Математика және математиканы оқыту әдістемесінің кафедрасы



жүктеу 0.8 Mb.

бет6/6
Дата22.04.2017
өлшемі0.8 Mb.
1   2   3   4   5   6

 

max 







 x



x

0

‒δ 

x

0

+δ 

 

 

Локальдік  максимум 



  және  локалдік  минимум 

  ―  жалпы 

тҥрде локальді экстремум деп аталады. 

Теорема  (локальдік  экстремумнің  қажетті  шарты):    Егер 

 

функциясы 



нҥктесінде  локальді  экстремумы  болса  және  осы  нҥктеде 

дифференциалданатын болса, онда 



Дәл‒і:  теореманың  шарты  бойынша   

нҥктесінде 

  функциясының 

локальді  эктремумы  бар,  ол  деген  бір 

  интервалдың  барлық 

нҥктелерінде 

  функциясы  ең  ҥлкен  немесе  ең  кіші  мәнін  қабылдайды. 

Олай  болса,  Ферма  теоремасының  бҥкіл  шарты  орындалады,  яғни 

нҥктесінде 

 болады. 

Бҧл  теореманың  мынандай  мағынасы  бар,  егер 

  ―  нҥктелері 

локальді  экстремум  болса,  онда  бҧл  нҥктелерде  графигке  жанамалары 

болады және бҧл жанамалар 

 осіне параллель болады. 

  

min 









  x



x

0

‒δ 

x

0

+δ 





y  

  x



  x



  x



  x



  x



Мҧндай  нҥктелерді  нҥкте  деп  те  атайды.  Бҧл  нҥктелерді  экстремум 

болатын  мүмкіндік  нүктелер  деп  айтады. 

,  бҧл  нҥкте  локальдік 

максимум немесе локальдік минимум болмауы мҥмкін. 



Мысалы:  

 



Бҧл 

    нҥктесі  локальдік 

экстремум болмайды. 

Сондықтан 

 

 

экстремумның  қажетті  шарты 



ғана. 

 

 



 

Теорема 

(локальдік 

экстремумның 

жеткілікті 

шарты): 

 

функциясы 



нҥктесінің 

 

аймағында 



дифференциалданатын  болсын.  Онда 

  тің 


аралығындағы 

барлық  мәндері  ҥшін 

 

  болса  және  де 



  тің 

аралығындағы  барлық  мәндері  ҥшін 

 

 

болса,  онда 



нҥктесінде 

  функциясы  локальді  максимум  (минимум) 

болады, егер 

 ―  


нҥктесінің аймағында бір ғана таңба болса, онда бҧл 

нҥктесінде локальдік экстремум жоқ. 

Басқаша  сӛзбен  айтқанда, 

функциясы 

нҥктесінен  ӛткенде  оң 

мәннен  теріс  мәнге  кӛшсе,  онда 

нҥктесі  локальді  максимум,  егер 

функциясы 

нҥктесінен  ӛткенде  теріс  мәннен  оң  мәнге  кӛшсе,  онда 

нҥктесі  локальді  минимум  болады.  Егер 

нҥктесінде   

функциясы 

таңбасын ӛзгертпесе, онда ол нҥкте экстремум болмайды. 

      Дәл



‒і:   

функциясы 

нҥктесінен  ӛткенде  таңбасын  оңнан  теріс 

таңбаға ауыссын және 

Бҧдан  Лагранж  формуласын  мына 



  аралыққа  қолданамыз. 

.  Теореманың  шарты  бойынша 

  аралығында   

,  онда 


  болады,  онымен  бірге  

, сондықтан  

 немесе 

 болады.  







y  

y=x



Дәл  осы  секілді 

  интервалына  Лагранж  формуласын  қолданамыз: 

 

      аймағында   



    теореманың  шарты  бойынша,  онда 

  болады,  сонымен  бірге 

,  сондықтан 

 

немесе  



 болады. 

Қорыта  келгенде  (1)  және  (2)  теңсіздіктен  қарастырып  отырған   

 

нҥктесінің аймағында мына теңсіздік орындалады: 



 

, ал бҧл дегеніміз 

нҥктесінде 

  функциясы  локальдік 

максимум. 

Мысалы: 

 

 



 

 локальдік максимум 

 локальдік минимум 

 

 



 

1, 3 ― интервалында функция ӛседі, 2 ― интервалында функция кемиді. 

 

 

3.



 

Дӛңестіктің бағыты және иілу нҥктесі функциясының графигі 

 

  функциясы 



  аралығының  кез 

‒  келген  нҥктесінде 

дифференциалдансын,  онда  осы  функцияның  графигіне  кез  ‒  келген 

нҥктесінде жанама бар болады. 

 

 ― жанама 



 осіне параллель болмайды. 

 

Анықтама: 

тің  графигі 

  аралығында  дөңестігі  төмен 



(жоғары)  бағытталған  дейді,  егер  осы  график 

  аралығында 

жҥргізілген  кез  ‒  келген  жанамадан  тӛмен  емес  (жоғары  емес)  орналасқан 

болса. 


   0 

  1 

   -1 

 

 

Анықтама бойынша графиктің жанамасы осы аралықта 

 графикпен 

қиылыспайды, тек қана жанайды. 

 

Теорема:  Егер 

  функциясы 

  аралығында 

  ақырлы 

туындысы болса және 

 аралықтарының барлық 

нҥктесінде,  онда 

тің  графигі  дӛңес  болады  және  ол  тӛмен  (жоғары) 

бағытталған болады осы  

  аралығында. 

 

Анықтама:  

 нҥктесі 

 функциясының иілу нүктесі деп 

аталады,  егер 

  нҥктесінің  мынандай  бір  аймағы  бар  болса, 

 

функциясының сол және оң жағында әртҥрлі бағыттағы дӛңестігі бар болса. 



Бҧл  жағдайда  иілу  нҥктесіне  жҥргізілген  жанама  функцияның  графигін 

қияды. 


  

Теорема  (иілу  нүктесінің  қажетті  шарты):   

  функциясының 

графигінің   

  нҥктесінде  иілу  нҥктесі  болып  және 

 





y  

 Дөңестігі  

   төмен 

 0 



y  

Дөңестігі  

 жоғары 


функциясы 

  нҥктесінде  ҥзіліссіз,  екінші  ретті  туындысы  болсын,  онда 

 функциясы 

 нҥктесінде нӛлге тең болады, яғни 

 

      Бірақ кез 



‒ келген 

нҥктесі ҥшін 

 болса, ол қайтсе де 

иілу нҥктесі болады деген сӛз емес. 

 

Мысалы: 

  функциясының  иілу  нҥктесі  жоқ,  бірақ 

 

нҥктесінде 



, егер 

.  


Сондықтан  екінші  ретті  туындының 

ге  тең  болуы  тек  қана  қажетті 

жағдай. 

 

Теорема  (иілу  нүктесінің  жеткілікті  шарты):   

  функциясы 

нҥктесінің  кейбір  аралығында  екінші  ретті  туындысы  болсын,  яғни  

және 


.  Онда  кӛретілген  аралықта 

  функциясы 

 

нҥктесінің  сол  жағынан  және  оң  жағынан  әртҥрлі  таңбасы  болса,  онда 



  функциясының  графигі 

  нҥктесінде  иілу  нҥктесі 

болады. 

 

Мысалы: 



 

 

яғни 



 

―  иілу 


нҥктесі. 

 

 



 

 

 



 

 

 



4.

 

Функцияның графигінің асимптотасы 

 

  0 



y  

y =x

4

 

     0 



y  

     

 

     

 

Функцияны  зерттеу  кезінде 

  және 


  ҧмтылғанда 

функцияның  қозғаласы  немесе  екінші  ретті  ҥзіліс  нҥктесінің  маңайында 

функцияның  графигі  ӛте  жақын  бір  тҥзуге  жақындайды.  Міне  осындай 

тҥзулерді асимптота деп атайды. 



Анықтама: 

Түзу 

сызық 

 

функциясының 

графигінің 

асимптотасы деп аталады, егер сол қисықтың ҥстіндегі   нҥктесінен тҥзуге 

дейінгі  арақашықтық    нӛлге  ҧмтылса,  егер 

  нҥктесі  бас  нҥктеден 

шексіздікке ҧмтылғанда.  

Асимптотаның ҥш тҥрі бар: 

1)

 



Вертикаль асимптота; 

2)

 



Горизонталь асимптота; 

3)

 



Қиғаш асимптота. 

Анықтама: 

түзуі 

 

 

функциясының 

вертикаль 

асимптотасы  деп  аталады,  егер  қайткенде  де  мына  шектің  шектік  мәні 

 немесе 


   

  немесе  

  тең болса. 

Мысалы:  

 

 



.   

 тҥзуі вертикаль  

асимптота      болады. 

 

 



 

 

 



Бҧл  жағдайда 

  тҥзуге 

 дейінгі арақашықтық  

 

 



Анықтама:  Егер 

,  онда 


    түзуі 

 

функциясының    горизонталь асимптотасы деп аталады 

.  


Мысалы: 

.  


 тҥзуі горизонталь асимптота болады. 

 

 



 

Анықтама:  Егер  мынандай 

  және 


  саны  бар  болып, 

,  онда   



  түзуі 

  функциясының 

     0 

  x 

 y  

     0 

  ұмтылғандағы  қиғаш  (көлбеу)  асимптотасы  деп 

аталады. 

 

  ―  қажетті  және  жеткілікті  шарты   



  тҥзуінің  асимптота 

болуына. 

Асимптоталарды тӛмендегідей әдістермен табады: 

1)

 



Вертикаль асимптота 

 

 нҥктесі ҥзіліс нҥктесі  



    

 

 



2)

 

Горизонталь асимптота 



 

яғни функциясының графиктерінің горизонталь асимптоталары жоқ. 

3)

 

Кӛлбеу асимптота 



 



 

яғни 


 функцияның кӛлбеу асимптотасы. 

 

 



   -2 

  x 

 y  

     0 

     2 

     -3 

ПРАКТИКАЛЫҚ ЖҦМЫС ЖОСПАРЫ 

 

1.

 

НАҚТЫ САНДАР 

 

Келессі теңдеулер мен теңсіздіктерді математикалық индукция 

әдісімен дәлелдеңдер: 

Мысалы: 


 

Дәлелденуі: 

 ҥшін тексеріп кӛрейік, 

  

Енді 



 ҥшін бҧл теңдік орындалады деп, яғни: 

  болатындығын тексеріп,  

 

ҥшін дәлелдеу керек:  



 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 3, 6, 7, 8 

 

 

Теңсіздікті шешіңіз: 



 

Шешуі:  


 

 

 



 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 24, 26, 28 



 

2.

 

ФУНКЦИЯЛАР 

Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

 

Шешуі:  



Бҧл  бӛлшекті  функция  болғандықтан  оның  анықталу  облысы  бӛлімі 

нӛлден ӛзгеше барлық нақты сандар ҥшін анықталған, яғни: 

 

 

 



 

Аудиториялық жұмыстар: № 153, 154 a, 155, 157, 159, 161 

 

 



Берілген функцияның графигін салыңыз: 

 

Шешуі: 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 Аудиториялық жұмыстар: № 245, 247, 255, 261 

 

 



 

3.

 

САНДЫҚ ТІЗБЕКТЕР 

 

Тізбектің шегін табыңыз: 

 

Шешуі:  


 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 47, 49, 51, 53, 58, 60 



 

 

4.

 

ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ 

 

Келессі ӛрнектің мәнін анықтаңыз: 

1)

 

 



 

Шешуі: 


 

 

2)

 



 

 

Шешуі: 



 

3)

 



 

Шешуі: 


 

 

4)



 

 


Шешуі: 

 

 



5)

 

 



 

Шешуі: 


 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 413,415, 417, 419, 421, 425, 473, 475, 



483, 507, 517, 520  

 

 

5.

 

ҤЗІЛІССІЗ ФУНКЦИЯЛАР 

 

Функцияның ҥзіліс нҥктелерін анықтап, сипаттама беріңдер: 

1)

 

 



Шешуі:  

Ҥзіліс нҥктесі 

 болады. 

 

 

 — шексіз ҥзіліс нҥктесі. 

 

2)

 



 

Шешуі: 


Ҥзіліс нҥктесі 

 болады. 



 

 

 — жӛндетілетін ҥзіліс нҥктесі. 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 689, 691, 693, 697  


6.

 

БІР АЙНЫМАЛЫДАН ТӘУЕЛДІ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ 

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРІ 

7.

 

ЭЛЕМЕНТАРЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ТУЫНДЫЛАРЫ 

 

Кестені пайдаланып келессі функциялардың туындысын 

анықтаңыздар: 

 

1)



 

 

Шешуі:  



 

 

 

2)

 

 



Шешуі: 

 

 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 835, 837, 847, 851, 867, 869, 881 

 

 



8.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛДАНАТЫН ФУНКЦИЯЛАР ҤШІН ОРТА 

МӘНДЕР ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР 

 

Келессі ӛрнектердің мәнін анықтаңыз: 



 

Шешуі:  


 

 

Аудиториялық жұмыстар: № 1318, 1320, 1324, 1328 



 

 

9.

 

ФУНКЦИЯНЫ ТУЫНДЫНЫҢ КӚМЕГІМЕН ЗЕРТТЕУ. 

ФУНКЦИЯНЫҢ ӚСУІ МЕН КЕМУІ 

Функцияны экстремумге зерттеңдер: 

 

Шешуі: 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Аудиториялық жұмыстар: № 1416, 1429, 1433, 1437 

 

 



СТУДЕНТТІҢ ӚЗІНДІК ЖҦМЫС ЖОСПАРЫ 

 

Келессі теңдеулер мен теңсіздіктерді математикалық индукция 

әдісімен дәлелдеңдер: 

Мысалы: 


 

Дәлелденуі: 

 ҥшін тексеріп кӛрейік, 

  

Енді 



 ҥшін бҧл теңдік орындалады деп, яғни: 

  болатындығын тексеріп,  

 

ҥшін дәлелдеу керек:  



 

 

 



Тапсырма: № 4, 9, 10 

 

Теңсіздікті шешіңіз: 



 

Шешуі:  


 

 

 



 

 

Тапсырма: № 23, 25, 27, 28 

 

Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

 


Шешуі:  

Бҧл  бӛлшекті  функция  болғандықтан  оның  анықталу  облысы  бӛлімі 

нӛлден ӛзгеше барлық нақты сандар ҥшін анықталған, яғни: 

 

 



 

 

Тапсырма: № 152, 154 б, 156, 158, 160, 162 

 

Берілген функцияның графигін салыңыз: 



 

Шешуі: 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 Тапсырма:№ 246, 248, 254, 256, 259 

 

Тізбектің шегін табыңыз: 

 

 

 



 

Шешуі:  

 

 



Тапсырма: № 48, 50, 52, 54, 59, 61, 63 

 

Келессі ӛрнектің мәнін анықтаңыз: 

6)

 

 



 

Шешуі: 


 

 

7)

 



 

 

Шешуі: 



 

8)

 



 

Шешуі: 


 

 

9)



 

 

Шешуі: 



 

 

10)



 

 

 



Шешуі: 

 

 

Тапсырма: № 412, 414, 420, 422, 424, 472, 474, 476, 482, 486, 511, 514, 



518 

Функцияның ҥзіліс нҥктелерін анықтап, сипаттама беріңдер: 

3)

 

 



Шешуі:  

Ҥзіліс нҥктесі 

 болады. 

 

 

 — шексіз ҥзіліс нҥктесі. 

 

 

4)



 

 

Шешуі: 



Ҥзіліс нҥктесі 

 болады. 



 

 

 — жӛндетілетін ҥзіліс нҥктесі. 

 

Тапсырма: № 690, 692, 696, 698 

 

Кестені пайдаланып келессі функциялардың туындысын 



анықтаңыздар: 

 

3)



 

 

Шешуі:  



 

 

 



4)

 

 



Шешуі: 

 

 

 

Тапсырма: № 836, 838, 846, 848, 856, 860, 866 

 

Келессі ӛрнектердің мәнін анықтаңыз: 



 

Шешуі:  


 

 

Тапсырма: № 1319, 1321, 1325, 1327 



 

Функцияны экстремумге зерттеңдер: 

 

Шешуі: 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Тапсырма: № 1415, 1430, 1432, 1438 

ЕМТИХАН СҦРАҚТАРЫ: 

1)

 



 Жиын  ҧғымы.  Нақты  сандар  және  олардың  қасиеттері.  Рационал  

сандар. 


2)

 

 Жиын тҥрлері. Сандарды тҥзу сызықтың нҥктелерімен кескіндеу. 



3)

 

 Абсолюттік шамалар және оның қасиеттері. 



4)

 

 Сандар жиынының шоғарғы және тӛменгі шекаралары. 



5)

 

Функция ҧғымы. Функцияның графигі.  



6)

 

Кері функция. 



7)

 

Функцияның берілу тәсілдері. 



8)

 

Бір сарынды және ҥзік бір сарынды функциялар.  



9)

 

Шенелген және шенелмеген функциялар.  



10)

 

Жҧп және тақ функциялар. Периодты функциялар. 



11)

 

Тізбектің шегі. Тізбектің шегінің қасиеттері.  



12)

 

Тізбек жинақтылығының критериі. 



13)

 

 Бірсарынды (монотондық) айнымалының (тізбектің) шегі. 



14)

 

 Тізбектің жоғарғы және тӛменгі шегі.  



15)

 

Тізбекшелер (бӛлік тізбектер). 



16)

 

Шексіз ҥлкен және шексіз аз тізбектер. 



17)

 

Біржақты шектер.  



18)

 

Ақырлы  шегі  бар  функциялардың  қасиеттері.  Кейбір  шектердің 



шығарылуы.  

19)


 

Ақырсыз кішкене және ақырсыз ҥлкен шамалар. 

20)

 

Ақырсыз кішкенелерді ӛзара, ақырсыз ҥлкендерді ӛзара салыстыру.   



21)

 

Локальдық ҥзіліссіздіктің тҥрлі анықтамалары.  



22)

 

Функцияның біржақты ҥзіліссіздігі.  



23)

 

Ҥзіліссіз функцияларға амалдар қолдану. 



24)

 

Ҥзіліссіз функциялардың қасиеттері.  



25)

 

Функцияның бірқалыпты ҥзіліссіздігі. 



26)

 

Функцияның  ҥзіліссіз  нҥктелері.  Ҥзіліс  нҥктелерінің  жіктелуі 



(классификациялары).  

27)


 

Кері функция және оның ҥзіліссіздігі. 

28)

 

Функцияның туындысы.  



29)

 

Туындының геометриялық мағынасы.  



30)

 

Туындының  физикалық  мағынасы.  Оң  жақты  және  сол  жақты 



туындылар.  

31)


 

Дифференциал,  функцияның  диффернециалдануы.  Дифференциал 

ҧғымы.  

32)


 

Дифференциалдың жуықтап есептеуде қолданылуы. 

33)

 

Функцияны дифференциалдаудың ережелері. 



34)

 

Тригонометриялық функциялардың туындылары. 



35)

 

Кері тригонометриялық функциялардың туындылары. 



36)

 

Кӛрсеткіштік  функцияның  туындысы.  Логарифмдік  функцияның 



туындысы. Дәрежелік функцияның туындысы. 

37)


 

 Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар. 

38)

 

Ферма теоремаcы. 



39)

 

Ролль теоремаcы. 



40)

 

Лагранж, Коши теоремасы. 



41)

 

Анықталмағандықты ашу. Лопиталь ережесі. 



42)

 

 Тейлор формуласы. 



43)

 

Функцияның бірқалыптылық (монотондық) белгісі. 



44)

 

Функцияның локальдік экстремумдық нҥктелерін табу. 



45)

 

Дӛңестіктің бағыты және иілу нҥктесі функциясының графигі. 



46)

 

Функцияның графигінің ассимптотасы. 



 

 


1   2   3   4   5   6


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал