 
характер зависимости его пути от времени, особенности изменения силы, действующей на 
это  тело  и.т.д.  Таким  образом,  у  студентов  требуется  развить  навыки  построения  эскиза 
графика  производной  по  графику функции  и  наоборот.  Построение  графиков  с  помощью 
производной  является  иллюстрацией  эффективности  методов  дифференциального 
исчисления.  Однако  не  следует  преувеличивать  роль  навыков  в  построении  графика  с 
помощью  производной  в  подготовке  будущих  инженеров.  В  учебной  литературе  по 
общетехническим  и  специальным  дисциплинам,  как  правило,  график  при  аналитическом 
способе  задания  функции  приводится  в  готовом  виде,  либо  служит  способом  задания 
зависимости. Навыки студентов по построению графиков функций с помощью производной 
могут быть использованы для проверки правильности вида готового графика.
В  условиях  нехватки  времени  на  выработку  основных  математических  навыков, 
необходимых  для  профессиональной  подготовки,  можно  меньше  уделять  использованию 
второй  производной  для  построения  графиков,  в  частности  исследованию  функции  на 
выпуклость,  вогнутость.  С  другой  стороны,  студенты  должны  владеть  понятиями 
выпуклости  и  вогнутости,  точек перегиба,  уметь  распознавать  их  на графиках.  Поэтому  в 
преподавании  математики,  особое  внимание  нужно  уделить  выработке  навыков  чтения 
готовых  графиков.  Чтение  графиков  означает  установление  свойств  функций  по  их 
графикам.  Если  график  описывает  изменение  некоторой  величины,  то  его  чтение  дает 
возможность  проанализировать  свойства  этой  величины.  Умение  читать  графики  часто 
требуется  в  прикладных  задачах.  Отсюда  появляется  необходимость  познакомить 
студентов с различными  приемами построения графиков.
Можно предложить такую компактную схему построения графиков сложных функций 
вида 
у -  f ( < p ( x ) )
  без использования производной:
1)  Начертить  графики  внутренней 
φ - φ { χ )
 и  внешней 
у  =
 /
( φ )
 функций  в  системе 
координат 
Χ Ο Υ .
2) Определить промежутки монотонности внутренней функции 
φ -  φ{ χ)  
и отметить их 
на оси 
О Х
 плоскости 
Χ Ο Υ .
3) На каждом промежутке определить границы изменения 
φ  
=  φ ( χ )
 и выбрать те значения 
φ { χ ) ,
которые попадают в область определения 
у  =  / ( φ ) ’,
4) По  графику внешней функции 
у
 = 
/ ( φ { χ ) )
 найти характер изменения функции 
у ;
5) В системе координат 
Χ Ο Υ
начертить график 
у  =   у ( х ) .
Работая  по  этой  схеме,  студенты  постоянно  обращаются  к  графикам  основных 
элементарных функций, учатся по графику следить за изменением функции при изменении 
аргумента  и,  наоборот,  по  заданному  изменению  функции  строить  ее  график.  При  этом 
график воспринимается как отражение движения. Используя эту схему, построения графика 
функции >> = 
f ( < p ( x
)),студенты овладевают также умением  представлять сложную функцию
11

И злож енны е  реком ендации  в  этой  статье  не  реш аю т  полностью   проблемы 
реализации  принципа  проф ессиональной  направленности  в  обучении  математике  в 
технических  вузах.  П редстоит  огром ная  работа  в  этом  направлении  преподавателей^ 
м атематики и их совместной работы  с преподавателями смежны х  дисциплин.
1.  Абылкасымова  А.Е.  Теория  и  методика  обучения  математике.  Учебное  пособие,- 
Алматы: Мектеп,  2014. -  224с.
2. Отарбаев Ж.О., Хамзина Р. Задачи с прикладной направленностью по высшей математике 
для втузов.  Методическое пособие. -Алматы, изд.КазГАСА,  1997.
3.  Данко  П.Е.,  Попов  А.Г.,  Кожевникова  Т.Я.  Высшая  математика  в  упражнениях  и 
задачах.Ч.1.  - Москва:  Высшая школа,  2000.
Аңдатпа.  Кзсіптік бағдарлау  ұстанымын математиканы оқытуда жүзеге  асыру  студенттерге 
математикалык  білімнің  болашақ  мамандығына  қажеттілігін  түсінуге  жэне  оны  игеруге  негіз 
болады. 
Мақалада 
математика 
пэнінің 
болашақ 
инженерлердің 
кәсіби 
біліктілігін 
қалыптастырудағы  мүмкіндіктері  қарастырылған.  Кәсіби  біліктіліктің  маңызды  элементі  болып 
саналатын  графиктерді  салу  және  оқи  білу  біліктілігін  дамыту  үшін  мысал  ретінде  күрделі 
функцияның графигін туындыны қолданбай салудың сүлбасы усынылгап.
Түйін сөздер: кәсіптік багдарлау ұстанымы, кәсіби біліктіліктер, функция графигі.
Abstract.  Realization of the principle of a professional orientation in training in mathematics creates 
prerequisites for awareness of necessity of mathematical knowledge by students for successful mastering a 
profession.  In article possibilities o f a subject  of mathematics  in  formation  of professional  and significant 
abilities are considered.  As an example the scheme of creation of the schedule of difficult function without 
use  of a  derivative  for  development  of abilities  to  read  and  build  schedules  is  offered  as  most  important 
element of professional and significant abilities.
Keywords:  principle  of  a  professional  orientation,  professional  and  significant  abilities,  chart  of 
functions.
1
  3

М АТЕМ АТИКА.  М АТЕМ АТИКАНЫ  ОҚЫ ТУ ӘДІСТЕМ ЕСІ 
М АТЕМ АТИКА. М ЕТОДИКА  ПРЕПОДАВАНИЯ М АТЕМ АТИКИ
УДК 519.21
Н. Аканбай, З.И.  Сулейменова 
О ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОИСХОЖДЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ 
КОМБИНАТОРНЫХ СООТНОШЕНИЙ
(г.Алматы, Казахский национальный университет имени аль-Фараби)
А ннот ация.  Работа  посвящена  доказательству  некоторых  комбинаторных  тождеств  с 
помощью  методов  теории  вероятностей.  Прежде  чем  получить  какое-либо  комбинаторное 
соотношение,  сначача решается соответствующая задача,  сформулированная на вероятностном 
языке.  После,  из  полученных  вероятностных  формул,  как  следствия,  выводятся  нужные 
комбинаторные  тождества.  При решении  конкретных  задач  основное  внимание  будет  уделено 
вероятностной природе рассматриваемой задачи и её приложениям. В качестве основных методов 
решения  задач  можно  отметить  формулу  полной  вероятности,  свойств  математического 
ожидания и дисперсии,  а также свойств вероятности.
Ключевые  слова:  вероятность,  комбинаторные  тождества,  вероятностные  методы, 
случайные величины,  математическое ожидание,  дисперсия.
Хорошо  известно,  что  подсчет  вероятности  случайного  события  в  случае 
конечного 
пространства  элементарных  событий,  по  классическому  определению  вероятности, 
сводится  к  подсчету  числа  элементов 
"правильны м  образом"
 
подобранных  множеств. 
Таким  образом  вычисление 
вероятности  случайного  события  существенным  образом 
опирается на комбинаторные формулы (тождества, соотношения и т.п.).
Предлагаемая  работа  посвящена  получению  некоторых  известных,  а  также  ряда 
новых  комбинаторных  соотношений  вероятностными  методами.  При  этом,  прежде  чем 
получить  какое  либо  комбинаторное  соотношение,  сначала  решается  соответствующая, 
сформулированная  на вероятностном  языке,  задача.  После,  из  полученных  вероятностных 
формул, как следствия, выводятся нужные комбинаторные тождества.
В  данной  работе  мы 
приведем  подробные  доказательства  только  нескольких 
комбинаторных  тождеств.  Отметим,  что  постановки  некоторых  из  нижерассмотренных 
задач и идеи их решения заимствованы из  [1]  и [2].
1

Распределение 
М аксвелла-Больцм ан а 
и 
связанные 
с 
ними 
некоторые 
ком бинат орны е тож дества.
 
Пусть  г  различимые  (скажем,  пронумерованные)  шары 
распределяются (размещаются) по η различимым ячейкам (ящикам) так,  что  каждый шар с 
одинаковой  вероятностью  может  попасть  в  любую  из  η  ячеек.  Если  обозначим  через 
ij
  номер ячейки, в которую попал 
j -
й шар, то соответсвующее данной задаче пространство 
элементарных событий можно описать следующим образом:
Ω  =   (ω  =  
( і ь  і 2, ...,
 tn): 
ij  £
  Ω0}  =   Ω0  X  Ω0  X  ... x Ω0. 
(*   )
Здесь Ω0  =   {1,2,... 
, η }
 -множество (номеров) всех ячеек.
Тогда количество элементов (элементарных событий) Ω равно  |Ω|  =   п г.
Если при случайном размещений г шаров (частиц) по η ящикам (ячейкам) все исходы
ω
  G  Ω  равновероятны,  т.е.  если  Ρ (ω )  =  - -   го  в  статистике  говорят,  что  система  "шары-
ящики"  подчиняется 
распределению   (или ст ат ист ике)  М аксвелла-Больцмана.
Утвреж дение.
 
Через 
А ( г , п
)  обозначим  число  размещении 
г
 
шаров  по 
п
 
ящикам так, 
чтобы  ни  один  ящик  не  оставался  пустым.  Тогда  для  Л (г,п )  верно  рекуррентное 
соотношение
14

1.  В.Феллер.  Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том I.- М.: Наука,  1984 г.- 
752  с.
2. Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы жэне математикалық статистика курсы  I (оқулық)
- Алматы.: Қазақ университеті, 2011  г.  - 291  стр.
Ацдатпа.  Бул  жумыс  ьщпималдыцтар теоршсыныц  әдістерін  пайдачана  отырып,  кейбір 
комбинаторикалык,  теңдіктерді  дәлелдеуге  арнаіған.  Қандай  да  бір  комбинаторикачык 
ңатынасты  а т а с   бурын  алдымен  ъщтималдықтьщ  тілде  түжырьімдалган  есеп  шыгарылады. 
Одан 
соң, 
алынган 
ықтталдыңтыц 
формулачардан, 
салдарлар  ретінде, 
цажетті 
комбинаторикачық тепе-теңдіктер шыгарылады.  Наңты есептерді шешу барысьтда негізгі назар 
қарастырылып  отырган  есептің  ьщтичачдьщтъщ  табигатына  жэне  оның  қолданылымдарына 
аударычады.  Есепті  иіеіиудің  негізгі  тэсілдері  ретінде  толық  ыңтималдьщтар  формуласы, 
математикачьщ  кутім  мен  дисперсияның  цасиеттері,  сонымен  ңатар  ыцтималдьщтың 
қасиеттерін атап кетуге болады.
Түйін  сөздер:  ықтишчдьщ,  комбинаторикалык,  тепе-теңдіктер,  ыцтимачдыцтьщ  әдістер, 
кездейсок иіама, математикачык күтім,  дисперсия.
Abstract.  Work  devoted  to  the  p ro o f o f some  combinatory  identities  by  means  o f methods  o f 
elementary probability theory.  Before receiving any combinatory ratio,  at first the corresponding problem 
formulated in probabilistic language is solved. After,  the necessary combinatory identities,  as a result,  are 
output from  the received probabilistic formulas. At the solution o f specific objectives the main attention will 
be paid to the probabilistic nature o f the considered task and its appendices with quality o f the main methods 
o f the solution o f tasks it is possible to distinguish a formula o f a total probability, properties o f a population 
mean and dispersion,  and also properties o f probability.
Keywords: probability,  combinatory identities, probabilistic methods,  random variables,  expectation 
mean,  variance.
20

Хабаршы · Вестник
«Физика-математика гьтымдары» сериясы ·  Серия «Физико-математические науки», 
_______________________________ №2 (50) -20 1 5 ______________________________
по лемме допускает оценку:
С-'г&.&Сг..


  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал