Математика және математиканы оқыту әдістемесінің кафедрасы



жүктеу 0.8 Mb.

бет3/6
Дата22.04.2017
өлшемі0.8 Mb.
1   2   3   4   5   6

6.

 

Жҧп және тақ функциялар 

Анықтама:    Егер 

жиынының  қҧрамындағы  кез  ‒  келген    санымен 

бірге  оған  симметриялық 

  саны  да  кірсе,  ол 

жиыны  симметриялық 

жиын деп аталады. 

Анықтама:    Егер 

  функциясы  симметриялық  облыста  берілсе  және 

сол облыстағы аргумент   ‒ тің кез ‒ келген мәні ҥшін: 

 

теңдігі  орындалса, 



  сол  симметриялық  облыста  жұп  функция  деп 

атайды. 


      Басқаша  айтқанда:  Егер  аргументтің  мәні   

‒  ті 


 

‒  ке  ауыстырғанда 

 

‒ тің мәні ӛзгермейтін болса, 



 

‒ ті жұп функция деп атайды. 



Анықтама:    Егер 

  функциясы  симметриялық  облыста  беріліп 

облыстағы аргумент   ‒ тің кез ‒ келген мәні ҥшін: 

 

теңдігі орындалса, 



 функциясы сол облыста тақ функция деп атайды. 

      Мысалы: 

 

7.

 

Периодты функциялар 

Анықтама:  Егер  

  функциясы  анықталу   облысындағы   аргумент  

 

‒ тің әрбір мәні ҥшін:  



 



 





теңдігі орындалатын нӛлге тең емес   саны табылатын болса, 

 периодты 



функция, ал   саны 

 функциясының периоды деп аталады. 

      Мысалы: тригонометриялық функциялар 

      



    пен 

 

‒  тің    ең  кіші  (немесе)  негізгі  периоды 



,    ал 

  пен 


 

‒ тің периоды  . 

 

 

ІІІ тарау. САНДЫҚ ТІЗБЕКТЕР 



1.

 

Тізбектің шегі 

Математикалық анализдегі негізгі ҧғымдардың бірі ― шек туралы ҧғым. 

Бҧған  анықтама  беруді  әуелі  функцияның  ең  жабайы  және  дербес  тҥрінің, 

атап  айтқанда,  натурал  аргумент    ‒  нің  функциясы 

 

‒  нің  шегін 



анықтаудан бастаймыз 

 

Айнымалы 



 

‒  нің  мәндерінен 

    тізбегін 

жасайық. 



Анықтама: Алдын ‒ ала берілген кез ‒ келген аз оң сан   ҥшін әрқашан 

да    нӛмірі  табылып, 

  теңсіздігін  қанағаттандыратын   

‒  нің  барлық 

мәндері ҥшін: 

 

теңсіздігі  орындалса,    саны  айнымалы 



 

‒  нің  (

  функциясының 

немесе


 тізбегінің ) шегі деп аталады және былай белгіленеді:  

 

      Геометриялық мазмҧнын анықталық: 



 

        


‒ нің    ‒ нен ҥлкен барлық мәндері ҥшін 

 теңсіздік (оған пара 

‒ пар 

)  орындалатын  болғандықтан 



  нҥктесінен  басқа 

барлық 


  нҥктелері 

  интервалының  бойында  болады.  Бҧл 

интервалдың сыртында айнымалы   ‒ нің санаулы мҥшелері ғана қалады. 

      Мысалы:  

1)

 

 тізбегінің шегі    



Сандар осінде нҥктелер 

 ге шоғырланады. 



 

 



 

 

 



 

 

 

       Енді кез 

‒ келген аз сан 

 берілсін делік, мына теңсіздікті шешуіміз 

керек: 

бҧдан 


,  белгілі 

‒  бір 


    нӛмірінен  бастап,  яғни 

 

барлық мәндері ҥшін бҧл теңсіздік қанағаттандырылады. 



2)

 

 тізбегінің шегі    



Енді 

 санын береміз және мына теңсіздікті шешеміз. 

 

  орындалса, 

 теңсіздігі де орындалады, яғни тізбектің шегі  .  

 

 

3)



 

Жалпы  мҥшесі 

    болатын  сан  тізбегінің  шегі   

 

болатынын дәлелдеу керек. 



Шешуі: Тізбектің шегінің анықтамасына сәйкес     саны жоғарғы берілген 

тізбектің  шегі  болуы  ҥшін  алдын  ‒  ала  берілген  кез  ‒  келген  аз 

  саны 

ҥшін натурал сан   табылып,   ‒ нің    ‒ нен ҥлкен барлық натурал мәндері 



ҥшін:  

 

теңсіздігі орындалуы керек. 



      Демек, біздің ҧйғаруымызды дәлелдеу ҥшін 

 болғанда 

 теңсіздік 

орындалатын   санының бар екенін кӛрсетуіміз керек. 



 



 



 

 

 

      Шынында: 

 .  


      Сондықтан 

 теңсіздігі мына тҥрге келеді: 

 

 теңсіздігі орындалуы ҥшін:  



  

      


  болуы  тиіс,  сонда  натурал  сан   

 

‒  нен 



  ді  алуға 

болады. Яғни 

.  

         саны  еркін  алынатын 



    санына  тәуелді  екендігін  жоғарыда 

айтқанбыз. 

      Егер 

 десек:   

 

      Сонда 



 тен артық барлық натурал   ҥшін  

 теңсіздік орыдалады. 

 

2.

 

Тізбектің шегінің қасиеттері 

      Анықтама:  Шегі  бар  және  ол  нақты  сан  болатын  тізбекті  жинақталатын 



тізбек дейді. 

      1°. Тізбектің тек қана бір шегі болады (тізбек 

). 

      2°.  Егер  тізбектің  бҥкіл  мҥшелері бір  тҧрақты  сан 



ға тең болса, онда 

тізбектің шегі де  

ға тең болады.  

      Шынында

  .  Сондықтан   

санының  кез  ‒ 

келген аймағында бҥкіл тізбектің мҥшесі болады. 

      3°. Егер  тізбектің  шегі болса, онда  ол  тізбек  шектелген, яғни оның  бҥкіл 

мҥшелері екі тҧрақты сандардың арасында болады.  

      Демек,  

 


 

 

 аймақтың сыртында тек қана тізбектің санаулы ғана мҥшелері 



болады. Барлық мҥшелері   санына шоғырланады. 

      Сондықтан,  бҧл  аймақты  ҥлкейтуге  болады,  қалған  бҧкіл  мҥшелері 

кіретіндей 

 

      4°. Егер тізбектің шегі бар болса  , онда оның кез 



‒ келген тізбекшесінің 

шегі де бар болады және ол 

 ға тең болады. 

3.

 

Бірсарынды (монотондық) айнымалының (тізбектің) шегі   

Айнымалы 

  берілген  делік.  Оның  мәндерінен  мҥшелері  сансыз  кӛп 

  сан тізбегін қҧралық. 



Анықтама:    Егер 

  ,  яғни 

 

болғанда  



 болса, 

 тізбек (немесе айнымалы 

өспелі тізбек деп 

аталады.   



Анықтама:    Егер 

  ,  яғни 

 

болғанда  



 болса, 

 тізбек (немесе айнымалы 

кемімейтін тізбек 

деп аталады.   



Анықтама:    Егер 

  ,  яғни 

 

болғанда   



  болса, 

  тізбек  (немесе  айнымалы 

)  кемімелі  тізбек 

деп аталады.   



Анықтама:    Егер 

  ,  яғни 

 

болғанда  



  болса, 

  тізбек  (немесе  айнымалы 

)  өспейтін  тізбек 

деп аталады.   

Монотондық 

(бірсарынды) 

айнымалы 

жайында 


келессі 

теоремаларды қарастырамыз. 



Теорема  1:  Егер 

  ӛспейтін  бірсарынды  және  тӛменнен  шенелген 

айнымалы болса, оның ақырлы шегі болады.  

Дәл‒і:  Теореманың шарты бойынша айнымалы 

 тӛменнен шенелген, 

сондықтан 

 

Осы 



  санының  қарастырылып  отырған  айнымалы 

  нің  шегі 

екендігін дәлелдесек болады.   

 : 


а) барлық 

 дер ҥшін 

 орындалады; 

 

 



 

 

 



б)  кез  ‒  келген 

    ҥшін 

  нӛмірі  табылады  да 

  теңдігі 

орындалады. 

Ал 


ӛспейтін  айнымалы.  Олай  болса, 

  болғанда 

 

болады. Демек, 



 болғанда 

теңдігі орындалады. 

мен 

  арақатынасы 



    қандай  да  сан  болса  да, 

  нӛмірі 

табылып,   

  теңсіздігін  қанағаттандыратын  барлық 

  дер  ҥшін 

 теңсіздігі орындалады. 

Бҧдан 

.  


Теорема  2:  Егер 

  жоғарыдан  шенелген  кемімейтін  бірсарынды 

айнымалы болса, оның ақырлы шегі табылыды. 

Теорема 3: Егер   тӛменнен шенелмеген ӛспейтін бірсарынды айнымалы 

болса, оның шегі 

 болады. 

Теорема  4:  Егер 

  жоғарыдан  шенелмеген  кемімейтін  бірсарынды 

айнымалы болса, оның шегі 

 болады. 

 

4. Тізбекшелер (бӛлік тізбектер). 

Анықтама:  Егер  нақты  сандардан  қҧралған 

тізбегінің    кейбір    бӛлігін,    яғни     



  тізбегін    

бӛліп  шығарсақ    (мҧндағы   

  ―  натурал    сандар  және 

  ),   


    тізбек 

  тізбектегі  тізбекше  немесе 

 тізбектің бөлік тізбегі деп аталады. 

Мысалы:  

а)  Егер 

    тізбегі  берілсе,  оның  қҧрамындағы  жай 

сандардан  қҧралған 

  тізбегі  берілген 

тізбектегі тізбекше (бӛлік тізбек) болады. 

б)    Егер 

  тізбегі  берілсе 

 

берілген  тізбектегі  тізбекше 



болады. 

Егер  берілген 

  тізбектің  шегі  болса,  тізбек  шегінің  анықтамасына 

сәйкес 


 тізбектегі 

 тізбекшенің де шегі сол болар еді. 

Бірінші  мысалдағы  тізбектің  шегі 

,  оның  тізбекшесінің  де  шегі  сол 

 болады. 


Жалпы  мҥшесі   

  болатын  шенелген  тізбек  берілді  делік.  Бҧл 

тізбектің  шегі  жоқ.  Алайда,  бҧның  мҥшелерінен  мына  екі  тізбекшені  бӛліп 

шығаруға болады: 

а) 

  

б) 



.  

Екеуінің  де  шегі  бар:  а)  тізбекшесінің  шегі 

  саны  да,  ал  б) 

тізбекшесінің шегі 

 саны. 

Келтірілген  мысал  кез  ‒  келген  шенелген  тізбектің  қҧрамынан  ақырлы 



шегі бар тізбекшені бӛліп шығаруға болатындығын кӛрсетеді. 

Больцано ‒ Вейерштрасс теоремасы:  Егер берілген 

 тізбек шенелген 

болса, оның қҧрамынан ақырлы шегі бар тізбекше бӛліп шығаруға болады.  

 

5.



 

Шексіз ҥлкен және шексіз аз тізбектер 

Анықтама:  Егер  алдын  ала  берілген  кез  ‒  келген 

  саны  ҥшін 

саны  табылып, 

  теңсіздігін  қанағаттандыратын 

  нің  барлық 

мәндері  ҥшін 

  теңсіздігі  орындалатын  болса, 

  тізбегін  шексіз 



үлкен деп атайды ( немесе айнымалы 

 шексіз үлкен шама дейді).  

Ол былай жазылады: 

немесе  


.  

Мысал шексіз үлкен шамаларға:  

1)

 



 

2)

 



 

3)

 



 

1)

 



.  Қандай  да  басқа    , 

  ,    барлық  

 дер ҥшін белгілі бір нӛмерден. 

 Анықтама: Егер алдын ала берілген кез 

‒ келген мейлінше ҥлкен

 

саны  ҥшін 



нӛмірі  табылып, 

 теңсіздігін  қанағаттандыратын 

 

нің барлық мәндері ҥшін 



 теңсіздігі орындалатын болса, 

 тізбегі 

(айнымалы 

оң шексіз үлкен деп аталады.  

      

немесе  




Анықтама:  Егер  алдын  ала  берілген  кез  ‒  келген

  саны    ҥшін 

нӛмірі  табылып, 

 теңсіздігін  қанағаттандыратын 

 нің барлық 

мәндері  ҥшін 

  теңсіздігі  орындалса, 

  тізбегі  (айнымалы 



теріс шексіз үлкен деп аталады.  

 

      



немесе  



Анықтама:    Айнымалы 

 

‒  ді  шексіз  кіші  дейді,  егер 



       

ҧмтылса. 



 теңсіздік мынаны білдіреді: 

Кез ‒ келген 

 ҥшін: 

 теңсіздігі барлық 



 нің 

 

ҥшін орындалады. 



 

 

IV тарау. ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ 



      Анықтама (Гейне берген):  

      Егер:  

1)

 

 облысында анықталған 



 функциясы берілсе, 

2)

 



Сан тізбегі 

    жиынындағы сандардан қҧралған 

кез ‒ келген тізбек болса, 

3)

 



 шамасы 

 тізбектің шегі болып, сонымен бірге ол тізбектің бірде 

‒ 

бір мҥшесі 



ға тең болсама

4)

 



аргументінің 

  тізбектегі  мәндеріне  сәйкес  берілген  функция 

мәндерінің тізбегі  

 

әрқашан да бір   шамасына жинақталатын болса,   



 ға ұмтылғанда 

 

функциясы 

 ға ұмтылады деп атаймыз да,   шамасы 

 функциясының 



 нүктесіндегі шегі деп аталады.  

      Бҧл былай жазылады: 

 

      Анықтама (Коши берген): Егер алдын 



‒ ала берілген кез ‒ келген қандай 

да бір аз сан 

  ҥшін 

саны табылып  



 функциясының анықталу 

облысындағы 

  тің 

  ға  тең  емес  және 



  теңсіздігін 

қанағаттандыратын кез ‒ келген мәндер ҥшін: 



 

теңсіздігі орындалса,   шамасы 

 функциясының

 

 ға ұмтылғандағы 



шегі деп аталады. 

      Бҧл 

мен 

  ның  орнында 



  символдарының  бірі  болған 

жағдайда функция шегінің анықтамасын былай айтуға болады: 

1)

 

Егер  алдын  ‒  ала  берілген  кез  ‒  келген   



  саны  ҥшін 

  саны 


табылып, 

  функциясының  анықталу  облысындағы 

  тің 

 

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық міндері ҥшін: 



 

теңсіздігі  орындалса,    шамасы 

  функциясының  аргумент 

 

  ке 



ұмтылғандағы шегі деп аталады: 

 

2)



 

Егер  алдын  ‒  ала  берілген  кез  ‒  келген 

  саны  ҥшін 

саны 


табылып, 

  функциясының  анықталу  облысындағы 

  тің 

  ға 


мейлінше  жақын,  бірақ 

дан  ӛзгеше  барлық  мәндері  ҥшін   

 

теңсіздігі орындалысымен: 



 

теңсіздігі 

орындалса, 

 

функциясының 



аргументі 

 

ға 



ұмтылғандағы шегі 

 болады, яғни: 

 

3)

 



Егер алдын ‒ ала берілген кез ‒ келген  

  саны  ҥшін 

  саны 

табылып,   



  теңсіздігі  орындалғанда 

  теңсіздігі  орындалса, 

 функциясының аргумент 

 

 ке ұмтылғандағы шегі



 болады, 

яғни: 


 

      Коши 

берген  анықтамадан  аргумент 

тің 


 

теңсіздігін 

қанағаттандыратын 

барлық 


мәндеріне 

сәйкес 


келетін 

функциясының барлық мәндері  

 

теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. 



      Мына шектерді геометриялық жолмен тҥсіндіру керек: 

 

      



  теңсіздігін  қанағаттандыратын 

  функциясының  

графигінің нҥктелері 

 тҥзуінен жоғары жататындығын кӛрсетеді.   

 


 

 

 



 

 

 



  функиясының 

абсциссалары  

 

теңсіздігін 



қанағаттан‒ 

дыратын 


нҥктелерінің барлығы да 

  тҥзуінен  жоғары 

жататындығын 

кӛрсе‒ 


теді.   

 

 



 

 

мағынасы  мынау:  егер 



      алдын 

‒  ала  берілген  сан 

болса  және 

  мен 


    тҥзулері  жҥргізілсе, 

 

теңсіздігі  орындалғанда  берілген 



  функциясының  графигі 

  

тҥзулердің арасында жатуын қамтамасыз ететін 



 саны табылуы тиіс. 

 







a+δ 

a

‒δ 

y=M=f(x) 







a+δ 

a

‒δ 

y=M=f(x) 

 

 

 



 

:  егер 


      алдын 

‒  ала  берілген  сан  болса  және 

  мен 

    тҥзулері  жҥргізілсе, 



  теңсіздігі 

орындалғанда  берілген 

  функциясының  графигі 

    тҥзулердің 

арасында орналасуын қамтамасыз ететін 

 саны табылады. 

 

 

      2.  Біржақты шектер 



      Анықтама:  Егер  алдын 

‒  ала  берілген  кез  ‒  келген  аз  сан 

    ҥшін 

саны 


табылып, 

 

тің 



 

теңсіздіктерін 

қанағаттандыратын барлық мәндері ҥшін берілген 

 функциясы: 



 







y=A

‒ε 

y=A

+ ε 







y=A

‒ε 

y=A

+ ε 

теңсіздігін 

қанағаттандырса, 

 

саны 

берілген 

 

функциясының



нүктесіндегі оң жақты  шегі деп аталады, жазылуы: 

 

Анықтама:  Егер  алдын  ‒  ала  берілген  кез  ‒  келген  аз  сан 

    ҥшін 

саны 

табылып, 



 

тің 


 

теңсіздіктерін 

қанағаттандыратын барлық мәндері ҥшін: 

 

теңсіздігі орындалса,   саны берілген 

 функциясының

нүктесіндегі 

сол жақты  шегі деп аталады, жазылуы: 

 

      Теорема:   саны берілген 

 функциясының 

дағы шегі болуы 

ҥшін  ол  функция 

    нҥктесінде  оң  жақты  және  сол  жақты  шектері  бар 

болуы және олардың ӛзара тең болуы қажетті және жеткілікті.  

      Дәл

‒і (қажеттілігі):   

делік,  бҧл  кез  ‒  келген   

    ҥшін 

саны  табылып, 

 

теңсіздігі  орындалысымен 



 

теңсіздігі  де 

орындалады деген сӛз. 

      Бҧдан: а) 



 тің  

  

б) 



  

(жеткіліктігі): 

 

      Бҧдан 

  теңсіздігінен 

  орындалады,  ал 

 теңсіздігінен 

 орындалады. 

      Екеуін 

қоссақ: 


 

шығады. 


      Мысалдар: 

а) 


   

берілген 

  болғанда  бҧл  функцияның  шегі  бар  екенін  кӛрсету  керек. 

Шешуі: 

 

              

 

      Сӛйтіп, 

 

 



 

б)  Мынадай 

  функциясының 

  дағы  бір  жақты  шектерін 

табу керек. 

     Шешуі: 



ӛйткені 

 да  бӛлшек       оң 

шексіздікке ҧмтылады.  Ал 

 

в) 



  функциясының 

 дағы бір жақты шектерін табу 

керек. 

Шешуі: 

және 


 

 

 

3.

 

Ақырлы шегі бар функциялардың қасиеттері  

      1°. Егер шек  

 бар және ақырлы болып, 

 белгілі тҧрақты 

болса,   

 

      2°. Егер ақырлы шектер: 







‒2 

бар болса,  

 

 

      3°. 



,  

 натурал сан 

      4°. 

 

      5°.  



,  

 кез 


‒ келген нақты сан 

      6°. 

Егер 

шек 


 

бар 


және 

 

болса, 



 

      7°. Егер шек  

 бар және ақырлы, онда: 

 

 

4.

 

Кейбір шектердің шығарылуы 

1.

 



Кез ‒ келген 

 ҥшін: 


 

теңдігі орындалатынын дәлелдейік. 

     

  теңдікті дәлелдеу ҥшін мына ҥш жағдайды қарастырамыз: 



      а) Шама   тек натурал мәндер ғана қабылдай отырып  

 ке ҧмтылады 



(СӚЖ)

      б) Шама   тек оң нақты мәндер ғана қабылдай отырып 

 ке ҧмтылады; 

      в) Шама   тек теріс мәндер ғана қабылдай отырып 

 ке ҧмтылады. 

      б)  Бҧл  жағдайда

  және 

  натурал  сандары  ҥшін 



тің 

  теңсіздігін  қанағаттандыратын 

  мәні  табылады. 

Бҧған кері шама ҥшін:  

  орындалады. 

  жазуға болады.  

  

        


  мен 

  ден: 


  болатынын 

кӛреміз. 

      Шекке кӛшсек,  

 

 



Себебі  а)  жағдайында 

 

тең  екендігі  дәлелденген.  Енді 



 

болатынын ескерсек, 

 болады. 

      в) Шама   тек теріс нақты мәндер қабылдайды. Егер 

 деп алсақ, 

 

      



Сӛйтіп 

 теңдіктің әділдігі бҧл жағдай ҥшін де дәлелдені: 

  болғандықтан: 

  болады (мҧндағы 

). 

 

2.



 

Егер сан 

 болса, 

 

Дәл‒і:   

 

      Егер 



 болса, бҧл теңдіктен  

 

 



3.

 

Егер  



 болса, 

 

      Дәл



‒і:  Егер  

  деп алсақ, 

,   

 

 



болады.   

  ҧмтылады. Сонда: 



 

      Егер 

 болса,  


 

 

4.



 

Егер   


    функциясы  берілсе, 

  болады 

(дәлелденуі СӚЖ). 

 

5.



 

Кез ‒ келген наӛты сан     ҥшін:  

 

      Дәл



‒і:       

    деп  белгілейік,   

  

ҧмтылады,  



.  Бҧдан:  

 Демек,  

.   Сондықтан: 



 



1   2   3   4   5   6


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал