Математика және математиканы оқыту әдістемесінің кафедрасы



жүктеу 0.8 Mb.

бет4/6
Дата22.04.2017
өлшемі0.8 Mb.
1   2   3   4   5   6

5.

 

Ақырсыз кішкене және ақырсыз ҥлкен шамалар 

Анықтама:    Егер   

    болса,  онда 

    функциясы        

ға ҧмтылғанда ақырсыз кішкене деп аталады.  

Сол 

сияқты 


анықталады 

.  


Анықтама:    Егер  әрбір 

  саны  ҥшін 

саны  табылып, 

  тің 


барлық  мәні  ҥшін  теңдікті  қанағаттандыратын     

  мына  теңсіздік 

орындалса 

,    онда 

    функциясы 

  ҧмтылғанда  ақырсыз 



үлкен функция деп аталады: 

 

6.

 

Ақырсыз  кішкенелерді  ӛзара,  ақырсыз  ҥлкендерді  ӛзара 

салыстыру   

 

Мына функциялар: 

 және 

 

 ҧмтылғанда ақырсыз 



кішкенелер болады деп ҧйғаралық. 

Анықтама:    Егер 

  болса,    шамасы  ақырсыз  кішкене 

дан гӛрі жоғарғы ретті ақырсыз кішкене деп аталады. 

Мысалы:  Егер 

ті  алсақ,  олар 

  ҧмтылғанда 

ақырсыз кішкенелер болады. Бірақ   шамасы 

ға қарағанда жоғарғы ретті 

ақырсыз кішкене болады. 

Шынында: 

. 

      Анықтама:  Егер ақырсыз кішкенелер   мен 

ның қатынасының шегі 

нӛлден  ӛзге    санына  тең,  яғни 

  болса,   

  мен 

  бірдей 



реттегі ақырсыз кішкенелер деп аталады.  

      Мысалы: Егер 

 деп алсақ,  

 ҧмтылғанда   мен 

 бірдей реттегі ақырсыз кішкенелер болады. 

 

      Анықтама:    Егер  ақырсыз  кішкенелер    мен 

ның қатынасы 

 

ҧмтылғанда 



ешбір 

ақырлы 


шекке 

ҧмтылмайтын 

болса, 

олар 


салыстырылмайтын шамалар деп аталады. 

      Анықтама:    Егер 

  болып  және  ақырсыз  кішкенелер    мен 

  ҥшін 


  болса    (

  нӛлден  ӛзге  сан), 

  шамасы

мен 


салыстырғанда 

 ретті ақырсыз кішкене деп аталады. 

      Мысалы:  Егер 

  ал  


 болса,  

 ҧмтылғанда   

шамасы

мен салыстырғанда ҥшінші ретті ақырсыз кішкене болады. 



      Шындығында: 

      



Анықтама:  Егер ақырсыз кішкенелер   мен   ҥшін 

 болса, 


олар эквивалентті ақырсыз кішкенелер деп аталады. 

а)  Егер  берілген  ақырсыз  ҥлкендер    мен 

ның  қатынасының  шегі 

ақырсыздыққа  тең,  яғни     

    болса, 

  шамасы  ақырсыз 

ҥлкен


мен салыстырғанда жоғарғы реттегі ақырсыз үлкен деп аталады. 

б)  Егер 

    болса,    мен    бірдей  реттегі  ақырсыз  үлкен  деп 

аталады. 

в) Егер 

  болса, олар өзара эквивалентті ақырсыз үлкендер деп 

аталады.   

г) 


      (

)    орындалса, 

  ақырсыз  ҥлкен

мен 


салыстырғанда 

 ретті ақырсыз үлкен деп аталады.



 

  

 



V тарау. ҤЗІЛІССІЗ ФУНКЦИЯЛАР 

1.

 

Локальдық ҥзіліссіздіктің тҥрлі анықтамалары 

Анықтама:   Егер: 

1)

 



 функциясы 

 облысында анықталған; 

2)

 

 (



 деп белгілеу 

 нҥктесі 

жиынындағы нҥкте деген 

сӛз); 

3)

 

да   



  функциясының  шегі  бар  және  ол  шек 

 

функциясының    нҥктесіндегі мәніне тең болса, онда  



 функциясы  

 

нүктесінде үзіліссіз деп аталады, яғни 

. 

      Мысалы: 

  функциясының  ҥзіліссіз  функция  екенін 

кӛрсетейік. 

      Берілген функция сандар осінің кез 

‒ келген нҥктесінде анықталған, оның 

бір    нҥктесін алалық. 

, яғни 

 нҥктелерінде ҥзіліссіз. 



      Егер 

  функциясының   

  нҥктесінде  ҥзіліссіз  деп  ҧйғарсақ, 

  болар еді, (1) теңдіктен  

яғни  


 болады (мҧндағы 

).  


      Ендеше

 нҥктесінде 

 функциясы ҥзіліссіз болу ҥшін 

 әрі қажет, 

әрі жеткілікті шарт болып табылады, осыдан екінші анықтама шығады. 

 

      Анықтама:      Егер  берілген 



  функциясының  аргументінің  ақырсыз 

кішкене ӛсімшесіне функцияның да ақырсыз кішкене ӛсімшесі сәйкес келсе, 

ол   нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. 

      Мысалы: 

 


      Анықтама  (Коши  берген):      Алдын  ала  берілген 

    саны  ҥшін 

қандайда бір 

 саны табылып,  

 функциясының анықталу облысында 

тердің 


  теңсіздігін  қанағаттандыратын  барлық  мәндері  ҥшін 

 теңсіздігі орындалса, онда 

 функциясы  

 нүктесінде 

үзіліссіз деп аталады.  

      Мысалы: 

    функциясының   

  нҥктесінде  ҥзілісіз 

екендігін дәлелдеу керек. 

болады.  Яғни  кез  ‒  келген  сан

  ҥшін   

  саны  табылып 

және  сонымен  байланысты 

  теңсіздігі  орындалысымен  бірге 

 теңсіздігін теңсіздігінің орындалуын дәлелдеуіміз керек. 

 

2.



 

Функцияның біржақты ҥзіліссіздігі 

Анықтама: а) Егер 

 функциясының  

 нҥктесіндегі сол жақтық шегі 

оның сол нҥктедегі мәніне тең болса, яғни, егер мына шарт орындалса: 

 

  орындалса, 



    функциясы   

 

нүктесінде сол жағынан үзіліссіз функция деп аталады. 

б)  Егер 

  функциясының   

  нҥктесіндегі  оң  жақтық  шегі  оның  сол 

нҥктедегі мәніне тең болса, яғни: 

 

  теңдігі  орындалса, 



    функциясы  

 нүктесінде оң жағынан үзіліссіз функция деп аталады. 

в)  Егер    жиынында  анықталған 

    функциясы  ол  жиынның  әрбір 

нҥктесінде  ҥзіліссіз  болса,  онда 

  бүкіл 



  жиыны  бойында  үзіліссіз 

функция деп аталады. 

 

3.



 

Ҥзіліссіз функцияларға амалдар қолдану 

а) Ҥзіліссіз функцияның қосындысы да ҥзіліссіз функция болады. 

б) Екі ҥзіліссіз функцияның айырымы да ҥзіліссіз болады. 

в)  Егер  мына  функцияның   

  әрқайсысы   

 

нҥктесінде ҥзіліссіз болса, олардың кӛбейтіндісі: 



  де  сол 

  нҥктесінде  ҥзіліссіз  функция 

болады. 

г) Егер 


 функциясы  

 нҥктесінде ҥзіліссіз болса, оның кез 

‒ келген 

натурал дәрежесі де сол нҥктеде ҥзіліссіз функция болады. 

ж)  Егер 

    мен   

    функцияларының  әрқайсысы 

  нҥктесінде 

ҥзіліссіз,  сонымен  бірге 

  болса,  олардың   

қатынасы  да  сол 

 

нҥктесінде ҥзіліссіз функция болады. 



з)  Егер 

  функциясы   

  нҥктесінде  ҥзіліссіз  болса,  ол  функцияның 

абсолюттік шамасы 

 да сол нҥктеде ҥзіліссіз функция болады. 

 

4.



 

Ҥзіліссіз функциялардың қасиеттері 

Теорема:    Егер 

  функциясы   

  нҥктесінде  ҥзіліссіз  және 

 

болса, онда бір 



 саны табылады да 

  маңайының барлық 

нҥктелерінде  функция  ӛзінің  таңбасын  сақтайды,  ол  таңба 

  санының 

таңбасымен бірдей болады. 

Дәл‒і: 

  деп  белгілейік.  Теореманың  шарты  бойынша 

 

нҥктесінде  



 функциясы ҥзіліссіз. Олай болса, берілген 

 саны ҥшін 

бір 

  саны  табылады  да, 



  тің 

    шартын 

қанағаттандыратын барлық мәндері ҥшін: 

 

теңсіздіктері 



орындалады, сонымен қатар берілгені бойынша  

.  Олай болса: 

а)  

  не  б) 



  болуы тиіс. 

Егер2n   

  десек,   

  .  Сонда   

 

болады да,  (1) теңсіздіктердің сол жағынан барлық 



  ҥшін 

  болатындығын байқаймыз. 

Егер   

  десек,   



  болады,  бҧл  жағдайда      (1) 

теңсіздіктердің  оң  жағынан  барлық 

ҥшін 

деген 


қорытындыға келеміз.  

Теорема дәлелденді. 

 

Теорема  1  (Больцано  ‒  Коши):    Егер 

  функциясы 

сегментінде 

ҥзіліссіз  және 

сегменті  шеттерінде 

  функциясының  мәндерінің 

таңбалары  әр  тҥрлі  болса,  онда 

сегментінің  ең  болмағанда  бір  ішкі 

нҥктесінде (яғни 

 болады. 



Дәл‒і:  

 

 



кесіндісін  қақ 

бӛлеміз, 

егер 

функцияның 



мәні 

кесіндінің  ортасындағы 

нҥктеде 

 

ге  тең 



болса,  онда  теорема 

дәлелденді.  

  және 

 

сегменттері 



пайда 

болады.  

       Егер 

 

болып  шықса,    нҥктесі 



f(a) 

f(b) 





  b 

  x 

  y 

деп   

  ны  алуға  болады.  Енді  сегменттердің  шеткі  нҥктелерінде 

функцияның  әртҥрлі  мәндері  болатын  сегментті 

деп  белгілейміз. 

Осылай бҧл процессті шексіз жалғастыра береміз. 

Сонымен 



бірге 

 ҧмтылғанда. 

Сондықтан 



 



Теорема  2  (Больцано  ‒  Коши):    Егер 

  функциясы 

сегментінде 

ҥзіліссіз  және 

сегменті  шеттерінде 

  функциясының  мәндері 

ӛзара тең емес және  саны   мен 

 ның арасындағы 

кез ‒ келген сан болса, онда  мен 

 ның арасында жататын ең болмағанда 

бір нҥкте   табылып,  

 болады. 



Дәл‒і:   

  деп  ҧйғарайық. 

  болады.  Бір  кӛмекші  функция 

  қҧралық.   

  функциясы  да  ҥзіліссіз  (себебі  екі  ҥзіліссіз 

функцияның айырымы).  

Сӛйтіп,   

сегментінде  кӛмекші  функция 

  ҥзіліссіз  және  шеткі 

нҥктедегі  оның  мәні  әртҥрлі  болып  отыр.  Яғни  Больцано  ‒  Коши  бірінші 

теоремасының  шартын  қанағаттандырады.  Олай  болса 

мен 

  ның 


арасында жататын бір    нҥктесі табылады да 

.  


 Бҧдан 



 



Теорема  (Вейерштрасстың  1‒ші  теоремасы):    Егер 

  функциясы 

сегментінде  ҥзіліссіз  болса,  онда   

  функциясы  сол  сегментте 

шенелген функция.  

Дәл‒і:   СӚЖ

 

Теорема  (Вейерштрасстың  2‒ші  теоремасы):    Егер 

  функциясы 

сегментінде ҥзіліссіз болса, онда функция сол сегментте ең болмағанда 

бір рет ӛзінің ең ҥлкен мәнін, бір рет ең кіші мәнін қабылдайды. 

 Дәл



‒і:   

 

 

    Мынандай 

  

нҥктелері бар болады: 



 

 

Бҧл 


теорема 

бойынша 


 

функциясы 

 

сегментінде  шенелген 



f(b) 



  a 

x



    b 

   x 

   y 

   x



   m 

функция  болады.  Бҧлай  деу  ―  функция  мәндерінің    жиыны 

  те 


сегментінде  шенелген  жиын  деген  сӛз.  Cӛйтіп 

  шартын 

қанағаттандыратын 

тің барлық мәндері ҥшін: 



 арақатынастары орындалады.  

Енді мынаны кӛрсетеміз, яғни   нҥктесі табылып 

 

 нҥктесі ҥшін  



 болатындығын.  

 

      Қарсы жориық



 функциясы 

 аралығында  

 ге тең болатын 

бірде  бір  нҥкте  болмасын  деп.  Онда  барлық 

  тер  ҥшін 

  мына 


теңсіздік  дҧрыс   

.  Енді   

  аралығынан  оң  кӛмекші  функция 

аламыз:  

 функциясы ҥзіліссіз және Вейерштрасстың бірінші теоремасы бойынша 



шенелген  функция.  Олай  болса, 

  саны  табылып, 

тің   

 

аралығындағы барлық мәндері ҥшін мына теңсіздік орындалады: 



.   Яғни 

нен, сондықтан 

  

ең жоғарғы шекарасы болады   жиынының. 



 

      Ал негізінде    ― ең жоғарғы шекарасы, ал бҧл тҧжырым қарсы. 

      Бҧдан  мынандай  қорытынды  жасауға  болады:   

  нҥктесі  бар  болады 

,   бҧл нҥктеде  

 болатын. 



5.

 

Функцияның бірқалыпты ҥзіліссіздігі 

 белгілі бір  

  облысында ҥзіліссіз функция десек, ол функция 

сол  облыстың  қҧрамындағы  әрбір 

  нҥктесінде  ҥзіліссіз  болады  деген 

боламыз. 

Бҧл әрбір жеке нҥкте 

 ҥшін берілген  

 саны ҥшін  қандайда бір 

  саны  табылып,іздігін   

    теңсіздігі  орындалысымен 

бірге  


  теңсіздігі сӛзсіз орындалады. 

Демек  


 саны алдын ала берілген 

 санына тәуелді.  

Сонымен қатар  

 санын анықтау тек  

 санына ғана тәуелді емес, 

оның  шамасы 

  нҥктесін  қалай  алуымызбен  де  байланысты.  Яғни 

берілген   

    санын  ӛзгертпей,   

  нҥктесінің  орнын  ӛзгертетін  болсақ, 

жалпы айтқанда     саны да ӛзгереді. 

      Енді осыдан мынандай сҧрақ туады: қайсы бір аралықта анықталған және 

ҥзіліссіз функция ҥшін кез ‒ келген  

  саны ҥшін  

 саны табылатын 

  нҥктесінен  байланыссыз  және        барлық   

  тер  ҥшін  осы  қарастырған 

аралықта ӛзгермейтіндей. Бҧл сҧраққа келессі анықтама жауап береді. 

 


  Анықтама:  Егер  берілген  әрбір  сан   

  ҥшін  бір   

  саны 

табылуымен  бірге,      аралығында  болатын  және   



  теңсіздігін 

қанағаттандыратын кез ‒ келген екі нҥкте   мен   ҥшін: 

 

теңсіздігі  орындалса, 



  функциясы      аралығында  бірқалыпты  үзіліссіз 

функция деп аталады. 

Бҧл  анықтама  бойынша  бір  ‒  біріне  мейлінше  жақын   

  мен 

 

нҥктелерін      жиынының  қай  жерінен  алсақ  та,   



  айырымы 

ақырсыз кішкене шама болуы тиіс екенін байқаймыз. 

Басқаша айтқанда,  

 функциясының бір қалыпты ҥзіліссіз болуының 

мағынасы  аргумент   

  тің  екі  мәнінің  бір 

‒  біріне  жақындық  дәрежесі     

жиынының  барлық  нҥктелерінде  бірдей  болған  жағдайда  аргументтің  сол 

мәндеріне  сәйкес  функция  мәндерінің  де  бір  ‒  біріне  жақындығын  алдын  ‒ 

ала керекті дәрежеге жеткізуге болатындығында. 

Демек,  егер  функцияның  локалдық  ҥзіліссіздігі  ол  функцияның  қалап 

алған  нҥктесінің  маңайында  ғана  ӛзгеруін  сипаттаса,  функцияның  бір 

қалыпты  ҥзіліссіздігі  оның  берілген  аралығының  бҥкіл  бойындағы  ӛзгеруін 

сипаттайды. 

 

6.

 

Функцияның ҥзіліссіз нҥктелері    

Анықтама:    Егер 

  функциясы 

  нҥктесінде  ҥзіліссіз  функция 

болмаса,     нүктесі  



  функциясының  үзіліс  нүктесі  деп  аталады.  Яғни 

мына шарт орындалуы керек: 

 

Жоғарыда  берілген  анықтама  оң  жақты  ҥзіліс  және  сол  жақты  ҥзіліс 



нҥктелері ҥшін мына тҥрде айтылған болар еді: 

Егер   


  функциясының   

  нҥктесіндегі  мәні  сол  функцияның  осы 

нҥктедегі сол жақты шегіне тең болмаса, яғни: 

 

шарты  орындалса, 



  нүктесі  берілген   

  функциясының  сол  жақты 

үзіліс нүктесі деп аталады. 

      Сол сияқты,  

 

шарты орындалса,     нүктесі берілген  



 функциясының оң жақты үзіліс 

нүктесі деп аталады. 

 

7.



 

Ҥзіліс нҥктелерінің жіктелуі (классификациялары) 

1)

 

Егер    нҥктесінде  



 функциясының ақырлы шегі де, 

 мәні де 

бар болып, бірақ олар ӛзара тең болмаса, яғни:  

 

 



болса,    нҥктесі жөнделінетін үзіліс нүктесі деп аталады. 

      


  нҥктесі  берілген  функциямыз 

  кесіндісінің  не  оң  жақ, не  сол  жақ 

шегі болса, ол нҥкте  

 

 



шарттарының  бірі  орындалғанда  ғана  жӛнделінетін  ҥзіліс  нҥктесі  болады. 

―Жӛнделінетін ҥзіліс нҥктесі‖ дегеніміз, яғни   нҥктесіндегі мәнін ӛзгертіп  

  тің  орнына 

  ті  алсақ  функциямыздың 

 

нҥктесінде ҥзіліссіз болуын толық қамтамасыз етеді. 



 

      Мысалы:  

      Мына функцияның ҥзіліссіз не ҥзілісті екендігін анықтау керек: 

  

 



 

       


Шешуі: 

ӛйткені 



Сонымен 


қатар 

сондықтан 



 

нҥктесі 


жӛнделетін ҥзіліс нҥктесі болады. 

 

 



 

 

2)



 

Егер    нҥктесінде  

  функциясының оң жақтық  және  сол  жақтық 

ақырлы шектері бар болғанымен, олар ӛзара тең болмаса, яғни: 

 

болған жағдайда    нүктесі  



 функциясының ақырлы секірмелі болатын 

үзіліс  нүктесі  деп  аталады  да,  ал   

    саны   

 

функциясының    нүктесіндегі секірмесі деп аталады.   

      Мысалы:  

        функциясы берілсін. 





y  





  -2 


 

 және 


Сонымен 


 саны 

функцияның 

 нҥктесіндегі 

секірмесінің шамасын кӛрсетеді.  

 

 

 



 

 

 



3)

 

 



нҥктесінде 

 

 



функциясының  бір  жақтық 

шектері 


 

пен 


 

тердің 


ең 

болмағанда біреуі шексіздікке айналатын жағдай. 

 

      Мысалы:  Егер 



  функциясы  берілсе,  ол  ҥшін 

    ҥзіліс 

нҥктесі  болады.  Ӛйткені 

  ке  тең,  ал 

 болады. 

 

       



Яғни 

  нҥктелері ҥзіліс нҥктелері болады. 

      Мысалы:  

 3 





 y 

 

 

 

 

 

 

  0 

  y  



 

функциясын    алсақ,  ол   

    нҥктесінде  оң  жағынан  ҥзілісті  функция 

болатынын байқау қиын емес, ӛйткені: 

  

Бҧл  


  нҥктесінде сол жақты ҥзіліссіз функция, ӛйткені: 

 және 


Қорыта келгенде, келессі тҧжырымға келеміз. 

Жӛнделінетін  ҥзіліс  нҥктелері  мен  функцияның  ақырлы  секірмесі  бар 

болатын ҥзіліс нҥктелерін бірінші түрдегі үзіліс нүктелері деп атайды.  

Функцияның  ҥзіліске  ҧшырайтын  басқа  нҥктелерінің  барлығы  екінші 

түрдегі үзіліс нүктелері деп аталады.   

 

8.



 

Кері функция және оның ҥзіліссіздігі 

  жиынында  анықталған 

    функциясы  берілсін. 

арқылы 


  функцияның  мәндерінің  жиынын  белгілейік.  Сонда 

функцияның  анықтамасы  бойынша    жиынындағы  әрбір    санына  белгілі 

ереже  бойынша    жиынында  толық  анықталған  бір    саны  сәйкес  келеді. 

Алайда бҧл ереже бойынша   жиынынан алынған бір сан 

 ке жалғыз ғана 

  сәйкес  келіп  қоймай,  ол 

  жиынында  болатын  бірнеше  сан  сәйкес 

келетін болып шығуы мҥмкін. 

Демек,  (1)  функцияны  анықтайтын    мен    жиындары  элементтерінің 

арасындағы сәйкестік ӛзара бірмәнділік сәйкестік болмай шығуы мҥмкін. 

 

Мысалы 

.    Анықталу  облысы 

  болады,  ал  функция 

мәндерінің  жиыны 

  болады.  Сонымен  бірге  аргументтің  нӛлге  тең 

емес кез ‒ келген екі мәніне функцияның тек бір   ақ мәні сәйкес келеді. 

Сондықтан 

 функциясының анықталу облысы мен функция мәндері 

жиынының арасында бірмәнділік сәйкестік орнамайды. 

Енді жоғарыда 

 функцияны анықтаған тәртіпті керісінше пайдалансақ, 

яғни 


 жиынын аргумент мәндерінің жиыны деп қарасақ 

 

тҥріндегі   жиынында анықталған функция тапқан болар едік. 



Міне  осы 

  функциясын  берілген 

  функциясына  кері 

функция деп атайды. 

 

Анықтама:  Егер  анықталу  облысы 

,  ал  мәндерінің  жиыны 

  болатын 

  функциясы  беріліп,  белгілі  заң  немесе  ереже 

бойынша әрбір 

ке 

  тің 


  жиынында  бір  немесе  бірнеше  мәндері 

сәйкес  келетін  болса,  бҧл  сәйкестік  анықталу  облысы    болатын  берілген 



  функциясында  кері  функция  деп  аталатын   

  функциясын 

айтады. 

Егер  әрбір 

ке  тек  қана  жалғыз 

  сәйкес  келіп  отырса,  бҧл 

 кері функциясын бір мәнді, қарсы жағдайда ― кӛп мәнді функция 

деп атайды. 

Енді  мынандай  сҧрақ  тууы  мҥмкін:  қандай  функциялардың  кері 

функциясы  болады  және  функция  қай  кезде  ҥзіліссіз  болады.  Бҧл  сҧраққа 

мына теорема жауап береді. 

 

Теорема:    Егер  мына  функция 

  бір 

  облысында  анықталған, 



ҥзіліссіз  және  бір  сарынды  ӛспелі  не  бір  сарынды  кемімелі  болса,  онда 

берілген  функцияның  мәндер  жиыны 

те  анықталған  бір  мәнді 

  кері  функциясы  бар,  ҥзіліссіз  және  не  бір  сарынды  ӛспелі,  не  бір 

сарынды кемімелі функция болады. 

(Элементарлық 

функциялардың  ҥзіліссіздігі  практика  сабағында 

қарастырылады).  

 

 

 VI  тарау.  БІР  АЙНЫМАЛЫДАН  ТӘУЕЛДІ  ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ 




1   2   3   4   5   6


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал