Математика және математиканы оқыту әдістемесінің кафедрасы



жүктеу 0.8 Mb.

бет2/6
Дата22.04.2017
өлшемі0.8 Mb.
1   2   3   4   5   6
§2.1. Рационал  сандар. 

 Элементтері сандар болатын жиынды сандар жиыны дейді.  

 Алуан  тҥрлі  заттардың  жиындарын  қабылдау  нәтижесінде  ерте заманның 

адамдарында  бутін  сандар  ҧғымы  пайда  болған.  Ол  сандар  кейін  натурал 



сандар деп аталып, мына тҥрде жазылатын болды: 

 

 Натурал сандар бір санынан бастап ақырсыз созыла береді. 



 Содан  кейін  шамаларды  ӛлшеу  нәтижесінде  бөлшек  сандар  пайда  болды, 

оларды екі натурал санның қатынасы деп қарауға болады. 

 Кіші натурал саннан ҥлкен натурал санды алу нәтижесінде сан ҧғымы  

 

тҥрінде жазуға болатын бүтін теріс сандарымен толықтырылды. 



     Егер  барлық  натурал  сандар  мен  барлық  бҥтін  теріс  сандарды  және  нӛл 

санын біріктіріп қарасақ бҥтін сандар жиыны қҧрылып оны былай жазар едік. 

 

E

 

F

 

 

E



 

F

 

 



      Анықтама:    және    бҥтін  мәндер  қабылдаса 

,        рационал  сан 

деп аталады да, олардың жиыны рационал сандар жиыны деп аталып былай 

жазылады:  

 

      Рационал сандар жиынының қасиеттері: 



      1°.  Кез 

‒  келген  екі  рационал  санға  арифметикалық  амал  қолдану 

нәтижесінде рационал сан шығады.  

  мен     берілсін 

 

      а)  



  

― рационал сан 

      б) 

 ,  в) 


 ,  г) 

 

      2°. Бҥтін рационал сандар жиынының тәртіптелгендік қасиеті. 



      Егер кез 

‒ келген екі рационал сан   және    берілсе, олар ҥшін мына ҥш 

арақатыстың тек біреуі ғана орындалады: 

не  


, не 

, не 


 

       3°. Бҥтін рационал сандар жиынының тығыздық қасиеті. 

       Демек  

 болса, ең болмағанда бір    саны табылып

 теңдігі 

орындалады. 

       Жиын  ҧғымын  тҥсіндіре  тҥсу  мақсатында  мынандай  мысалдарды 

келтірелік: 

1)

 

Барлық натурал сандар жиыны: 



  

2)

 



Барлық бҥтін сандар жиыны: 

 

 

3)

 



Дҧрыс бӛлшектер жиыны:  

, мҧндағы   және   нӛлден ӛзге және 

 

4)

 



Бҥтін оң сандар жиыны:  

 

5)



 

Рационал сандар жиыны: 



 

6)

 



 ― нақты сандар жиыны. 

 

 

       §2.2. Жиын тҥрлері. 

1)

 

Ақырлы жиын.  

 ― тҥбірлері екеу 2 және 3 

2)

 

Ақырсыз жиын. 

  ―  теңдеуінің  тҥбірлері  ақырсыз  жиын  қҧрайды,  ӛйткені  оның 

тҥбірлері жалпы тҥрде былай ӛрнектеледі: 



,  мҧндағы 

 

3)

 

Бос жиын.  

  ―  теңдеуінің  тҥбірі  бҥтін  сандар  жиынында  бос  жиын,  себебі  

оның тҥбірі бӛлшек сандар жиынында жатыр. 



 

 §2.3. Сандарды тҥзу сызықтың нҥктелерімен кескіндеу. 

 

 



 

        


      

Бір тҥзуді  сызып •  ‒ нҥктесін белгілейік. Бҧл нҥктеге рационал сан нӛлді 

сәйкес қоямыз, сонда 0 нҥктесі санақтың бас нүктесі немесе нөл нүктесі деп 

аталады.  Кез  ‒  келген  е  ‒  кесіндісін  алып,  оны  санақтың  ҧзындық  бірлігі  ‒ 

масштаб ҥшін қабылдалық. 

      Егер масштабты санақтың басынан оңға қарай бір, екі, ҥш т.с.с рет салсақ 

тҥзудің  бойында 

  натурал  сандарына  сәйкес  келетін  нҥктелер 

табылады. 

       


Тҥзудің бойынан бӛлшек сандарға сәйкес келетін нҥктелерді табу мҥмкін 

ҥшін былай істейміз:    ‒ натурал санын алып, әуейі 

 кесіндісін саламыз 

да,  содан  кейін  салынған  кесіндіні  масштаб  рӛлінде  санақ  басынан  бастап 

оңға да, солға да қайталап сала береміз. Мҧның нәтижесінде тҥзудің бойынан 

бӛлшек 


  сандарға сәйкес келетін нҥктелер табылады. Ол нҥктелерді де 

 

‒ мен белгілейік.  



      Міне осындай тҥзуді сан осі немесе сан тҥзуі деп атайды. 

      Демек, кез 

‒ келген рационал санға сан осінің жалғыз ғана нҥктесі сәйкес 

келеді.  

      Енді  мынандай  сан  тҥзуін  алып,  катеттері  ӛлшеу  масштабына  тең  тік 

бҧрышты 


ҥшбҧрышты 

тҧрғызамыз. 

     

       


Содан  кейін  тҧрғызылған 

ҥшбҧрыштың  гипотенузасын 

сан  тҥзуінің  бойына  оң 

бағытқа қарай саламыз.  

-3 

-2 


-1 





С 



      Енді  біз 

  нҥктесіне  сәйкес  келетін  рационал  санның  жоқтығын 

дәлелдеуіміз керек. 

 

Сондықтан,  квадраттың  екіге  тең  болатын  рационал  санның  жоқтығы 



фигураның ҧзындығынан, ауданы мен кӛлемін ӛлшеу ҥшін де рационал сандар 

қорының жеткіліксіз екендігін кӛру қиын емес. 

      Сол  себепті  иррационал  сандар  деп  аталатын  жаға  сандар  енгізіп,  сан 

ҧғымын одан әрі кеңейту қажет.   

      Қорыта  келгенде:  Барлық  рационал  және  иррационал  сандар  жиыны 

нақты сандар жиыны деп аталады.  

      Яғни  тҥзудің  ―рационал  нҥктелерінен‖  басқа  нҥктелерін  ―иррационал 

нҥктелер‖ деп атаймыз. 

 

 



§2.4. Абсолюттік шамалар және оның қасиеттері. 

        нақты санның абсолюттік шамасы деп, мына формуламен анықталған 

 санын айтады: 

 

      Мысалы: 



  

      Абсолюттік шаманық анықтамасынан әрқашан да: 

 

болатындығы байқалады. 



      Қасиеттері: 

      1°.   және   теріс саны берілсін және 

 болса, онда 

 болады. 



Дәл‒і:  Анықтама  бойынша 

  немесе 

, есептің шарты бойынша 



 яғни 

 болады.  

      2 . Мына теңсіздік  

  мына теңсіздікпен тепе 

‒ тең: 

 

Дәл‒і: 



 және 

 

‒ ден 



 және 

, соңғысын 

 

‒ ге кӛбейтсен 



,  яғни 

 

      3°. 



 

‒ дан  


 немесе 

  шығады. 

 Дәл

‒і:    Егер 

  болса,  онда 

  және 

  ескерсек,  бҧдан 



 

болады. 


      Егер 

  болса,  онда 

  және 

  ескерсек,  бҧдан 



 болады. 

      4°. 

 

Дәл‒і:  Екі жағдай болуы мҥмкін: 

1)

 



,  онда 

, 

  формулаға  сәйкес 

  және  


, сондықтан 









2)

 

,  онда 



 

  формула 

бойынша  

 және  


, сондықтан 

      5°. 



 

Дәл‒і: 

              

      6°. 



 

Дәл‒і: 

4° 



қасиеттің 

пункті 



бойынша 

, яғни 


      7°. 

 

      Мысалдар:  



1)

 

  . 



Шешуі: 

 

2)



 

.  


Шешуі:

 болады,   

   теңдігі 

  болғанда ғана 

орындалады. 

3)

 



 

Шешуі: 



 

.          



  немесе 

 

4)



 

.    Шешуі:  Егер 

  болса  ғана  мына  берілген  теңсіздік 

орындалады. Бҧл теңсіздіктің екі жағдайы болады: 

а) 

, ал 


 

б) 


,  ал 

  ―  бірақ  бҧл  жағдай  болу  мҥмкін  емес.  Демек 

шешуі 

  

5)   



.    Шешуі:  Теңдеудің  бір  шешімі  болады, ол 

болғанда.  Абсолюттік  шаманың  анықтамасына  сәйкес, 



  немесе 

  Бҧл теңсіздік орындалуы мҥмкін, егер:  

а) 

 және 


 болса, бҧдан 

 

б) 



, және 

 



       Демек,  

  және  


 шешімі болады. 

 

 



§2.5. Сандар жиынының шоғарғы және тӛменгі шекаралары. 

      Нақты  сандардың  кейбір  жинағын  нақты  сандардан  құралған  жиын  деп 

атаймыз. 

      Мысалы:  

1)

 

барлық бҥтін сандар жиыны; 



2)

 

 аралығындағы барлық нақты сандар жиыны; 



3)

 

барлық бҧрыс бӛлшектердің жиыны; 



4)

 

барлық иррационал сандар жиыны. 



Сандар жиынын ҥш типке бӛлуге болады: 

а)  Бос  жиындар,  яғни  қҧрамында  бірде  ‒  бір  нақты  сандар  болмайтын 

жиындар,  мысалы: 

  ―  теңдеуінің  нақты  тҥбірлерінің  жиыны  бос 

жиын. Яғни бірде ‒ бір нақты тҥбірі жоқ. 

б)  Ақырлы  жиындар,  яғни  элементтері  сансыз  кӛп  болмайтын  жиындар, 



мысалы: 

  кесіндідегі  барлық  бҥтін  сандар  жиыны  ―  ақырлы 

жиын. 

в)  Ақырсыз  жиындар,  яғни  сансыз  кӛп  нақты  сандардан  қҧралатын 



жиындар, мысалы: барлық рационал сандар жиыны, барлық натурал сандар 

жиыны. 


       Анықтама:    Егер  берілген 

  жиынының  қҧрамындағы  барлық 

сандар,    ‒ тер ҥшін:  

 

теңсіздігін  қанағаттандыратын 

  саны  табылса,    шенелген  жиын  деп 

аталады. 

      Мысалдар: 

  интервалындағы  барлық  нақты  сандардың  жиыны  ― 



шенелген жиын (мҧндағы   және  ― нақты сандар). Ӛйткені 

 саны деп 

 және 

 сандарының қай ҥлкенін алуға болады.  



       Кез 

‒  келген  бос  жиын  мен  кез  ‒  келген  ақырлы  жиын  шенелген 



жиындар екені айқын.   

      Анықтама:  Егер 

 жиынындағы барлық сандар,    

‒ тер ҥшін:  



 

теңсіздігін  қанағаттандыратын 

  саны  табылса,    жиыны  жоғарыдан 

шенелген жиын деп аталады. 

      Мысалдар: 

1)

 



Барлық  теріс  сандардың  жиыны  жоғарыдан  шенелген  жиын,  ӛйткені 

бҧл жиынның қҧрамындағы әрбір сан нӛлден немесе  кез ‒ келген оң саннан 

кем. 

2)

 



Барлық    дҧрыс    бӛлшектердің  жиыны  жоғарыдан  шенелген,  себебі 

оның  қҧрамындағы  әрбір  сан  1  ‒  ден  немесе  1  ‒  ден  артық  кез  ‒  келген 

саннан кем. 

      Анықтама:    Егер  берілген 

  жиынының  қҧрамындағы  барлық 

сандар,    ‒ тер ҥшін:  



 

теңсіздігін  қанағаттандыратын   

  саны  табылса, 

  жиыны  төменнен 



шенелген жиын деп аталады. 

       Мысалдар:  

1)

 



 

 жиыны тӛменнен шенелген, ӛйткені   саны ҥшін   

‒ ті 

не одан кем кез ‒ келген санды алуға болады. 



2)

 

 Барлық оң сандар жиыны да тӛменнен шенелген, ӛйткені   саны ҥшін 



нӛлді не нӛлден кем кез ‒ келген санды алуға болады. 

3)

 



 Барлық  дҧрыс  бӛлшектердің  жиыны  тӛменнен  шенелген,  ӛйткені 

 

саны ҥшін 



 санын не одан кем кез 

‒ келген теріс санды алуға болады. 



Ескерту:  Егер 

  жиыны  шенелген  болса,  ол  жоғарыдан  да, 

тӛменнен де шенелген жиын болады және керісінше. 

Егер  


 жиыны бір санмен жоғарыдан шенелген болса, ол жиын сол 

саннан артық кез ‒ келген санмен де жоғарыдан шенелген болатыны ӛзінен ‒ 

ӛзі тҥсінікті. 

Демек, жиынды жоғарыдан шенейтін сандар сансыз кӛп. 



Анықтама:    Берілген  сан  жиыны 

 

‒  ні  жоғарыдан  шенейтін 



сандардың  ең  кішісі    сол  жиынның  жоғарғы  шекарасы  деп  аталады  да, 

былай  жазылады: 

    немесе   

  (супремум  латын  сӛзі, 

қазақша мағынасы ――ең жоғарғы‖). 

Мысалы:  егер  сан  жиыны 

  берілсе,  оның  жоғарғы  шекарасы 

, ал 



Анықтама:    Берілген  сан  жиыны 



 

‒  ні  тӛменнен  шенейтін 

сандардың  ең  ҥлкені    сол  жиынның  төменгі  шекарасы  деп  аталады  да, 

былай  жазылады: 

    немесе   

  (инфинимум  латын  сӛзі, 

қазақша мағынасы ――ең тӛменгі‖). 

Мысалы:  егер 

  жиыны  берілсе  (мҧндағы   

‒  натурал  сан), 

 



Егер 

  болса, оның  



Салдар: Егер берілген сан жиыны 

  шенелген  болса, ол  жиынның 

әрі жоғарғы шекарасы, әрі тӛменгі шекарасы болады. 

Егер 


  жиыны  жоғарыдан  шектелмеген  болса,  ол  жиынның 

жоғарғы шекарасы 

  болады деп айтатын боламыз да былай жазамыз: 

 

Сол  сияқты,  егер 

  тӛменнен  шенелмеген  болса,  оның  тӛменгі 

шекарасы 

  болады: 

 

Мысалдар: Мына сан жиындарының жоғарғы және тӛменгі шекараларын 

табыңдар. 

1.

 

                    Жауабы: 



 

2.

 

        Жауабы: 



 

3.

 



   Жауабы: 

 

4.



 

          Жауабы: 

 

5.

 



              Жауабы: 

 

6.



 

,    


‒ натурал сан                 Жауабы: 

 

 



 

ІІ тарау. ФУНКЦИЯЛАР 

1.

 

Функция ҧғымы  

Айнымалы екі шама   пен   ‒ тің бір біріне байланысы мына тҥрде деп 

ҧйғарамыз:  олардың  біреуіне,  мысалы    ‒  ке,  ӛз  еркімізше  сандық  мән 

беруімізге  байланысты  екінші  айнымалы 

  те  белгілі  сандық  мән 

қабылдайтын болсын. 



Анықтама:  Егер  қарастырып  отырған  айнымалы  шама    ‒  тің  әрбір 

мәніне белгілі заң немесе ереже бойынша айнымалы шама   ‒ тің анықталған 

бір ‒ ақ мәні сәйкес келіп отырса, айнымалы шама   айнымалы шама   ‒ тің 

функциясы деп аталады. 

Мҧндағы  айнымалы  шама    ―  тәуелсіз  айнымалы  немесе  аргумент

айнымалы шама   ― тәуелді айнымалы немесе функция деп аталады. Былай 

белгіленеді: 

 

Анықтама:  Функцияның  анықталған  және  ақырлы  нақты  мәндер 

қабылдайтын  тәуелсіз  айнымалының  барлық  мәндерінің  жиыны 

  сол 

функцияның  анықталу  облысы  немесе  функцияның  бар  болу  облысы  деп 

аталады,  ал  функцияның  барлық  мәндерінің  жиыны 

  функцияның 

мәндерінің жиыны деп аталады. 

Мысалы: Функцияның анықталу облысын табу керек  

 берілсін.  



Шешуі: 

‒  тің  мәндері  аргумент    ‒  тің мәндері  мына  екі  теңсіздікті 

бір кезде қанағаттандырғанда ғана нақты сандар бола алады: 

 және 


,  

бҧдан 


 және 

, яғни 


 болу керек, 

 


 

 

 

2.

 

Функцияның графигі 

Жазықтықта тік бҧрышты координаталар  системасын алалық.  

 



      Қозғалмалы   



  нҥктесі  жасаған  бҧл  геометриялық  фигура   

 

функциясының графигі деп аталады.  

      Сӛйтіп, 

абсциссалары 

 

аргумент  мәндері,  ординаталары  ― 



функцияның  мәндері  (аргументтің  мәндеріне  сәйкес  табылатын)  болатын 

жазықтықтағы нҥктелердің жиыны функцияның графигі деп аталады. 

      

 функциясының графигін салу ҥшін ол функцияның аргументінің 



бірнеше  мәндерін  алып,  сонан  кейін  аргументтің  алынған  мәндеріне  сәйкес 

функцияның  мәндерін  де  есептеп  табу  керек.  Табылған    пен    ‒  тің 

мәндерін тӛмендегідей таблицаға толтырамыз. 

 

 



‒ тің 

мәндері 


 

 

 



 

. . . 


 

 

‒ тің 



мәндері 

  

 



 

 

 



. . . 

 

 



      Бҧдан соң 

 нҥктелерін салу керек. 

Ақырында 

  нҥктелерін  жатық  қисық  сызықпен  бір 

‒  біріне 

қоссақ берілген функцияның жуық графигі табылады. 

- 4 










 b 





y=f(x) 

      Мысалы: 

 

 дегеніміз 



және 

 

 дегеніміз 



 

  болғанда 



 

3.

 

Функцияның берілу тәсілдері 

1)

 

 Функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі. 

Функцияның  берілуінің  негізгі  тҥрі  ―  формуламен,  яғни  аналитикалық 

тҥрде  берілуі.  Функция  бҧл  тҥрде  екі  айнымалы  шама  қатынасының  

аналитикалық ӛрнегі теңдігі арқылы беріледі. 

Мысалы:  

 

 



2)

 

 Функцияның таблицамен берілуі. 

Функцияның  таблицалық  тҥрде  берілуі  деп  тәуелсіз  айнымалының  бір 

қатар  мәндерін  және  оларға  сәйкес  табылған  функцияның  мәндерін  әдейі 

жазып қоюды айтамыз. 

Функцияның таблицалық тәсілмен берілуінің екі кемшілігі бар: 

а) бҧл тәсілмен функцияны толығынан беруге мҥмкіншілік жоқ; 

б) бҧл тәсілдің екінші кемшілігі ― кӛрнекілігінің жоқтығы. 



3)

 

  Функцияның графикпен берілуі. 

Бҧл тәсіл бойынша айнымалы екі шаманың арасындағы тәуелділік график 

тҥрінде беріледі. 







 



-1 



-1 

Функцияны  графикпен  беру  тәсілі  тӛп  тараған  тәсіл.  Бҧл  тәсіл 

эксперименттік жҧмыстарда кӛбірек қолданылады. 



4)

 

 Функцияның сөзбен беру тәсілі.  

Функцияның  сәйкестік  заңының  сӛзбен  баяндау  тҥрінде  берілуін 

функцияны сӛзбен беру деп атайды. 

 Мысалы: 

а) 


    нақты  сандары  берілген  делік.  Олардың 

бҥтін бӛліктерін табу керек. 



Шешуі: 

 

б) 



    сандары  берілген.  Олардың  әр  біреуінен  факториал 

табу керек. 



Шешуі: 

 

 



4.

 

Бір сарынды және ҥзік бір сарынды функциялар 

Анықтама: 

 аралығындағы аргументтің кез 

‒ келген мәндері   мен 

 ҥшін  


 

теңсіздігі орындалуымен бірге  

 

 

теңсіздігі  де  орындалса,  онда 



  функциясы   

  аралығында  бір 



сарынды өспелі функция деп аталады. 

 

 



 

      Анықтама: Егер 

 аралығындағы   

‒ тің кез ‒ келген мәндері 

 

мен   ҥшін  



 





 

 





  b 

теңсіздігі орындалуымен бірге  

 

 



арақатынасы  орындалса, 

  функциясы   

  аралығында  кемімейтін 

функция деп аталады. 

 

      Анықтама: Егер 



 аралығындағы   

‒ тің кез ‒ келген екі мәні 

 

мен   ҥшін  



 

теңсіздігі орындалуымен бірге  

 

орындалса, 



  функциясы   

  аралығында  бір  сарынды  кемімелі 

функция деп аталады. 

 

Анықтама:  Егер 

 функциясы  

 аралығында беріліп,  

 

теңсіздігі орындалуымен бірге  



 

теңсіздігі де орындалса, онда 

  функциясы   

  аралығында  өспейтін 

функция деп аталады. 



 

 



  b 



 

 



  b 

 

 



 

       Жоғарыдағы анықтамалары берілген тӛрт тҥрлі функцияны біріктіріп, 

берілген  

 аралығындағы бір сарынды функция деп атайды. 

 

5.

 

Шенелген және шенелмеген функциялар 

Анықтама:  

 функциясының анықталу облысы 

жиынында болатын 

аргументі   ‒ тің барлық мәндері ҥшін: 

 

теңсіздігін  қанағаттандыратын  оң  сан    табылса,   



  ӛзінің  анықталу 

облысында шенелген функция деп аталады. 

      Мысалы:  Фукцияның  шенелу  облыстары  сегмент,  интервал,  тағы 

сондайлар болады. Егер 

 функциясы  

 интервалында шенелген 

болса, ол функция бҥкіл тҥзудің бойында шенелген дейді. 

 

 



Анықтама:  

жиынындағы    ‒ тің барлық мәндері ҥшін: 

 



 

 

 a 



  b 

 

 







y = 

‒ N 

y =

 N 



теңсіздігі  орындалатындай  ешбір 

  болмаса,  онда 

  функциясы 

жиынында шенелмеген функция деп аталады. 

      Басқаша айтқанда: егер 

жиынындағы аргументтің мәндерінің бірі ―   

ҥшін: 

 

теңсіздігі орындалса 



  функциясы 

жиынында  шенелмеген функция деп 

аталады.  

 

 



 

Анықтама:    Егер  аргумент  мәндерінің  жиынындағы      ‒  тің  барлық 

мәндері ҥшін бір   саны табылып: 

 

 

теңсіздігі  орындалса, 



  сол  облыста  жоғарыдан  шенелген  функция 

деп аталады. 



Анықтама:  Егер бір   саны табылып, аргумент мәндерінің жиынындағы  

 

‒ тің барлық мәндері ҥшін: 



 

теңсіздігі орындалса, 

 сол облыста төменнен шенелген функция деп 

аталады. 



      Мысалы: 

 функциясы берілсін. 

      Шешуі: 

 аралығында анықталған. 

 аралығында   

‒ тің 


барлық  мәндері  ҥшін 

  теңсіздігі, 

  сегментінде              

 орындалады. 







y = 

‒ N 

y =

 N 



 

 


1   2   3   4   5   6


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал