Лекция 15 Практикалық сабақ 15 соөж- 30 Емтихан 4-ші семестрде Барлығы 90 сағат



жүктеу 477.32 Kb.

бет1/3
Дата11.09.2017
өлшемі477.32 Kb.
түріЛекция
  1   2   3

Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті 

Физика, математика жəне информатика кафедрасы 

 

6N0601 - Математика  



мамандығы бойынша кредиттік оқу жүйесінде оқитын  

магистранттарға арналған 

 

«Функционалдық анализдің қосымша тараулары» 

(пəннің атауы) 



ПƏННІҢ ОҚУ-ƏДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ  

 

 

Барлығы – 2 кредит 



Курс – 2 

Семестр  - 4 

Лекция – 15 

Практикалық сабақ – 15 

СОӨЖ– 30 

Емтихан – 4-ші семестрде 

Барлығы - 90 сағат 

 

                                  



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Орал 2011 ж. 



 

2-курс 

магистранттары 

үшін 

“Функционалдық 



анализдің 

қосымша 


тараулары”  арнайы  курсынан  кредиттік  оқыту  технологиясы  бойынша  – 

«Математика» 

мамандығына 

 

осы 



курстың 

бағдарламасына 

сай 

құрастырылды.   



Курстың 

бағдарламасы 

физика, 

математика 

жəне 

информатика 



кафедрасының отырысында талқыланды. 

Құрастырған :   доцент Жұмағалиева А.Е. 

 

Физика жəне математика кафедрасының отырысында қарастырылды. 



10.09.2011 ж. №  1 хаттама. 

 

Жаратылыстану-математика 



факультетінің 

оқу-əдістемелік 

кеңесінің 

отырысында бекітілді. 

13.09.2011  ж.  № 1  хаттама. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


Оқытушы (оқытушылар) туралы мəліметтер: 

1. Типтік бағдарлама 

2. КУРС БАҒДАРЛАМАСЫ (SILLABUS). 

 

Оқытушы (оқытушылар) туралы мəлімет 

Оқытушы (оқытушылар) туралы мəліметтер: 

  Жұмағалиева Айсұлу Елтаевна 

Ғылыми дəрежесі:          Физика-математика ғылымдарының кандидаты 

 

Ғылыми атағы:               доцент 



 

Оқитын курстары:          Математикалық талдау, ықтималдық 

                                         теория,математикалық статистика, 

                                         комплекс айнымалылы функциялар 

                                         теориясы. 

Жұмыс орны:                  М. Өтемісов атындағы БҚМУ, Педогогикалық                                                        

институт 

Офис:                              Физика жəне математика кафедрасы. № 1 ғимарат.  

307кабинет 

Оқитын курстары:         Математикалық талдау, функционалдық                     

                                

                                        талдау, функциялар теориясы, жоғарғы   математика. 



 

 

Пəн туралы мəліметтер 



 

Функционалдық анализ 

Кредит саны – 2 

Семестр 15 оқу аптадан жəне 2 апта сессиядан тұрады. 

Бір аптада 2  кредит сағат саны болу тиісті. 

 

             4- семестр 



 

Сабақ  


Өткізу 

уақыты 


Сабақ 

Өткізу 


уақыты 

Байланыс сағаты 1 

(1 дəріс) 

50 мин. 


СОӨЖ  (практикалық сабақ) 

 

50 мин. 



Байланыс сағаты  2 

(1 практика) 

50 мин. 

 

СОӨЖ (практикалық сабақ) 



50  мин. 

 

Оқу жоспарынан көшірме (2 кредит үшін): 

Курс 

Семестр  Кредит 



са    саны 

Дəріс 


Практ. 

Са   сабақ 

СОӨЖ 

Барлығы  Бақылау 



ф     түрі 



15 


15 

30 


90 

емтихан 


 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе. 

Курс  жөніндегі қысқаша мəлімет. 

Функционалдық  анализ  курсынан  студенттер  жалпы  функциялар  (операторлар)  туралы 

білімдерін толықтырады. Дифференциалдау, интегралдау əдістері. Қатарлар жəне оларды 

талдау.  



Мақсаты: 1. Магистранттарды функционалдық анализдің қосымша тараулары пəнінің  

             элементтерімен таныстыру 

             2. Болашақ информатика мамандығын игеру барысында 

             қажет математикалық талдаудың негізгі формулалары 

             мен теоремаларын қарастыру. 

             3. Механикалық ұғымдарды түсіну үшін Функционалдық анализдің 

  қолданылуын көрсету. 

 Функционалдық анализ пəнін оқытудағы қажет пəндер (пререквезиттар):                

 

1.Физика (механика тарауы) 



           2. Геометрия  

           3. Элементар математика  



Курстың қажеттілігі (постреквезиттер):  

           1. Информатика 

           2. Сандық есептеулер 

           3. Операциялық жүйелер 

           4. Дифференциалдық теңдеулер 

           5. Математикалық физиканың теңдеулері 

           6. Ықтималдық теория жəне математикалық статистика 

           7. Компьютерлік графика 

 

Магистранттардың пəнді оқу жоспары 

Сабақтың  мазмұны  мен  графигі. 

1 Апта 


Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Метрикалық кеңістік. 

Дəріс мазмұны: 1) Метрикалық кеңістік 

                            2)Юнг теңсіздігі 

                            3)Гельдер теңсіздігі 

МОӨЖ: Юнг теңсіздігі 

Метрикалық кеңістік. 

1) Метрикалық кеңістік 2)Юнг теңсіздігі 3)Гельдер теңсіздігі 

МОӨЖ: Гельдер теңсіздігі 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Метрикалық кеңістік. 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Метрикалық кеңістік 

                                                    2)Юнг теңсіздігі 

                                                    3)Гельдер теңсіздігі 

МОӨЖ: Юнг теңсіздігі.  Гельдер теңсіздігі 

 

2 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы:  Метрикалық кеңістік. 

Дəріс мазмұны: 1) Жинақтылық 

                            2) Ашық жəне жабық жиындар 

                            3) Сепарабельді кеңістік. 

МОӨЖ: Жинақтылық 



Метрикалық кеңістік 

1) Жинақтылық      2) Ашық жəне жабық жиындар    3) Сепарабельді кеңістік. 

МОӨЖ: Ашық жəне жабық жиындар 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Метрикалық кеңістік 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Жинақтылық 

                                                    2) Ашық жəне жабық жиындар 

                                                    3) Сепарабельді кеңістік. 

МОӨЖ: Сепарабельді кеңістік 

 

3 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Сызықтық кеңістік. 

Дəріс мазмұны: 1) Сызықтық кеңістік. 

                            2) Сызықтық ішкі кеңістік. 

МОӨЖ: Сызықтық кеңістік 

 

Сызықтық кеңістік. 



1) Сызықтық кеңістік. 2) Сызықтық ішкі кеңістік. 

МОӨЖ: Сызықтық ішкі кеңістік 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Сызықтық кеңістік 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Сызықтық кеңістік. 

                                                    2) Сызықтық ішкі кеңістік 

МОӨЖ: Сызықтық кеңістік. Сызықтық ішкі кеңістік 

 

4 Апта 


Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Сызықтық кеңістік. 

Дəріс мазмұны:. Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі 

МОӨЖ: Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі 

 

Сызықтық кеңістік 



Шекті жəне шексіз кеңістіктер. 

МОӨЖ: Шекті жəне шексіз кеңістіктер 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Сызықтық кеңістік 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі 

                                                    2) Шекті жəне шексіз кеңістіктер 

МОӨЖ: Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі. Шекті жəне шексіз кеңістіктер 

 

5 Апта 


Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Толық метрикалық кеңістік. 

Дəріс мазмұны: 1) Фундаментальді тізбек. 

                            2) Толық метрикалық кеңістік. 

МОӨЖ: Фундаментальді тізбек 

 

Толық метрикалық кеңістік 



1) Фундаментальді тізбек.   2) Толық метрикалық кеңістік 

МОӨЖ: Толық метрикалық кеңістік 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Толық метрикалық кеңістік 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Фундаментальді тізбек. 

                                                    2) Толық метрикалық кеңістік 

МОӨЖ: Фундаментальді тізбек. Толық метрикалық кеңістік 

 

6 Апта 


Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Нормаланған кеңістік. 

Дəріс мазмұны: 1) Нормаланған кеңістік  

 2) Эквивалентті норма. 

 3) Банах кеңістігі. 

МОӨЖ: Нормаланған кеңістік 

Нормаланған кеңістік 

1) Нормаланған кеңістік  2) Эквивалентті норма. 3) Банах кеңістігі. 

МОӨЖ: Эквивалентті норма 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Нормаланған кеңістік 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Нормаланған кеңістік  

                         2) Эквивалентті норма. 

                         3) Банах кеңістігі. 

МОӨЖ: Банах кеңістігі. 

 

7 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Нормаланған кеңістік 

Дəріс мазмұны: 1) Нормаланған кеңістіктің ішкі кеңістіктері. 

 2) Лебег кеңістігі. 

 3) Гельдердің, Минковскийдің интегралды теңсіздіктері. 

МОӨЖ: Нормаланған кеңістіктің ішкі кеңістіктері 

 

Нормаланған кеңістік 



1) Нормаланған кеңістіктің ішкі кеңістіктері. 2) Лебег кеңістігі.  3) Гельдердің, 

Минковскийдің интегралды теңсіздіктері 

МОӨЖ: Лебег кеңістігі 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Нормаланған кеңістік 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Нормаланған кеңістіктің ішкі кеңістіктері. 

                        2) Лебег кеңістігі. 

                                                   3) Гельдердің, Минковскийдің интегралды теңсіздіктері 

МОӨЖ: Гельдердің, Минковскийдің интегралды теңсіздіктері 

 

8 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Евклидтік кеңістік. 

Дəріс мазмұны: 1) Евклидтік кеңістік. 

 2) Унитарлы кеңістік 



 3) Коши –Буняковский теңсіздігі. 

МОӨЖ: Евклидтік кеңістік 

 

Евклидтік кеңістік. 



1) Евклидтік кеңістік. 2) Унитарлы кеңістік 3) Коши –Буняковский теңсіздігі. 

МОӨЖ: Унитарлы кеңістік 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Евклидтік кеңістік. 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Евклидтік кеңістік. 

                         2) Унитарлы кеңістік 

                         3) Коши –Буняковский теңсіздігі 

МОӨЖ: Коши –Буняковский теңсіздігі 

 

 



9 Апта 

Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Гильберт кеңістігі. 

Дəріс мазмұны: 1) Гильберт кеңістігі. 

 2) Толық ортонормаланған жүйелер. 

 3) Фурье қатарлары. 

МОӨЖ: Гильберт кеңістігі 

 

Гильберт кеңістігі 



1) Гильберт кеңістігі. 2) Толық ортонормаланған жүйелер. 3) Фурье қатарлары. 

МОӨЖ: Толық ортонормаланған жүйелер 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Гильберт кеңістігі 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Гильберт кеңістігі. 

 2) Толық ортонормаланған жүйелер. 

 3) Фурье қатарлары. 

МОӨЖ: Фурье қатарлары. 

 

10 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Гильберт кеңістігі 

Дəріс мазмұны: 1) Бессель теңсіздігі. 

                            2) Парсевал- Стеклов теңдігі. 

                            3) Теорема Рисса Фишера. 

МОӨЖ: Бессель теңсіздігі 

 

Гильберт кеңістігі 



1) Бессель теңсіздігі. 2) Парсевал- Стеклов теңдігі. 3) Теорема Рисса Фишера. 

МОӨЖ: Парсеваль- Стеклов теңдігі 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Гильберт кеңістігі 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Бессель теңсіздігі. 

                            2) Парсеваль- Стеклов теңдігі. 

                            3). Теорема Рисса Фишера 

МОӨЖ: Теорема Рисса Фишера 


 

 

11 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Сызықты операторлар. 

Дəріс мазмұны: 1) Операторлар. 

                            2) Сызықты операторлар 

                            3) Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар. 

МОӨЖ: Операторлар. 

 

Сызықты операторлар 



1) Операторлар.  2) Сызықты операторлар 3) Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар 

МОӨЖ: Сызықты операторлар 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Сызықты операторлар 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Операторлар. 

                            2) Сызықты операторлар 

                            3) Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар 

МОӨЖ: Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар 

 

12 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Сызықты операторлар 

Дəріс мазмұны: 1) Оператор нормасы. 

                            2) Операторлардың қосындысы мен көбейтіндісі. 

                            3) Кері оператор. 

МОӨЖ: Оператор нормасы 

 

Сызықты операторлар 



1) Оператор нормасы. 2) Операторлардың қосындысы мен көбейтіндісі. 3) Кері оператор. 

МОӨЖ: Операторлардың қосындысы мен көбейтіндісі 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Сызықты операторлар 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Оператор нормасы. 

                            2) Операторлардың қосындысы мен көбейтіндісі. 

                            3) Кері оператор. 

МОӨЖ: Кері оператор. 

 

13 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Сызықты операторлар 

Дəріс мазмұны: 1) Оператор ядросы. 

                            2) Кері оператордың бар болуы. 

                            3) Банах теоремасы. 

                            4) Тұйықталған оператрлар. 

МОӨЖ: Оператор ядросы 

 

Сызықты операторлар 



1) Оператор ядросы.  2) Кері оператордың бар болуы.  3) Банах теоремасы.                          

4) Тұйықталған операторлар. 



МОӨЖ: Кері оператордың бар болуы. 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Сызықты операторлар 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Оператор ядросы. 

                            2) Кері оператордың бар болуы. 

                            3) Банах теоремасы. 

                            4) Тұйықталған оператрлар. 

МОӨЖ: Банах теоремасы. Тұйықталған оператрлар 

 

14 Апта 


Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Сызықты функционалдар 

Дəріс мазмұны: 1) Функционал 

                            2) Сызықты функционал. 

                            3) Сызықты функционалдардың қасиеттері. 

МОӨЖ: Функционал 

 

Сызықты функционалдар 



1) Функционал  2) Сызықты функционал. 3) Сызықты функционалдардың қасиеттері 

МОӨЖ: Сызықты функционал. 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Сызықты функционалдар 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Функционал 

                            2) Сызықты функционал. 

                            3) Сызықты функционалдардың қасиеттері 

МОӨЖ: Сызықты функционалдардың қасиеттері 

 

15 Апта 



Кредит сағат саны 1 

Тақырыбы: Операторлар кеңістігі. 

Дəріс мазмұны: 1) Сызықты үзіліссіз операторлар кеңістігі. 

                            2) Операторлардың бірқалыпты жинақтылығы. 

МОӨЖ: Сызықты үзіліссіз операторлар кеңістігі. 

 

Операторлар кеңістігі 



1) Сызықты үзіліссіз операторлар кеңістігі. 2) Операторлардың бірқалыпты жинақтылығы. 

МОӨЖ: Операторлардың бірқалыпты жинақтылығы. 

 

Кредит сағат саны 2 



Тақырыбы: Операторлар кеңістігі 

Практикалық сабақ мазмұны: 1) Сызықты үзіліссіз операторлар кеңістігі. 

                            2) Операторлардың бірқалыпты жинақтылығы. 

МОӨЖ:  Сызықты үзіліссіз операторлар кеңістігі. Операторлардың бірқалыпты 

жинақтылығы. 

 

Əдебиеттер тізімі: 



1.  Негізгі əдебиеттер 

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и функционального анализа. 

М., «Наука», 1972. 


2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. ГИТТЛ, М.-Л., 

1951. 


3. Садовничий В.А. Теория операторов. М., Изд.-во МГУ, 1979. 

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., «Наука» 1980. 



2.    Қосымша əдебиеттер 

1.  Кириллов  А.А.,  Гвишиани  А.Д.  Теоремы  и  задачи  функционального  анализа.  М., 

«Наука»,1979. 

2. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. 

М., «Просвещение», 1978. 

3.  Треногин  В.А.,  Писаревский  Б.С.,  Соболева  Т.С.  Задачи  и  упражнения  по 

функиональному анализу. М., «Наука», 1984. 

3. Пəн бойынша тапсырма орындау жəне тапсыру графигі 

№ 

Жұмыс 

түрі 

Тапсырман

ың 

мақсаты 

мен 

мазмұны 

 

Ұсынылаты

н əдебиеттер 

Орындау 

мерзімі 

жəне 

тапсыру 

уақыты 

(аптасы) 

Балл 

Бақылау түрі 

Үй 



тапсырмасы 

(СОЖӨЖ) 


Сараптау 

жəне 


танымал 

қабілетін 

дамыту 

 

Силлабус 



бойынша 

тақырыпқа 

арналған 

əдебиеттер  

Əр апта 

сайын 


СОӨЖ 

тақырыбы 

бойынша 

кестеге 


сəйкес 

1%  (барлығы 

28) 

Тапсырмалард



ың 

орындалуын, 

сұрақтарға 

жауап беру 

қабілетін 

тексеру 


Жеке 


тапсырма 

өткен 


тақырыпты 

бекіту  


Силлабуста 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

Тапсырмалард

ың 


орындалуын 

тексеру 


3..  коллоквиум  Теориялық 

сұрақтарды 

тексеру 

Силлабуста 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

ауызша 


Бақылау 


жұмысы 

Күрднлу 


есептерді 

шығару 


қабілетін 

арттыру 


Силлабуста 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

жазбаша 

Практикалы



қ жұмыс 

Тақырыптар 

бойынша 

есептер 


шығару 

əдістерін 

қарастыру 

Силлабуста 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

11 бөлімде 

көрсетілген 

жазбаша 


 

4.   Пəннің оқу-əдістемелік  қамтамасыз етілу картасы. 

№ 

п/



п 

 

 



Əдебиет атаулары 

 

 



библи

отека   


Кафед

рада 


Студе

нтерді 


жабды

қтау 


(%) 

Электро


ндық 

версия 


Еске

ртпе 






1. 


 

 

 



 

 



 

 



 

 



 

 



 

 



 

 

 



 

 



  

 

 



 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы 

теорий функций и функционального 

анализа. М., «Наука», 1972. 

 

Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы 



функционального анализа. ГИТТЛ, М.-

Л., 1951. 

 

Садовничий В.А. Теория операторов. М., 



Изд.-во МГУ, 1979. 

Треногин В.А. Функциональный анализ. 

М., «Наука» 1980 

 

Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы 



и  задачи  функционального  анализа.  М., 

«Наука»,1979. 

 

Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. 



Элементы функционального анализа в 

задачах. М., «Просвещение», 1978 

 

Треногин В.А., Писаревский Б.С., 



Соболева Т.С. Задачи и упражнения по 

функиональному анализу. М., «Наука», 

1984. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

5. Дəріс мазмұны жəне конспектісі 

 

§1. Метрикалық кеңістік 

Нақты  түзу  бойындағы 

y

x,

  нүктелерінің  ара  қашықтығы 



0

− y



x

  санымен 

анықталады.  Жазықтықтағы  кез  –  келген 

(

)



1

1

1



y

x

=

  мен 


(

)

2



2

2

y



x

=

  нүктелерінің  ара 

қашықтығын мына өрнекпен  

                      

(

) (


)

2

1



2

2

1



2

2

1



)

,

(



y

y

x

x

Z

Z

+



=

ρ



 

 анықтауға  болады.  Осы  өрнектің  қасиеттерінен  көп  өлшемді  кеңістік  нүктелерінің  ара 

қашықтығы  түсінігін  алуға  болады.  Мысалы,  жоғарыда  айтып  кеткендей,  жазықтықтағы 

екі нүктенің ара қашықтығы  

                    

(

) (



)

2

1



2

2

1



2

2

1



)

,

(



y

y

x

x

Z

Z

+



=

ρ



 

болса,  ал  n  өлшемді  кеңістікте  мынадай  екі  нүкте  алсақ 

)

,...,


,

(

2



1

1

n



x

x

x

Z

  жəне 


)

,...,


,

(

2



1

2

n



y

y

y

Z

, онда олардың ара қашықтығы   



                        

(

) (



)

(

)



2

2

2



2

2

1



1

2

1



...

)

,



(

n

n

x

y

x

y

x

y

Z

Z

+



+

+



=

ρ



  

болады.  Бұдан  жазықтықтағы  екі  нүктенің  ара  қашықтығын  анықтайтын  осы  өрнектің 

қасиеттері кеңістікте де орындалатынын түсінуге болады.  

 

Келтірілген өрнектер бойынша əрбір екі нүктеге теріс емес сан сəйкес қойылып, ол 



сəйкестіктің симметриялық қасиетімен қатар, Евклид геометриясының негізгі аксиомасы, 

яғни  үш  нүктенің  кез  келген  екеуінің  ара  қашықтығы  олардың  үшінші  нүктеден  ара 

қашықтықтарының  қосындысынан  аспайды  деген  қасиеті  орындалады.  Бұдан  жалпы 

жағдайда мына төмендегідей анықтама шығады.  



Анықтама.    қайсыбір  бос  емес  жиын  болсын.  Егер 

X

y

x

∀ ,



  үшін  нақты  мəнді 

функция 


+

→ R



X

:

ρ



 анықталып:  

1) 


( )

0

,



>

y

x

ρ

 жəне 



( )

y

x

y

x

=



= 0

,

ρ



2) 


( )

( )


x

y

y

x

,

,



ρ

ρ

=



 (симметриялық қасиет), 

3) 


( )

( )


( )

y

z

z

x

y

x

X

z

y

x

,

,



,

,

,



,

ρ

ρ



ρ

+



  (үшбұрыш  теңсіздігі)  шарттары  орындалса,  онда 



ол функцияны (шындығында функционал)   жиынындағы метрика немесе ара қашықтық 

деп атайды.  



Анықтама. Бос емес    жиыны мен анықталған метрика, яғни 

(

)



ρ

,

X

 пары, метрикалық 

кеңістік деп аталады.  

Көрсетілген үш қасиет метрикалық кеңістіктің аксиомалары деп аталынады.  

Метрикалық кеңістікке төмендегідей мысалдар келтірелік:   

1-  мысал.  Комплекс  сандар  жазықтығындағы  радиусы  бірге  тең  ашық  дөңгелектің 

1

<



z

 екі нүктесі - 

1

z

 мен 


2

z

 нүктелерінің ара қашықтығын  

                        

(

)









=



+

=

2



1

2

1



2

1

1



1

1

ln



2

1

,



z

z

z

z

u

u

u

z

z

ρ

 



өрнегімен  анықтауға  болады.  Осы  өрнектің  метрика  екенін  анықтау  үшін  метрикалық 

кеңістіктің  анықтамасындағы  үш  аксиоманың  орындалатындығын  тексеру  қажет.  1- 

аксиоманың  орындалатынын  тексеру  қиын  емес. 

0

)



,

(

2



1

>

z



z

ρ

  болуы  үшін  логарифм 



астындағы өрнек 

1

1



1

>



+

u

u

 болуы керек, ал ол шарт орындалады, себебі 

1

1

,



0

>

+



>

u

u

Осы аксиоманың екінші бөлігін тексерелік. 



2

1

2



1

0

)



,

(

z



z

z

z

=



=

ρ

 орындалатынын дəлелдейміз. 



1) 

2

1



2

1

0



,

0

2



1

1

1



1

1

0



)

,

(



z

z

u

u

u

u

u

u

z

z

=



=

=



=

+



=



+

=



ρ

Қажетті 



шарты орындалады. 

2) 

0

)



,

(

0



1

ln

1



1

ln

0



2

1

2



1

=



=

=



+

=



=

z



z

u

u

u

z

z

ρ



Жеткілікті 

шарты 


да 

орындалады.  

2

0

. Дəлелдеу керек: 



)

,

(



)

,

(



1

2

2



1

z

z

z

z

ρ

ρ



=

 

(



)

1

2



2

1

1



2

1

2



2

1

2



1

,

)



,

(

1



1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

u

ρ

ρ



=



=



=

.  



2-  қасиет те орындалып тұр. 

3

0



. Дəлелдеу керек: 

)

,



(

)

,



(

)

,



(

2

3



3

1

2



1

z

z

z

z

z

z

ρ

ρ



ρ

+



 

Мынадай белгілеулер енгізейік:  

2

3

2



3

3

1



3

1

2



1

2

1



1

,

1



,

1

z



z

z

z

v

z

z

z

z

w

z

z

z

z

u



=



=



=

 

      



v

v

w

w

v

w

u

v

w

u

v

v

w

w

v

v

w

w

u

v

v

w

w

u

u

u

+



+

+



+

+





+

+

+



+

+



+

=



+



+



+

+



+

=



+

1

1



ln

2

1



1

1

ln



2

1

)



1

)(

1



)(

1

(



)

1

)(



1

)(

1



(

ln

2



1

1

1



ln

2

1



1

1

ln



2

1

)



1

)(

1



)(

1

)(



1

)(

1



(

)

1



)(

1

)(



1

)(

1



)(

1

(



ln

2

1



1

1

ln



2

1

 



3

0

 орындалады, олай болса, 



)

,

(



ρ

C

- метрикалық кеңістік. 

2-  мысал. 

n

R

=

  n  өлшемді  кеңістік  болсын. 

)

,...,


,

(

2



1

n

x

x

x

=

  жəне 


)

,...,


,

(

2



1

n

y

y

y

=

  бұл  кеңістіктің  кез  келген  екі  нүктесі  болса,  онда 

)

,

(



y

x

ρ

  метрикасын 



мына өрнекпен анықтауға болады делік.  

                                    

=



=

n

k

k

k

y

x

y

x

1

)



,

(

ρ



 

)

,



(

ρ

n



R

 қосы метрикалық кеңістік болу үшін жоғарыда анықталған өрнек метрика болуы, 

яғни  анықтамадағы үш аксиома орындалуы қажет. Олай болса тексерелік: 

1

0



0

)



,

(

>



y

x

ρ

. Модуль астындағы сан əрқашан оң болғандықтан, 



0

>



k

k

y

x

 болады.  

Енді 

y

x

y

x

=



= 0

)

,



(

ρ

 болатындығын дəлелдейік. Шынында да,  



           

k

k

k

k

n

k

k

k

y

x

y

x

n

k

y

x

y

x

=



=

=



=



=



=

0

,...,



1

0

)



,

(

1



ρ

 

Айталық, 



0

,...,


2

,

1



=



=

=

k



k

k

k

y

x

y

x

n

k

, яғни 


0

=



k

k

y

x

. Олай болса,  

                                          

=



=



n



k

k

k

y

x

1

0 , 



Осылайша 1-шарттың орындалатындығын аламыз. 

2

0



. Дəлелдеу керек: 

)

,



(

)

,



(

x

y

y

x

ρ

ρ



=

 


=



=

=





=

=





n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

y

y

x

x

y

y

x

n

k

1

1



,...,

1



Бұдан 

)

,



(

)

,



(

x

y

y

x

ρ

ρ



=

 

болатынын аламыз. Олай болса 2-шарт орындалады.  



3

0

. Дəлелдеу керек: 



)

,

(



)

,

(



)

,

(



y

z

z

x

y

x

ρ

ρ



ρ

+



 

Мұндағы 


=



=

=



=

n



k

n

k

k

k

k

k

y

z

y

z

z

x

z

x

1

1



)

,

(



,

)

,



(

ρ

ρ



Бұл шартты дəлелдеуде мен модульдің мынадай қасиетін қолданамын:   

                                      

b

a

b

a

+



+

 Онда  



                        

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

y

z

z

x

y

z

z

x

y

x

+





+

=



  

болады.  Осылайша  3-  шарттың  да  орындалатыны  шығады.  Метрикалық  кеңістіктің 



анықтамасындағы  аксиомалардың  орындалуына  байланысты 

)

,



(

ρ

n



R

  қосы  метрикалық 

кеңістік болып табылады.  



  1   2   3


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал