Сборник задач по математическому анализу. М., 2003. Аннотация Понятие предела функции одна из важнейших концепций математического


бет6/27
Дата22.04.2017
өлшемі
түріСборник задач
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27

М АТЕМ АТИКА.  М АТЕМ АТИ КАН Ы  ОҚЫ ТУ ӘДІСТЕМ ЕСІ 
М АТЕМ АТИКА.  М ЕТО ДИ КА П РЕП О ДАВА НИ Я М АТЕМ АТИКИ
Таким  образом,  в  целях реализации  нашей  проблемы  можно  определить  основную  задачу, 
стоящую  перед  курсами  частных  методик:  подготовки  будущих  учителей  к  планированию, 
подготовке  и  проведению  урока,  где  применяются  математические  модели  экономики  по  своему 
предмету.
1. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. -  М.: Знание,  1983 -  208 с.
2. Рубинштейн С Л . О мышлении и пути его исследования. -  М.: Изд-во АН СССР,  1958 -  316 с.
3. Лернер И.Я.  Проблемное обучение.  - М.:  Знание,  1974 -  174 с.
4.  Подласый И.ГІ. Педагогика -  М.,  1996 -631  с.
5.  Арстанов  М.Ф.  и  др.  Проблемное  обучение  в  учебном  процессе  вуза.  Под.ред.  П.П.
Пидкасистого -  Алма-Ата,  1979 -   168 с.
6.  Арстанов  М.Х.,  Пидкасистый  П.П.,  Хайдаров  Ж.С.  др.  Проблемное  модельное  обучение:
вопросы теории и технологии -  Алма-Ата; Мектеп,  1980 -  239 с.
Лңдатпа:  Буп  мацсшада  бо.пашац  м үгалім дерді  м ат ем ат иканы   оцыт у  үрдісінде 
эконом иканы ц  м ат ем ат икалы ц  м оделдерін  цолдануга  дайы ндауды ц  психологиялыц- 
педагогикалы ц аспект ілері царастырылды.  Орта м ект епт егі оцы т у үрдісінде м үндай білім 
беру  м ат ем ат ика  м ен  эконом иканы ц  байпанысын  т олы цт ай  аш ат ы н  экономиканы ц 
м ат ем ат икалы ц  м оделдерін  цүруга  ж эне  оны  күнделікт і  өм ірдегі  экономикалы ц 
м әселелерді ш еш уге цолдануга окуш ы ларды  уйрет у болы п табылады.
Түйін  сөздер: модель,  м ат ем ат икалы ц модель,  экономикадагы модель.
Abstract:  In  the  article  the  basic  concepts  o f  psychological  a n d  pedagogical  aspects  o f  
preparation o f  fu tu r e  teachers are considered to  the  use o f  m athem atical m odel o f  econom y in the 
school course o f  mathematics.  In the system  o f  fo rm a tio n  o f  high school connection o f  m athem atics 
a n d   econom y  fu lly   opens  up  in  the  pro cess  o f   educating  o f   to  constructing  эконом ико- 
м ат ем ат ических models o f  students a n d  to their m e  in perm ission  o f  econom ic tasks in everyday 
life.
Keywords: model,  mathematical model,  model in an economy.
ӘОЖ 517.926/.927(075.8)
Б.Д. Қ ош анов,  C.E. Джургабаев*
Д Ө Ң Г Е Л Е К Т Е Г ІБ И Г А РМ О Н И Я Л Ы  ТЕҢ ДЕУЛ ЕР Ү Ш ІН  Ш ЕТТІК 
Е С Е П Т Е РД Щ  ГРИ Н  Ф УН КЦ И ЯЛ АРЫ
(Алматы қ., эл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті,  *-магистрант)
Аңдатпа.  Гарм от ш ы   Грин,  Нейман  функцшсы  жзне  нақты  Робин  функциясы 
бигармониялы  Гран  функциясын  қүруОа  цолданылады.  Бүдан  басқа  бигармониялы  Грин 
функциясының гибрндті комбинацшсы  берілген.  9 т \рлі бигар.моншлы  Грин  функциясынан  баска, 
бірлік  дөңгелек  үшін  бигармоният  Грин  функцшсы  н а щ ы   түрде  берілген  жэне  бүл  функцияда 
үйірткісі  н а щ ы   аныцтачмаган,  Бигармотт ы  Грин  функциясына  цатысгпы  иіеттік  есептердіц 
барлыгы пакты емес.
70

Хабаріиы
  ·  
Вестник
«Физика-математика гылымдары» сериясы ·  Серия «Физико-математические науки», 
____________________________ М2 (50) -2015_____________
Түйін 
сөздер: 
Гармониячы, 
Бигармонияш 
Грин 
функциялары, 
факторланган
дифференциачдың операторлар
Гармониялы  Грин,  Нейман функциясы жэне  нақты Робин функциясы бигармониялы 
Грин  функциясын  құруда  қолданылады.  Бұдан  басқа  бигармониялы  Грин  функциясыньщ 
гибридті  комбинациясы  берілген.  Алда  көрсетілетін  функциялар  дербес  гармониялы 
шешімдерінің үйірткісі арқылы құрылады.  Бірлікдөңгелек  жагдайындағы шешімдер айқын 
түрде  көрсетіліп  отыр.  9  түрлі  бигармониялы  Грин  функциясынан басқа,  бірлік дөңгелек 
үшін  бигармониялы  Грин  функциясы  нақты  түрде  берілген  жэне  бүл  функцияда үйірткісі 
нақты анықталмаған.
Бигармониялы  Грин  функциясына  қатысты  шеттік  есептердің  барлыгы  нақты  емес. 
Егер  шеттік  есеп  бар  болса,  онда  қайталанбайтын  жалгыз  шешімі  берілген.  Қалган 
жагдайларда  есеиті  шешу шарты  анықталган жэне жалгыз  шешімі  табылган.  Біртекті  емес 
бигармониялы  теңдеулер үшін Дирихленің  шеттік 12 түрлі‘есебі қарастырылады жэне онда 
барлыгы үшін шешімдері толықтай көрсетілген.
Зерттеу  екі  өлшемді  жагдайда  шектеледі  жэне  (бірдей  белгілеулер  қолданылады) 
кешенді турде белгіленеді.
Жогаргы  реггі  дифференциалдық  операторлар  үшін  іргелі  шешімдерді  томенгі  ретті 
дифференциалдық  операторларды  интегралдау  арқылы  жүзеге  асырамыз.  Тиісті  шешу 
жолдары  мейлінше  нақты айқындалуы  (анықталуы)  керек.  Іргелі  шешімдерін  ала отырып, 
шекералық шарггарга сай, тиісті түрлендірулерді жасау керек  [1J. Дегенмен, жогаргы ретті 
дифференциалдық операторлар  үшін,  қандай  шекаралық шартты  қолдану қажеттігі  бірден 
айқын түрде  берілмейді.  Факторланган дифференциалдық операторлар және сәйкес шеттік 
есептері  үшін  эрбір  итерациялық  процесстердегі  факторларга  байланысты  болады,  жэне 
тиісті шекаралық шартгар  қойылады  [2].  Би-Лаплас үшін  классикалық (дәстүрлі)  Дирихле 
есебі
ω = γ ϋ, 6 νω - γ λ  o n d D
мүндагы 
д  у  -
 регуляр  (шекгеулі  тегіс)  облыста  сыртқа  бағытталған  нормаль  туынды  [3]. 
Лаплас  операторынан  би-Лаплас  операторы,  сондай-ақ  Дирихле  есебінен  би-векторлы 
Дирихле есебі туындайды.
Алайда жүйе
ω  = ω  D
  -да, 
ω
 = 
γ 0  dD
 -да 
ω  = f   D-,
да, 
ω = 
γ2 
<3D-да
Дирихленің бигармониялы есебі үшін жақсы баяндалган
( d sd , ) 2o>
 = /   D -да, 
ω
 = 
γ ϋ, ωι2  = γ 2  dD
  - да.
Нейман  жэне  Робин  шарттары  арқылы  есептің  бірнеше  тиісті  шекті  мэндері 
туындайды  [4]. Бигармониялы Грин функциясына қатысты оларды бөліп қарастырады. Бүл 
есеп негізінен бастапқы мақсатгіен сэйкес келмегендіктен  ерекше есеп болып саналады.
Себебі,  бүл 
ерекше 
жагдайларды  [5] 
қарастыра  отырып,  жогаргы  жарты 
жазықтықтагы  нақты  жагдай  үшін  орынды  екендігін  байқаймыз  [6].  Жогаргы  ретті  Грин 
функциясы  [7],  ягни,  полигармониялы  Грин  функциясын  ортогональ  декомпозициялары 
үшін L2(1D>; С)  кеңістігі  [8, 9]  пайдаланылады.
Гармониялы  Грин функцияларын атап көрсететін болсақ:
Үш гармониялы Грин функциясы қол жетімді. Алгашқы қасиеті арқылы
71

1  E.  Almansi,  sull’integrazione dell’equazione  differenziale 
A2du = 0, 
Ann.  Mat., (3) 2 (1899), pp. 
1-59.
2  H.  Begehr,  Orthogonal  decompositions  of the  function  space  L
2
(D;C),  J.Reine  angew.  Math, 
549 (2002), pp.  191-219.
3  H.  Begehr,  Biharmonic  decomposition of the Hilbert  Space  Lj,  Rev.Roum.  Math.  Pure Appl., 
47 (2002),  pp.  559-570.
4  H. Begehr.  Boundary value problems for complex Poisson equation, proc. AMADE 06, Minsk, 
2006, to appear.
5  H.Begehr,  Combined  integral  representations,  Advances  in Analisis.  Pros.  4th.  Intern.  ISAAC 
Congress.  Toronto,  2003.  Eds. H.  Begrhr et al. World Sci.,  Singapore, 2005, pp.  187-195.
6  H.  Begehr,  Boundary value problems in complex analisis, I,II. Bol.  Asoc.  Mat.  Venezolana,  12 
(2005). pp.  65-85; pp.  217-250.
7  H.  Begehr- G.  Harutyunyan,  Robin boundary value  problem fpr the poisson equation, 
J. 
Anal. 
Appl.  4 (2006).  pp.  201-213.
8  H. Begehr- T.N.H.Vu-Z.X.Zhang, Polyharmonis Dirchtlet problems, Pros.  Steklov. Inst. Math., 
255  (2006), pp.  13-34.
9  Begehr  H.,  Du  Z.,  Wang  N.  Dirichlet  problems  for  inhomogeneous  complex  mixed-partial 
differential  equations  of higher order in the  unit disc: New view // Oper.  Theory Adv.  Appl.  -  
2 0 0 9.-V .  2 0 5 .-P .  101-128.
10 Begehr  H.,  Vu  T.N.H.,  Zhang  Z.-X.  Polyharmonic  Dirichlet  Problems  //  Proceedings  of the 
Steklov Institute of Math.  - 2006.  - V. 255.  - P.  13-34.
11  Burenkov  V.I.,  Otelbaev M.  On the  singular numbers of correct restrictions of non-selfadjoint 
elliptic differential operators // Eurasian mathematical journal.  -2011. - V.2, №  1. - P.  145-148.
75

М АТЕМ АТИКА.  М АТЕМ АТИ КАН Ы   ОҚЫ ТУ  ӘДІСТЕМ ЕСІ 
М АТЕМ АТИКА.  М ЕТОДИ КА П РЕПОДАВАНИЯ М АТЕМ АТИКИ
12 Кальменов  Т.Ш.,  Кошанов  Б.Д.,  Немченко  М.Ю.  Представление  функции  Грина задачи 
Дирихле  для  полигармонических  уравнений  в  шаре  //  Доклады  Российской  Академии 
Наук.  - 2008. - Т.  421, № 3. - С.  305-307.
13  Kalmenov  T.Sh.,  Koshanov  B.D..  Nemchenko  M.Y.  Green  function  representation  for  the 
Dirichlet  problem  o f the  polyharmonic  equation in a  sphere // Complex Variables  and  Elliptic 
E q u a tio n s,-2008.  - V.  53, № 2.  - P.  177-183.
14 Отелбаев  М.,  Кокебаев  Б.К.,  Шыныбеков  А.Н.  К  вопросам  расширения  и  сужения 
операторов // Доклады АН СССР. -   1983.  - Т. 271, № 4.  - С.  1307-1311.
Аннотация.  Гармонические  Грин,  Нейман  и  Робине  функции  испопзуютъся  в  построении 
бигармомического  функции Грина.  Кроме того  показано  гибрид  бигармонического  функция  Грина. 
Бигармонические  функции  Грина  определен  в  явном  виде  для  единичного  круга,  кроме  9  видов 
бигармонического  функции Грина,  и единичном круге его гибрид неопределен в явном виде.  Краевые 
задачи относящие в бигармонические функции Грина все не имеешь явный вид.
Ключевые  слова.  Гармонический,  Бигармонический  функции  Грина,  факторированый 
дифференциальные операторы
Abstract.  The  harmonic Green  and Neumann function  and a particular Robin function  are  used to 
construct  bi-harmonic  Green,  Neumann  and particular  Robin functions.  Moreover  hybrid  bi-harmonic 
Green functions are given. Besides these 9 bi-harmonic Green functions there is another bi-harmonic Green 
function in explicit form  fo r the  unit disc not defined by convolution.  Related boundary value problems are 
not all well posed.
Keywords.  Harmonic,  biharmonic Green functions,  factors differential operator
УДК 517.958:531.12
A .M . М ейрманов, Г.В.  Реш етова, K.M.  Шияпов*
ДВИ Ж ЕН И Я  Д В У Х  Н ЕС М ЕШ И ВАЮ Щ И Х С Я  Ж И ДК О С ТЕЙ  НА 
М И КРО С КО П И Ч ЕС КО М  УРОВНЕ
(г.Алматы,  Казахско-Британский технический университет,  '-докторант)
Аннотация.  В  данной  работе  рассматриваются  некоторые  теоретические  и  численные 
аспекты  решения  краевой  задачи  со  свободной  границей,  описывающей  фильтрацию  двух 
несмешивающихся несжимаемых жидкостей.  Мы начнем с рассмотрения математической модели 
на  микроскопическом  уровне,  которая  состоит  из  стационарного  уравнения  Стокса  для 
несжимаемой  неоднородной  вязкой  жидкости,  которая  находится  в  изолированных  капшлярах  в 
абсолютно  твердом  скелете  и  из  транспортного  уравнения  для  нахождения  неизвестных 
плотностей  и  вязкостей  жидкости.  Формачъное усреднение  этой  задачи  приводит  к  известной 
задаче  Маскета  со  свободной границей.  Для  одномерного  случая  это  задача  имеет  единственное 
решение,  где свободная граница движется с постоянной скоростью.  С другой стороны,  численное 
усреднение 
для 
двумерной  микроскопической  модели 
показывает 
возникновение 
зоны 
перемешивания вместо свободной границы.
Ключевые  слова:  задача  Маскета,  фтьтрация  жидкости,  усреднение  периодических 
структур,  закон Дарси.
76

М АТЕМ АТИКА.  М АТЕМ АТИ КАН Ы  О ҚЫ ТУ ӘДІСТЕМЕС1 
М АТЕМ АТИКА.  М ЕТОДИКА ПРЕП О ДАВАНИ Я  М АТЕМ АТИКИ
но  около  явных решений,  и  нет  никаких  результатов  о  слабой  разрешимости  (см.,  [2],  [3], 
[4]  и ссылки там).
В  противоположность  модели  Маскета,  теоретические  вопросы  и  численные 
реализации для модели Баклея - Леверетта [5]  развиты очень хорошо  [6],  [7].
Структура этой модели является более запутанной.  Она не учитывает резкой границы 
раздела  между  нефтью  и  водой  и  содержит  много  констант  и  функций,  которые  требуют 
экспериментального  определения.  В  простейшем  случае  модель  постулирует закон Дарси 
д м   скорости и давления  воды и нефти:
Относительная  проницаемость  фазы 
к+,  к
  и  капилмрное  давление 
Pc(s)
  должны
быть  определены  экспериментально.  Уравнения  (8)  -  (10)  являются  феноменологическими 
постулатами.  Они  не  получены  из  общепринятых  физических  законов.  Последняя 
публикация  [8]  показывает  существование  искусственной  диффузии  из-за  капиллярного 
давления  вследствие  перемещения  нефти  против  потока  воды.  Эти  факты  вызывают 
большие сомнения в спроведливости модели Баклея-Леверетта.
Р.  Барридж  и  Дж.  Б.  Келлер  [9]  и  Э.  Санчес-ІТэленсия  [10]  были  первыми,  кто  явно 
заявил,  что  математические  модели  для  фильтрации  и  акустики  должны  быть  получены 
строго, с учетом микроструктуры.
С этой целью они предложили:
(а)  описывать  физический  процесс  на  стадии  рассмотрения  наиболее  точными 
микроскопическими моделями,
(б) выделять множество малых параметров,
(с)  получать  макроскопические  модели,  как  асимптотические  пределы  точной 
микроскопической модели.
Различные  частные  случаи  точных  моделей  для  фильтрации  и  сейсмически 
интенсивно  исследовались  многими  авторами:  Нгуетсенгом  [11],  Бьюкененом,  Гилбертом 
[12],  Леви  [13],  Санчес-Юбером  [14]  и  др.  Большинство  таких  точных  моделей 
систематически были изучены Мейрмановым  [15]  -  [17].  В частности, он предложил новую 
модификацию  модели  Маскета как асимптотического  предела соответствующей задачи  со 
свободной  границей  на  микроскопическом  уровне  для  движения  двух  несмешивающихся 
несжимаемых жидкостей в упругом твердом скелете.
В настоящей работе мы применили эту схему для двухмерного порового пространства, 
представляющего  собой  объединение  изолированных  прямоугольных  капилляров  в 
абсолютно твердом  скелете.  Согласно  [10]  известно, что  при  строгом  усреднении системы 
уравнений Стокса получается система фильтрации Дарси.  Таким образом, можно ожидать, 
что  при  строгом  усреднении  соответствующей  задачи  со  свободной  границей  для  двух
78

Хабаршы
  *  
Вестник
«Физика-математика гылымдары» сериясы ·  Серия «Физико-математические науки»,
______________________М2 (50) -2015 
_______________
различных  вязких  жидкостей  мы  получим  задачу  Маскета.  В  самом  деле,  формальный 
предел этой микроскопической модели приводит к задаче Маскета (1)  - (7). Но как мы уже 
упоминали,  при проведении  математически строгой процедуры  возникают непреодолимые 
трудности.  Вот  почему  мы  пошли  по  пути  численного  усреднения  для  изучения  задачи 
Маскета.  Рассмотрим  плоское  течение  двух  различных  вязких  жидкостей  в  одном 
прямоугольном  капилляре  П  = {-/ < 
у\  < l , - L <  у 2  < L)
  и  опишем  динамику  движения 
свободной  границы,  разделяющей  жидкости.  Теоретические  аспекты  данной  проблемы 
были  изучены  в  [18],  где  авторы  доказали  существование  гладкой  свободной  границы.  В 
дальнейшем мы будем периодически повторять этот капилляр в области Ω (рис.1) и получим 
динамику  свободной  границы  в  поровом  пространстве  Ω.  Увеличение  количества 
капилляров  в  Ω  (при  уменьшении  размера  /  прямоугольника  П ),  мы  будем  проводить  до 
разумного предела,  который и будет описывает макроскопические течения двух различных 
жидкостей  в  Ω  (см.  рис.2).  По  построению  этот  нестационарный  поток  является 
одномерным (см. рис.З)  и имеет две границы,  переходную фазу и чистые жидкости.  Здесь  s 
является 
концентрацией 
воды. 
Наличие 
двухфазной,  области 
смеси 
вызвано 
предположением,  что  скелет  является  абсолютно  твердым  телом.  Это  подразумевает 
нулевые  условия  для  скорости  на  общей  границе  «твердый  скелет  -   поры».  В  частности, 
точки контакта свободной  границы  и твердого  скелета  не двигаются.  Это  главная  причина 
появления переходной фазы.  Заметим, что факт образования переходной фазы  имеет место 
для любой геометрии порового пространства в абсолютно твердом скелете.
С  другой  стороны,  мы  можем  легко  решить  задачу  Маскета  в  одномерном  случае  и 
получить  движение  двух различных  жидкостей  со  свободной  границей,  которая  разделяет 
жидкости  (см.  рис.  4).  Это  противоречие  показывает,  что  нужно  искать  более  адекватные 
математические модели, которые описывают  вытеснение нефти водой в пористых средах.
Рис.  1 :Поровое пространство Ω
Рис.  2: Численное усреднение 
для большого числа капилляров
79

М АТЕМ АТИКА.  М АТЕМ АТИ КАН Ы  ОҚЫ ТУ ӘДІСТЕМ ЕСІ 
М АТЕМ АТИКА.  М ЕТОДИ КА ПРЕПОДАВАНИЯ  М АТЕМ АТИКИ
данный физический процесс. Но у этой модели нет никакой практической ценности, потому 
что  мы должны решать  задачу  в  физической области в  несколько  сотен метров,  в то  время 
как  коэффициенты  колеблются на  физическом размере  в  несколько  микрон.  Практическая 
ценность  модели  появляется  только  после  усреднения.  В  свою  очередь,  у усреднения  есть 
по  крайней  мере  три  уровня  приближения,  которые  зависят  от  безразмерных  критериев 
физической  задачи  [15]-[17].  Первый  уровень  приближения  -  известная  задача  Маскета. 
Второй  уровень  приближения  того  же  самого  физического  процесса  -   задача  Маскег- 
Терцаги-Био.  Наконец,  третий  уровень  приближения  свободной  краевой  задачи  на 
микроскопическом уровне  - задача Маскет для  вязкоупругой фильтрации.
1.  М.  Muskat,  Two-fluid  system  in  porous  media.  The  encroachment  of water  into  an  oil  sand. 
Physics (1934)  5, pp.  250 -264.
2.  Fahuai  Yi,  Global  classical  solution  of Маскет  free  boundary problem,  ,/.  Math.  Anal.  Appl. 
(2003)  288, pp.  442-461.
3.  E.  Radkevich,  On  the  spectrum  o f  the  pencil  in  the  Verigin-Маскет  problem,  Sbornik; 
Mathematics (1995)  80, No.  1, pp.  3 3 - 74.
4.  M.Siegel,  R.E.Caflish,  S.Howison,  Global  existence,  singular  solutions,  and  ill-posedness  for 
the Маскет problem,  Comm,  on Pure and Appl.  Math.  (2004)  LVI1, pp.  1  - 3 8 .
5.  S.E.  Buckley  and  M.C.  Leverett,  Mechanism  of fluid  displacements  in sands,  Transactions  of 
the ΑΙΜΕ V. 146 (1942)  107-116.
6.  S.N.  Antontsev,  A.V.Kazhikhov,  V.N.  Monakhov,  Boundary Value  Problems  in Mechanics of 
Nonhomogeneous  Fluids.  Studies  in  Mathematics  and  its  Applications,  22,  North-  Holland 
Publishing Co., Amsterdam,  1990, xii+309 pp.  ISBN:  0-444-88382-7.
7.  S.  Antontsev,  B.Amaziane,  L.Pankratov,  Time  of  complete  displacement  of  an  immiscible 
compressible  fluid  by  water  in  porous  media:  Application to  gas  migration  in  a  deep  nuclear 
waste  repository,  Nonlinear  Analysis:  Real  World  Applications,  (2012),  Volume  13,  Issue  5, 
October 2012, Pages 2144-2153, IF(2011):  2.138
8.  A.  Meirmanov,  S.  Shmarev, A compactness lemma of Aubin type  and its application to a class 
of  degenerate  parabolic  equations,  Electronic  Journal  of  Differential  Equations,  Vol.  2014 
(2014), No.  227,  pp.  1-13
9.  R. Burridge and J.  B.  Keller,  Poroelasticity equations derived from microstructure,  Journal o f 
Acoustic Society o f America ( 1981)  70, No. 4. pp.  1140 -   1146.
10.E.  Sanchez-Palencia,  A'on-Homogeneous  Media  and  Vibration  Theory,  Lecture  Notes  in 
Physics, Vol.  129,  Springer-Verlag,  1980.
1 l.G. Nguetseng,  Asymptotic  analysis for a stiff variational problem arising in mechanics.  SIAM 
J.  Math. Anal.  (1990)  21, pp.  1394 -   1414.
12.Buchanan,  J.L.,  Gilbert,  R.P.:  Transition loss  in the  farfield for an ocean with a Biot  sediment 
over an elastic substrate. ZAMM, V.  77,  121-135  (1997)
13.Lew , 
Т.,  Fluids  in  porous  media  and  suspensions.  In  Homogenization  Techniques  for 
Composite Media, Lecture Notes In Physics, V.  272,  Springer, Berlin (1987)
14.Sanchez-Hubert,  J.,  Asymptotic  study  o f the  macroscopic  behavior  of a  solid-liquid  mixture. 
Math. Methods Appl.  Sci. V.  2 ,1 -1 8  (1980)
15.A. Meirmanov, Nguetseng’s two-scale convergence method for filtration and seismic  acoustic 
problems  in elastic porous media,  Siberian Mathematical Journal (2007)  48, No.  3, pp.  519 —
 
538.
16.A.  Meirmanov,  The  Маскет  problem  for  a  viscoelastic  filtration,  Interfaces  and  Free 
Boundaries, Vol.  13, No.  4 (2011) pp. 463-484.
17.A. Meirmanov, Mathematical models for poroelastic flows, Atlantis Press, Paris, 2014.
18.A.  Meirmanov,  R.  Zimin,  K.  Shiyapov,  The  Маскет  problem  at  the  microscopic  level  for  a
82

Хабаршы  ·  Вестник
«Физика-математика гыгымдары» сериясы ·  Серия «Физико-математические науки», 
_______________________________ М2 (50) -2015_______________________________
single capillary, Boundary Value Problems 2015,2015:71  doi: 10.1186/sl366101503344.
19.JI.B,  Овсянников, Введение в механику сплошных сред. Часть  1, 2. Новосибирск,  1977.
Аңдатпа.  Бул мащчада екі араласпайтын сыгылмайтын сүйыцтьщтардың фтьтрацшсын 
сипаттайтын  шекарачьщ  есептердің  теориялъщ  жэне  сандьщ  аспектілері  қарастырылды.  Біз 
капиллярлардагы  сүйыщыцтыц  тыгыздыгы  мен  түтцырлыгы  үиіін  колік  теңдеулері  жэне 
сыгылмайтын  біртекті  түтцыр  суйьщтықтың  Стоке  стационарлъщ  теңдеулері  үшін 
микроскопиячьщ деңгейде математикачьщ моделін  царастырамыз.  Бүл  есептің  еркін  иіекарадагы 
ортаиіаланганы  Маскет  есебіне  әкеледі.  Бірөлшемді  үшін  есеп  еркін  шекарачьщ  түрақты 
жылдамдьщпен  қозгачады  және  бір  гана  шешімі  бар  болады.  Екіниіі  жагынан,  екіөлшемді 
микроскоттьщ   моделі  ушін  дэл  сандьщ  орташачау  еркін  шекарачьщ  облысының  көрінісін 
көрсетеді.
Т)ііін сөздер::Маскет есебі,  фильтрация  периодты қурычьшды орташалау, Дарси заңы
Abstract.  Some  theoretical  and numerical  aspects for  a free  boundary problem  describing a joint 
filtration o f two immiscible incompressible liquids is considered.  We start with a mathematical model at the 
microscopic  level,  which  consist  o f the  stationary  Stokes  system fo r  an  incompressible  inhomogeneous 
viscous liquid,  occupying disjoint capillaries in an absolutely rigid solid skeleton,  coupled with a transport 
equation fo r the  unknown liquid density and viscosity.  The form al homogenization o f this problem leads to 
the  well-known Маскет free  boundary problem.  For  ID  case  this problem has  a unique solution  where a 
free  boundary moves  with a constant velocity.  On  the other hand,  the accurate numerical homogenization 
fo r  the 2D microscopic model shows appearance o f the mushy region instead o f the free boundary.
Key  words: Muskat problem,  liquid filtration;  homogenization ofperiodic structures,  Darcy law.
ӘОЖ  513.4

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал