Математика және математиканы оқыту әдістемесінің кафедрасы



жүктеу 0.8 Mb.

бет5/6
Дата22.04.2017
өлшемі0.8 Mb.
1   2   3   4   5   6

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРІ 

 

1.

 

Функцияның туындысы 

Бір 


 аралығында анықталған 

 функциясы берілсін. 

 деп 

тің  


 аралығындағы кез 

‒ келген бір мәні деп белгілейік. Енді  

 

ге   


    ӛсімшесін  берсек,  аргументтің  жаңа  мәні 

  болады. 

Аргументтің жаңа мәніне 

 функциясы да жаңа мән қабылдайды, ол: 

  болады. 

Анықтама:  Функция  ӛсімшесінің  тәуелсіз  айнымалының  ӛсімшесіне 

қатынасының,  тәуелсіз  айнымалының  ӛсімшесі 

  дағы  шегі  бар 

болса, яғни: 

 

Бҧл  шек 



  функциясының    бойынша  алынған 

  нүктесіндегі 



туындысы деп аталады.  

Туындыны белгілеуге мынандай символдар қолданылады: 

 

 

2.



 

Туындының геометриялық мағынасы 

 

   


  жанама 

  нҥктесіндегі. 

  қимасының 

  ҧмтылғандағы 

шектің  мәні 

,   


  ҧмтылғанда  қима 

    нҥктесінен ӛтетін жанамаға ауысады. 

 

,    мҧндағы 



  жанаманың 

  осімен 

жасайтын бҧрышы. 

Яғни   


функциясының   

    нҥктесіндегі    туындысы,                   

нҥктесінде   

  функциясына  жҥргізілген  жанаманың 

бҧрыштық коэффициентіне тең болады. 

 

3.



 

Туындының физикалық мағынасы  

  функциясы 

  материалдық  нҥктенің  тҥзу  сызықтағы 

қозғалысының заңын аны қтасын делік. 



 

      

    уақытында 

    жол  жҥріледі,  ал 

    уақытында 

  

жҥріледі. 



 

 

 



уақыт 

аралығында 

 

нҥктесі 


  жол  кесіндісін  ӛтеді.  Ал  осы   

 

уақытындағы  орташа  жылдамдық 



   

    қатынасы  арқылы  анықталады. 















Δy 

 Δx 

x



 x



+ Δx 

y



y=f(x)

 

φ(Δx)

 

φ



f(x

1



M

0

 



M

1

 

f(x

0



Δy = f(x

1



‒ f(x

0



 

  y 

Енді  осы  қатынастың  

  тың   


    шегі  лездік  жылдамдықты  береді 

сол   уақыт момент нҥктесіндегі 

.  

 

4.



 

Оң жақты және сол жақты туындылар 

Функцияның  шегінің  оң  жақты  және  сол  жақты  ҧғымына  сәйкес 

 

функциясы   нҥктесіндегі оң жақты және сол жақты туындысының ҧғымын 



кіргіземіз.  

Анықтама: 

  функциясы 



  нүктесіндегі  оң  (сол)  жақты  туындысы 

деп, мына арақатынастың     шектің мәнін айтады (егер мҧндай шектер бар 

болса). Бҧл былай белгіленеді: 

 

 

Егер 

  функциясы 



  нҥктесінде  туындысы  болса,  онда  ол 

функцияның  осы  нҥктеде  оң  және  сол  туындылары  болады  және  олар  тең 

болады. 

Сонымен қатар мынандай да функциялар болады    нҥктесінде оң және 

сол  туындылары  болғанымен,  ол  функцияның  сол  нҥктеде  туындысы 

болмауы да мҥмкін. 



Мысалы:   

    Бҧл  функцияның  оң  туындысы 

  

нҥктесінде мынаған тең: 



 

және сол туындысы: 

 

Бірақ 


  нҥктесінде туындысы болмайды, себебі 

 

 



5.

 

Дифференциал, функцияның диффернециалдануы 

Анықтама: 

    функциясы   



  нүктесінде дифференциалданатын  деп 

аталады, егер ӛсімше 

 ті осы нҥктеде мына тҥрге келтіруге болса: 

 

мҧндағы 



  ― 

тен  тәуелді  емес  қайсы  бір  сан,  ал   

 

аргументінің  функциясы, 



  да  ақырсыз  кішкене  шама,  яғни 

, сонымен қатар 

.  


      Енді  функцияның  берілген  нҥктеде  дифференциалданатыны  мен  сол 

нҥктеде 


туындысының 

бар 


болуының 

арасындағы 

байланысын 

қарастырамыз. 

      Теорема:   

  функциясы 



    нҥктесінде  дифференциалданатын 

функция  болу  ҥшін  бҧл  нҥктеде  оның  ақырлы  туындысы   

  бар 

болуы қажетті және жеткілікті.  



       Дәл

‒і  (қажеттілігі):    Яғни 

    нҥктесінде 

  функциясы 

дифференциалданатын  болсын,  онда 

.  Осыдан 

. 

      Енді 

 

шекке 


кӛшсек, 

.  Бҧдан   



  

нҥктесінде ақырлы туындысы бар. Сӛйтіп,  



 

 

(жеткіліктігі):  Яғни ақырлы шегі  

  бар болсын, онда: 

 

      Олай  болса  



  айырымы барлық 

ҥшін анықталған және 

 жағдайда ол айырым 

 тің туындысы, яғни: 



 

      Бҧдан 

 

6.



 

Дифференциал ҧғымы 

Анықтама:  Дифференциалданатын  функцияның  ӛсімшесі   

тің   


  пен  сызықтық  тәуелділікте  болатын  бӛлігі,  яғни   

  ӛрнегі  

  функциясының  дифференциалы  деп  аталады  және  былай 

белгіленеді (

): 

 

Егер 


 болса,  (1) теңдіктен: 

 

 



Бҧдан  мынандай  қортынды  жасауға  болады: 

  және 

  шамалары 



ӛзара  эквивалентті шамалар,  ал олардың  айырымы 

  шамасы 

 


пен  салыстырғанда  жоғарғы  ретті  ақырсыз  кішкене  шама.  Сонымен 

функцияның дифференциалы 

Егер 


  функциясы  ҥшін 

  болатындығын 

ескерсек,  тәуелсіз  айнымалының  дифференциалы  ол  айнымалының 

ӛсімшесіне тең екендігін кӛреміз, яғни 

(2) формуланы мына тҥрде жазуға болады: 



 

Бҧдан біз  

 ті тҧтас бір символ деп қарап келген болсақ, ендігі жерде 

бӛлшек ретінде ретінде қарастыруымызға болатындығына кӛзіміз жетеді. 

Туынды мен  

 ті кӛбейту нәтижесінде ғана дифференциал табылатын 

болғандықтан дифференциалды есептеп шығару амалы да дифференциалдау 

деп аталады. 

 

7.

 

Дифференциалдың жуықтап есептеуде қолданылуы 

Мысалы: 

 

функциясы 



берілсін. 

 

 

 



      8. Функцияны дифференциалдаудың ережелері 

1)

 



Тҧрақтының  туындысы. 

  болса,  оның  туындысы 

нӛлге тең: 

 

      Шынында,  кез 



‒  келген 

  және 


  ҥшін 

  және 


 

.  


2)

 

Айнымалының ӛзі арқылы арқылы алынған алынған туынды бірге тең. 



 

Дәл‒і:  

 

3)

 



Алгебралық қосындының туындысы: 

 

4)



 

Кӛбейтіндінің туындысы: 

 


5)

 

Бӛліндінің туындысы: 



 

6)

 



Кҥрделі функцияның туындысы: 

  функциясы  берілсін,  мҧндағы    негізгі  айнымалы  (аргумент) 

 тің функциясы болсын, яғни 

. Сонда: 



Теорема:  Егер 

  функциясының 

нҥктесінде  туындысы  бар,  

  функциясының     

  нҥктесінде  туындысы  бар  болса, 

 кҥрделі функциясының да сол 

нҥктесінде туындысы бар және 

мына формула орындалады: 

 

 

Немесе қысқаша: 



 

7)

 



Кері функцияның туындысы: 

Теорема: Егер: 1)  

нҥктесінде 

 функциясының нӛлге тең емес 

туындысы 

  бар болса; 

2)

 



Егер тура функция 

ге кері 


 бар болса; 

3)

 



 Бҧл кері функция 

 нҥктесінде ҥзіліссіз болса, онда 

 

кері  функциясының 



нҥктесіндегі  туындысы  бар  және  ол  былай 

анықталады: 



 

 

 

VII тарау. ЭЛЕМЕНТАРЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ТУЫНДЫЛАРЫ 

1.

 

Тригонометриялық функциялардың туындылары 

а) 


 

Дәл‒і:  

.  

Бҧдан 


 

Демек функцияның ҥзіліссіздігінен: 



      

 

      Егер 



  кҥрделі функциясы берілсе, ондағы 

 болса, онда 



 

 

б) 


. Дәл осылай дәлелденеді. 

в) 


Бҧл 


туынды 

да 


бӛлшекті 

дифференциалдау 

жӛніндегі 

ереже 


бойынша 

табылады 

г) 


 

2.



 

Кері тригонометриялық функциялардың туындылары 

а)  


, ол ҥшін 

 кері функциясы болады, сондықтан:  

,  

      Ал кҥрделі функция ҥшін: 

б) 


, онда 

 кері функция.  



      Кҥрделі функция ҥшін: 

в) 


, оған кері функциясы 

 

,  



; 

г) 



, оның туындысы:  

; 

 

3.



 

Кӛрсеткіштік функцияның туындысы 

  берілсін,  

 



,  ӛткен  тақырыптағы 

  болатындығын 

білетінбіз. Сондықтан: 

 



Ал кӛрсеткіштік функция кҥрделі функция болса, онда 

Енді кӛрсеткіштік функцияның жалпы тҥрін қарастыралық. 



 

 



болар 

еді, 


бҧдан  

,   демек 

.  

Егер 


  және  

болса, онда 

 



 



4.

 

Логарифмдік функцияның туындысы 

  функциясы  берілсін 

.  Бҧған  кері  функция 

 болады. 

 болады. 

Егер логарифмдік функция кҥрделі функция болса,  

  және 

 болса, онда  



 

      Ал 

 болған жағдайда, онда 

 функциясы болады, яғни бҧдан   

  

 

 



5.

 

Дәрежелік функцияның туындысы 

функциясы  берілсін  (мҧндағы 

нақты  сан).  Берілген 

функцияның  логарифмін  тапсақ,  ол 

,  осыдан 



  және  

болады. 


 

6.

 

Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар 

1)

 



 ші ретті туындының ҧғымы 

―  функцияның 

  ші  ретті  туындысы  дейміз.  Енді  туынды  алған 

функциядан туынды алсақ, ол  



 ші ретті туындысы болады. Егер енді осы 

туындыдан туынды алсақ, ол 



 ші ретті туынды болады және т.с.с. Оларды 

былай белгілейді: 

 немесе 

  


2)

 

 Егер   нҥктесінде дифференциалданатын 



 дифференциалы 

 

те  сол  нҥктеде  дифференциалданатын  болса,  онда  берілген 



  

функциясының  диференциалының  да  дифференциалы  бар  болады,  оны 

былай белгілейді:    

 

Ҥшінші,  тӛртінші  т.с.с.  ретті  дифференциалдарға  да  осы  сияқты 



анықтамалар беріледі, яғни 

 

,  бҧл  жерде 



  болғанда, 

 

тәуелсіз  айнымалы 



тің  ӛсімшесі 

  тің    рӛлінде    болғандықтан   

 

кез ‒ келген нақты сан және 



тен тәуелсіз болады, сондықтан:  

      болады,   

Сӛйтіп 


      Математикалық индукция әдісіне сҥйене отырып,  



  болады (мҧндағы 

). 


 

 

VIII тарау. ДИФФЕРЕНЦИАЛДАНАТЫН ФУНКЦИЯЛАР ҤШІН 



ОРТА МӘНДЕР ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР 

 

1.

 

Ферма теоремасы: Егер 

 функциясы: 

1)

 

 сегментінде анықталған болса



2)

 

Сол  сегменттің  ішкі    нҥктесінде  не  ең  ҥлкен,  не  ең  кіші  мәнін 



қабылдаса, 

3)

 



 нҥктесінде ақырлы туынды 

бар болса, онда міндетті тҥрде 

 

      Дәл



‒і:   

  функциясы 

  ең  кіші  мәнін  қабылдасын.  Онда 

барлық 


 тер ҥшін  

 орындалады. 

      Егер   

  болса, 

,    бҧдан 

.    Ал  егер 

  болса,   

,    бҧдан 

.    Теореманың 

шарты  бойынша   

,    яғни  бҧл  жағдайда  сол  және  оң 

жақты туындысы тең болуы керек, ал бҧдан 

 болады. 

 

2.



 

Ролль  теоремасы:    Егер 

  функциясы   

  аралығында 

анықталған және де: 

1)

 

аралығында ҥзіліссіз, 



2)

 

 аралығында 



 функциясы дифференциалданатын, 

3)

 

  болса,  онда  функцияның  туындысы  нӛлге  айналатын 



ең болмағанда бір 

 нҥктесі табылып,  

 болады. 

      Дәл

‒і:    Берілген   

  функциясы 

  аралығында  ҥзіліссіз 

болғандықтан, Вейерштрасстың екінші теоремасы бойынша 

 функциясы  

сол 


 аралығында ең ҥлкен мәні 

 мен ең кіші мән 

 ді қабылдайды, 

яғни   


.   

және 


  болатын 

нҥктелер табылады. 

      Екі жағдай болуы мҥмкін: 

а) 


      б) 

 

а) 



,    бҧл  жағдайда   

  аралығының  кез 

‒  келген 

нҥктесінде 

 болады. 

б)  Теореманың  шатры  бойынша   

.  Олай  болса  функцияның 

және    мәндері  сегменттің  екі  шетінде  қабылдануы  мҥмкін  емес.  Яғни  

    интервалында 

  функциясының  ең  ҥлкен  не  ең  кіші  мән 

қабылдайтын  бір 

  нҥктесі  табылады.  Бҧл  жағдайда 

 

функциясы  дифференциалданатын  функция 



нҥктесінде,  бҧл  Ферма 

теоремасы бойынша  

 болады. 

 

 

3.



 

Лагранж  теоремасы:  Егер 

  функциясы   

  аралығында 

анықталған және де: 

1)

 

аралығында ҥзіліссіз, 



2)

 

 аралығында 



 функциясы дифференциалданатын болсын, 

онда  ол  интервалдың  ішіндегі  ең  болмағанда  бір 

  нҥктесінде 

 теңдігі орындалады. 



      Дәл

‒і:  

 бір кӛмекші функциясын аламыз: 





 b 

 C 





f(a)=f(b) 

 

      Кӛмекші 

  функциясы  Ролль  теоремасының  бҥкіл  шарттарын 

қанағаттандырады: 

1)

 

 



функциясы 

аралығында 

ҥзіліссіз 

(екі 


ҥзіліссіз 

функциялардың  айырымы  болып  тҧр,  яғни 

  және  сызықтық  функция 

), 

2)

 

  функциясы 



  аралығында  дифференциалданатын  функция, 

яғни 


, 

3)

 



 және 

,  яғни 


. 

      Бҧдан  Ролль  теоремасы  бойынша,    бір 

  нҥктесі  табылып  және 

сол нҥктеде 

 болады, яғни: 

  

 . Теорема дәлелденді. 



      Енді Лагранж теоремасының геометриялық мағынасына тоқталайық. 

 

  шамасы 

  қимасының  бҧрыштық  коэффициенті.  Ал 

  бҧл 


  қисығына 

  нҥтесінде  жҥргізілген  жанаманың 

бҧрыштық коэффициенті. 

    қисығының  бойында  ең  болмағанда  бір 

нҥкте  табылатын,  ол  нҥкте  арқылы  қисыққа  жҥргізілген  жанаманың  сол 

қисықтың  екі  шетін  қосатын   

  хордасына  параллель  болатынын 

кӛрсетеді. 

 



 a 



  C 

 b 

α 

α 

α 

f(b) 

f(a) 

M

1

 

M

2

 


4.

 

Коши  теоремасы:    Егер 

  және 


    функциялары   

 

аралығында  ҥзіліссіз, 



  интервалында  дифференциалданатын  болсын, 

сонымен  бірге 

.    Онда 

  аралығында  ең  болмағанда  бір   

 

нҥктесі табылып, мына теңдік орындалады: 



 

Дәл‒і:  

 аралығында бір кӛмекші функциясын аламыз: 



 

      Кӛмекші 

 функциясы 

 аралығында Ролль теоремасының бҥкіл 

шарттарын қанағаттандырады: 

1)

 



 функциясы 

аралығында ҥзіліссіз, 

2)

 

 функциясы 



 аралығында дифференциалданады, 

3)

 



      және 

    болғанда, 

    және   

,    бҧдан 

. Ролль теоремасы бойынша бір 

,  


: 

   


 екендігін ескерсек, теорема дәлелденді. 

 

2. Анықталмағандықты ашу 

  символдары    анықталмағандар  деп 

аталады. 

Бҧл кӛрсетілген анықталмағандықтар Лопиталь енгізген ереже бойынша 

ашылады. 

1)

 

  тҥріндегі анықталмағандықты ашу 



Теорема:  Егер 

 және 


  функциялары ҥшін: 

а) Олар 


 жарты интервалында анықталған; 

б) 


в) 


  пен   

  туындылары 

  жарты  интервалында  ақырлы, 

сонымен бірге 

г)  ақырлы  не  ақырсыз  шек 



  бар  шарттары  орындалса, 

 болады. 



Сӛйтіп,  Лопиталь  ережесінің  мағынасы  функцияның  қатынастық  шегін 

табу  мәселесін  олардың  туындылары  бар  болған  жағдайда  сол  туындылар 

қатынасының шегін табу мәселесіне аударуда болып табылады. 

Егер  туындылардың  қатынасының  шегі  де        тҥрінде  анықталмағандық 

болып  шықса,  онда  жоғарғы  ережені  туындылар  қатынасын  қайталап 

қолдану керек болады (яғни ереженің қолдану шарты орындалса). 

2)

 

  тҥріндегі  анықталмағандық.  Бҧл  анықталмағандықты  ашу  да 



Лопиталь ережесіне бағынады. 

3)

 



 Анықталмағандықтың 

басқа 


тҥрі 

практика 

сабақтарында 

қарастырылады. 

 

3.  Тейлор формуласы 

1)  Теорема:    Егер 

  функциясы 

  нҥктесінің  кейбір  аймағында 

 ретті туындысы болсын және   аргументі осы аймақтың кез 

‒ келген 

мәні  болсын.  Онда    нҥктесі  мен    нҥктесінің  аралығында  бір    нҥктесі 

табылады да, мынандай формула орын алады: 

 

 

(1)


 

  формуланы  Тейлор  формуласы  дейді,  ал  мына  ӛрнек   

  ― 

Лагранж тҥріндегі қалдық мҥшесі дейді: 



 

 

2) Маклорен формуласы 

(1) формуладан  

  болса, Маклорен формуласын аламыз: 

  

Мҧндағы 


      


 

 

IX  тарау.  ФУНКЦИЯНЫ  ТУЫНДЫНЫҢ  КӚМЕГІМЕН  ЗЕРТТЕУ. 



ФУНКЦИЯНЫҢ ӚСУІ МЕН КЕМУІ 

 

1.

 

Функцияның бірқалыптылық (монотондық) белгісі 

Теорема: Егер 

 функциясы 

 аралығында дифференциалданатын 

болса  жіне  осы 

  аралығында 

  болса,  онда 

 

функциясы осы аралықта кемімейді (ӛспейді).  



Дәл‒і:  мына  жағдайды  қарастырамыз 

.   


  жатқан 

кез  ‒  келген  нҥктелер  және 

  болса,  онда  осы 

кесіндісінде 

Лагранж теоремасының бҥкіл шарты орындалады. 

Теореманың 



шарты 

бойынша   

,  онда 

.  Бҧл 


  функциясы 

кемімейді деген сӛз. 

 

2.

 

Функцияның локальдік экстремумдық нҥктелерін табу  

Анықтама: 

нүктесі 

  функциясының  локальдіқ  максимумы 

(минимумы)  деп  аталады,  егер 

нҥктесінің  қайсы  бір 

  аймағынан 

алынған кез ‒ келген    нҥктесі ҥшін мына теңсіздік орындалса: 



 

 



1   2   3   4   5   6


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал