Используемых при принятии управленческих решений



жүктеу 2.8 Kb.

бет1/5
Дата08.09.2017
өлшемі2.8 Kb.
түріУчебное пособие
  1   2   3   4   5

1
Минобрнауки России
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Сыктывкарский государственный университет
 имени Питирима Сорокина»
В.П. Одинец
ОБ ИСТОРИИ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПРИНЯТИИ 
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Учебное пособие
Рекомендовано УМО по математике педвузов и университетов 
Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия 
для студентов математических направлений подготовки 
высших учебных заведений
Сыктывкар
Издательство СГУ им. Питирима Сорокина
2015

2
УДК 51:93
ББК  22.1: в6
 
О-42
Печатается по постановлению научно-методического совета
ФГБОУ ВПО «Сыктывкарский государственный университет имени 
Питирима Сорокина»
Рецензенты:
Медников В.В. – профессор, канд. экон. наук, профессор Институ-
та  государственного  управления,  права  и  инновационных  технологий 
(ИГУПИТ) – филиал в г. Санкт-Петербурге;
Якубсон М.Я. – доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ма-
тематического анализа РГПУ им. А.И. Герцена (Санкт-Петербург).
Одинец, В.П.
Об  истории  некоторых  математических  методов,  используе-
мых при принятии управленческих решений : учебное пособие  / 
В.П. Одинец. – Сыктывкар : Изд-во СГУ им. Питирима Сорокина, 
2015. – 108 с.
ISBN 978-5-906810-03-8
В основе книги лежат лекции, прочитанные в 2008

2010 гг. в Выс-
шей экономической школе Санкт-Петербургского государственного уни-
верситета экономики и финансов для управленцев ОАО «ГАЗПРОМ». В 
книге, состоящей из трех частей, рассмотрены как классические, так и 
неоклассические и, наконец, современные математические методы, опи-
рающиеся на компьютерные технологии и используемые при принятии 
управленческих решений.
Адресовано  студентам,  аспирантам  и  преподавателям  вузов  эконо-
мических и математических специальностей, а также филиалов акаде-
мии госслужбы.
УДК 51:93
ББК 22.1: в6
О-42
ISBN 978-5-906810-03-8
©  Одинец В.П., 2015
©  ФГБОУ ВО 
«
СГУ
   им. Питирима Сорокина
»
, 2015

3
ОглаВление
Предисловие…………………………………………………….....4
Введение…………………………………………………………....5
Часть I. Классические  методы
§ 1. Методы математического анализа…………………………..12
§ 2. Методы дифференциальных уравнений и рекуррентных
        соотношений.………………………………………….......... 19
§ 3. Методы экстраполяции и  построения рекуррентных 
       уравнений…………………………………………..........….....24
§ 4. Методы неотрицательных матриц…....……………………..27
§ 5. Методы  теории вероятностей и математической 
       статистики.................................................................................35
§ 6.Методы теории игр…………………………………………..  40
Часть II. неоклассические методы
§ 7. Методы оптимизации с использованием линейного 
       и нелинейного программирования…………………….......  45
§ 8. Методы функционального анализа……..…………………  53
§ 9. Методы теории графов………………………………............56
§ 10. Методы  теории случайных процессов…………………....61
Часть III. Современные  математические методы, используе-
мые при принятии управленческих решений
§ 11. Метод теории нечетких множеств………………………....73
§ 12. Метод  экспертных систем………………………………....77
§ 13. Метод кратномасштабного анализа………………………. 79
§ 14. Метод  идемпотентного анализа…………………………...81
Заключение.........……………………..…………………………. 84
Список литературы………………………………………….......85
именной указатель…………………………………………........94
Предметный указатель…………………………………….......103
Список иллюстраций………………………………………... ..106

4
ПРеДиСлОВие
Настоящая книга возникла из потребностей управленцев сред-
него и высшего звена ОАО «ГАЗПРОМ» в овладении современ-
ными  математическими  методами  с  использованием  компью-
терных технологий при принятии тех или иных управленческих 
решений, касающихся экономических вопросов. Книга дополне-
на  классическими  и  неоклассическими  методами,  возникшими 
в XX веке и позволяющими адекватно сложности задачи приме-
нять те или иные методы.
Заметим сразу, что в книге не даются методы, используемые 
при управлении техническими системами, в частности адаптив-
ное и робастное управление
1
, а также методы, применяемые при 
управлении войсками. Хотя в основе ряда методов, используемых 
при управлении рисками в экономике, например логико-вероят-
ностных  методов,  лежат  идеи,  первоначально  нашедшие  своё 
применение в военном деле, в частности в проблеме повышения 
живучести подводных кораблей.
В конце книги приведена основная литература, а в сносках – 
дополнительная. Кроме того, даны именной и предметный указа-
тели. Биографии основных творцов приведены в сносках.
Автор  благодарит  рецензентов:  профессора  В.В.  Медникова 
и  доцента  М.В  Якубсона  за  ценные  замечания,  учтенные  авто-
ром;  профессора  Е.Д.  Соложенцева  за  ценную  информацию  по 
теории рисков. С особой благодарностью автор вспоминает д-ра 
экон. наук, профессора В.Е. Есипова, включившего тематику кни-
ги в программу повышения квалификации управленцев в ВЭШ 
СПбГУЭиФ и пригласившего автора для чтения 6 лекций в 2008–
2010 гг. по данной теме.
Как обычно, все предложения и замечания можно направлять 
автору на адрес:w.p.odyniec@mail.ru. 
Санкт-Петербург – Сыктывкар, сентябрь 2014 г.
1
 От англ. robust – здравый.

5
ВВеДение
С  глубокой  древности  человечество  использует  математи-
ческие  методы  при  принятии  тех  или  иных  управленческих 
решений  в  ходе  решения  разнообразных  практических  задач. 
Первоначально это были экономические задачи, позже к ним при-
соединились задачи военного характера.
Уже в папирусе Ахмеса
1
 и в Московском папирусе
2
 присутст-
вуют  задачи  с  экономическим  содержанием,  позволявшие  обу-
чать египетских управленцев, т.е. писцов, бывших одновременно 
«и  законоведами,  и  статистиками,  и  вычислителями»  [2,  с.  13]. 
Так, в Московском папирусе, который 
старше  на  200  лет  папируса  Ахмеса, 
в  задаче  №  24  требуется  определить 
(даём современное изложение), сколь-
ко  хлебов  и  сколько  кувшинов  пива 
можно получить из одной меры зерна, 
если из 25 мер получено 200 хлебов, 
10  кувшинов  пива,  при  условии,  что 
выход  пива  составляет  1/10  выхода 
хлеба [3, с. 31–32]
3
 .
В другой культуре – культуре Древ-
него  Двуречья  –  также  издавна  отме-
чается использование математики при 

Папирус писца Ахмеса, найденный в Фивах, относится к периоду XII дина-
стии Среднего царства Египта, т.е. к 1985–1795 гг. до н. э. [1], и был переписан 
писцом около 1650 г. до н. э. Большая часть папируса находится в Британском 
музее (Лондон), а остальная часть – в Нью-Йорке. Поскольку первым владель-
цем папируса был британский офицер Райнд, то папирус часто называют папи-
русом Райнда (Rhind Mathematical Papirus).
2
 Московский папирус принадлежит ко времени правления XI династии пе-
риода Среднего царства и был составлен в 1850 г. до н. э., т.е. либо при фараоне 
Сенусерте III, либо при фараоне Аменемхете III. Описание этого папируса сде-
лал его первый владелец русский египтолог Владимир Семёнович Голенищев 
(1856–1947). Он был одним создателей мировой египтологии; родившись в Пе-
тербурге, он умер в Ницце по месту рождения своей жены. Свою знаменитую 
коллекцию папирусов он передал России ещё в 1909 г. 
3
 Ответ: 20 хлебов или 2 кувшина пива.
В.С. Голенищев

6
решении тех или иных экономических задач. Сохранившиеся наи-
более ранние клинописные тексты относятся к XXXV в. до н. э. 
К периоду написания папирусов Московского и Ахмеса отно-
сится деятельность самого известного царя вавилонской династии 
– Хаммурапи (1792–1750 гг. до н. э.), о которой до нас дошли ты-
сячи клинописных текстов. В них нашло отражение как развитие 
денежно-весовой системы мер, связанное с развитием торговли, 
так и зачатки кредитной политики, опирающейся на использова-
ние простого процента, хотя вавилонские ростовщические опера-
ции «рассчитывались не со ста, а с шестидесяти процентов: брали 
в год 12 шекелей с 1 мины, равной 60 шекелям» [4, c. 142]
1
.
Например,  в  одной  из  задач  требуется  «по  данной  величине 
уплачиваемых  за  год  процентных  денег  в  размере  1  мина  и  40 
шекелей определить величину капитала» [3]
2
.
Кроме простого процента вавилонская математика была близ-
ка и к понятию сложного процента. При этом вычисления опи-
рались  на  наличие  вычислительных  таблиц.  Заметим,  что  вы-
числительные таблицы применялись и при принятии решений на 
строительство  с  учетом  расчета  «фундаментов  зданий,  плотин, 
осадных насыпей и т. д.» [4, c. 233].
Уже греческий историк Геродот (484 г. до н. э. – 425 г. до н. э.) 
явно указывает на принятие египетским царем управленческого ре-
шения, опирающегося на математический расчет: «Если же от ка-
кого-нибудь надела река (Нил) отнимала что-нибудь, то владелец, 
приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал лю-
дей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, 
насколько  он  стал  меньше,  чтобы  владелец  вносил  с  оставшейся 
площади налог, пропорциональный установленному» [6, c. 184].
Перенесёмся теперь в другой очаг цивилизации – Древний Ки-
тай.  Поразительно  сходство  экономических  задач,  решавшихся 
математическими методами в Древнем Китае и в древних Вави-
лоне и Египте.
Необходимость  точного  предсказания  разлива  Нила  привела 
египтян  к  идее  постоянного  календаря  (12  месяцев  по  30  дней 
1
  Следует  помнить,  что  система  счисления  в  Двуречье  имеет  основанием 
число 60.
2
 Ответ: 8 мин и 20 шекелей.

7
плюс  5  дополнительных  дней  в  конце  каждого  года).  Другим 
вкладом  египтян  в  практическую  жизнь,  которым  мы  повсед-
невно пользуемся, явилось разделение суток на 24 часа [7, c. 92]. 
Очевидно, числа 12, 24, 30, 360, используемые при исчислении 
времени египтянами, – это отголоски 60-ричного счисления ва-
вилонян, хотя у самих вавилонян календарь был чисто лунный.
Удивительно,  но  в  Древнем  Китае  уже  в  эпоху  Шань-Инь 
(XVII–XII вв. до н.э.) солнечный год был также разделён на 12 
месяцев (по 29 и 30 дней). Продолжительность года составляла 
365 дней, но периодически вставлялись добавочные месяцы
1
.
Говоря о принятии управленческих решений на основе мате-
матических расчётов в Древнем Китае, нельзя не сказать о зна-
менитом трактате «Математика в девяти книгах»
2
. Так, в пятой 
книге, носившей название «Шан гун» (Оценка работ) дан расчёт 
трудозатрат при строительстве крепостных стен, валов, плотин, 
каналов, а также других земляных работ. При этом вычислялись 
объёмы различных тел: прямоугольного параллелепипеда, прямо-
угольной призмы, пирамиды, конуса и т.д., одновременно посту-
лировались объёмы выработки на одного человека в день, полу-
ченные на основе практики [9].
В книге VI из того же трактата идёт речь о распределении на-
логов (зерновых и стоимостных) между уездами и о пропорцио-
нальных  «поставках  людей»  для  выполнения  государственных 
повинностей.
К IV в. н. э. относится китайский «Математический трактат 
пяти  ведомств»,  в  котором  ставилась  узкопрактическая  задача: 
научить будущих чиновников решать с помощью математических 
методов те задачи, которые им встретятся при работе в ведомо-
стях [10, c. 50]
3
.
1
 За тысячу лет до новой эры уже при династии Чжоу китайскими астроно-
мами было установлено, что продолжительность солнечного года равна 365,25 
суток, а лунный месяц равен 29, 5 суток [8].
2
 «Математика в девяти книгах» – это классическое произведение, созда-
вавшееся в X–II вв. до н. э. [9].
3
 К практическим задачам, которые должны были решать чиновники с по-
мощью математики, относились:  а) умение вычислять площади разной конфи-
гурации; б) определение количества и стоимости снаряжения и провианта для 
групп людей, посылаемых для  выполнения разных работ; в) умение осущест-

8
Вернёмся вновь на две тысячи лет назад (1700–1450 гг. до н. 
э.) в Средиземноморье, на остров Крит. Это было время расцвета 
минойской цивилизации, связанное с именем легендарного крит-
ского царя Миноса. Согласно древнегреческому мифу, в окрест-
ностях  Кносса,  главного  города  Крита,  находился  лабиринт, 
построенный  по  повелению  Миноса  архитектором  Дедалом,  в 
котором находилось чудовище Минотавр, раз в 9 лет пожиравшее 
7 юношей и 7 девушек – дань Афин Миносу. Задача нахождения 
пути из лабиринта – это, говоря современным языком, типичная 
задача теории графов. Математическое решение этой задачи было 
предложено в 1895 г. (т.е. через 3500 лет после постановки зада-
чи) Гастоном Тарри [11]
1

Рис. 1. К задаче Дидоны
влять справедливый обмен зерна на те или иные вещи, включая шелк; г) умение 
справедливо распределять налоги как между структурными подразделениями 
(прежде всего уездами), так и между конкретными хозяйственными единицами;  
д) умение вычислять трудозатраты при строительстве разных объектов и про-
ведении земляных работ.
1
 Чтобы выбраться из лабиринта, достаточно соблюдать следующее прави-
ло:  «Никогда  не  проходить  дважды  по  одному  и  тому  же  коридору  в  одном 
направлении; находясь на перекрёстке x, не выбирать того коридора, который 
привёл на перекрёсток x в первый раз, если только имеется возможность дру-
гого выбора [12, c. 77]. В древнегреческих мифах Тесей, убивший Минотавра, 
выходит из лабиринта с помощью нити, данной ему заранее Ариадной, дочерью 
Миноса, и закреплённой одним из концов у входа в лабиринт.

9
К IX в. до н. э. (точнее к 826–814 гг. до н. э.) относится основа-
ние Карфагена (на территории современного Туниса). Карфаген 
был основан Дидоной, сестрой царя финикийского города Тира. 
Согласно легенде, Дидона попросила у местного племени участок 
земли, который можно обхватить шкурой одного быка. После по-
лучения согласия племени и получения шкуры Дидона предложи-
ла разрезать шкуру на узкие ремни и связать их. Далее, получен-
ным канатом (конечной длины), концы которого закрепляются на 
прямолинейном побережье, требовалось в зависимости от формы 
каната и точек закрепления концов охватить наибольшую терри-
торию
1
. Эта задача, интуитивно решенная Дидоной, была истори-
чески первой задачей вариационного исчисления [13, c. 13–14], 
завершенного в XVIII в. Эйлером (Euler Leonhard: 1707–1783) и 
Лагранжем (Joseph Louis Lagrange: 1736–1813).
В рамках греческой культуры (VI в. до н.э. – IV в. н. э.) в про-
цессе  создания  математики  как  науки  решались  и  прикладные 
задачи, в том числе с явно экономическим содержанием. К ним 
можно отнести задачу квадрирования (в данном случае измере-
ния площади) участка земли в форме круга, задачу удвоения (объ-
ёма) куба (из золота), задачи по смешению (в частности, золота и 
серебра) и др. [14; 15].
С  VII  в.  начинается  расцвет  арабской  культуры,  сопрово-
ждавшийся  развитием  и  математики.  Среди  задач,  решавшихся 
с  применением  математики,  можно  выделить  задачи  на  раздел 
имущества, в том числе и наследуемого. Живший на рубеже XI и 
XII вв. великий арабский учёный и поэт Омар Хайям (1048–1131) 
предложил  календарь,  по  точности  превосходящий  наш  григори-
анский
2
. Другому выдающемуся арабскому учёному – Мухаммеду 
ал-Хорезми (787–850) – мы обязаны не только индийскими (назван-
ными в Европе арабскими) цифрами, но и понятием алгоритма [16].
Кстати об Индии. Поскольку дроби были там открыты ещё во 
втором тысячелетии до новой эры, а число «0» появилось уже в 
3 в. до н. э., то многие практические задачи решались в Индии и 
точнее, и проще [16].

Дидона предложила форму каната – полуокружность.
2
 Календарь, предложенный О. Хайямом, даёт ошибку в 1 сутки за 5000 лет, 
а григорианский календарь – за 3200 лет [16, c. 65–66].

10
Появление в Европе первых университетов (по образцу баг-
дадского Дома Мудрости) на рубеже XI и XII вв., а также новые 
задачи в области торговли, учёта, страхового дела (здесь и стра-
хование имущества от пожаров в городах и страхование морских 
перевозок) привели к появлению ученых, решавших эти задачи: 
это  и  Леонардо  Фибоначчи  (L.  Fibonacci:  1180–1250)
1
,  и  Лука 
Пачоли (L. Pacioli: 1445–1517)
2
 и Блез Паскаль (B. Pascal: 1623–
1662)
3
.
1
  Л.  Фибоначчи,  называемый  также  Леонардо  Пизанский  (именно  так  он 
сам  называл  себя),  первый  по  времени  выдающийся  европейский  математик, 
в «Книге абака» (Liber abaci, 1202) в трёх главах (VIII–X) рассматривает при-
меры принятия решений по торговым операциям на основе коммерческих вы-
числений с помощью индийской позиционной системы [17]. В частности, от-
рицательные числа он интерпретировал как долг. Более полно эти идеи были 
представлены в не дошедшем до нас его трактате «Di minor guisa»(«Меньший 
род») по коммерческой арифметике.
2
 Лука Пачоли еще в детстве был учеником в мастерской знаменитого ху-
дожника Пьеро делла Франческа (Pietro della Francesca: 1415–1492) и воспринял 
от мастера как любовь к живописи, так и любовь к математике. В возрасте 32 
лет он становится профессором математики в университете в Перуджи. Однако 
не книги по математике принесли ему известность, а опус «Трактат о счетах 
и записях» (1494 г.) [18], содержащийся в книге «Сумма арифметики, геоме-
трии, учения о пропорциях и отношениях». Переизданный отдельно в 1504 г. 
в Венеции, опус вскоре был забыт, только в XIX в., с развитием капитализма, 
вспомнили о Луке Пачоли как о первом обобщившем в своём опусе достиже-
ния бухгалтерии предыдущих эпох, и прежде всего венецианской бухгалтерии. 
Впрочем, иллюстрации его друга Леонардо да Винчи (1452–1519) к рукописно-
му подарочному трактату Л. Пачоли «О божественной пропорции» (1498 г.) и 
так бы сделали его имя знаменитым [19].
3
  Великий  французский  математик,  естествоиспытатель  и  литератор  Блез 
Паскаль в возрасте 19 лет (т.е. в 1642 г.) начал работу над созданием сумми-
рующей  машины,  необходимой  его  отцу  при  распределении  пошлин  и  нало-
гов. Первый готовый экземпляр был преподнесён в 1645 г. будущему канцлеру 
Франции Пьеру Сегье (Pierre Séguer: 1588–1672), выказавшему заинтересован-
ность в создании машины, названной «паскалиной». Всего до 1652 г. было соз-
дано около 50 «паскалин». К сожалению, изготовление этих машин для того 
времени оказалось слишком сложным, а потому экономически невыгодным [20]. 
Любопытно,  что  Б.  Паскаль  в  1654  г.  получает  правильный  ответ  на  вопрос 
французского писателя Антуана Гомбо, известного под псевдонимом «шевалье 
де Мере» (Antoine Gombaud:1607–1684 ), о распределении ставок между игро-
ками при прерванной серии партий в кости [21]. Этой задачей занимался ещё 
Лука Пачоли, но получил неправильный ответ].

11
Хотя, надо признать, основная заслу-
га  в  развитии  методов  торговли,  учета 
и страхования в Европе в XIII−XVI вв. 
лежала  не  на  ученых,  а  на  практиках. 
Так, ростовщики во Франции, выходцы 
из Ломбардии (Италия), организовали в 
XV в. ломбарды. Не случайно в это же 
время (1458 г.) в Италии выходит книга 
итальянского  купца,  родом  из  хорват-
ского  города-республики  Дубровник, 
Бенедетто Котрульи (Benedetto Cotrugli: 
1416–1469) «О торговле и совершенном 
купце»
1
, в которой, приводя пример учё-
та  и  опираясь  на  опыт  предшественни-
ков, он располагал кредит на левой стороне, а дебет – на правой. 
Также он приводил (в двух колонках) примеры учёта оригиналь-
ных денежных средств, переведенных в местную валюту. Им же 
высказана  совершенно  здравая  мысль,  что  бухгалтерский  учет 
служит как для (технического) управления предприятием, так и 
для принятия тех или иных управленческих решений.
1
 Лат. «Della Mercatura et del Mercante Perfetto».
Л. Фибоначчи
Б. Паскаль
Л. Пачоли

12
ЧаСть I 
КлаССиЧеСКие МетОДы
§ 1. Методы классического анализа
1.  Задача  Кеплера.  Исторически  ма-
тематический  анализ  ведет  своё  начало  от 
работы  знаменитого  астронома  Иоганна 
(Яна) Кеплера (Johannes Kepler: 1571–1630) 
«Стереометрия винных бочек» (1615)
1
, где 
решался вопрос о максимальном объёме де-
ревянной бочки при заданных ограничени-
ях на затраты дерева, разумеется с учетом 
удобства  изготовления.  Фактически  в  этой 
работе было получено необходимое условие 
экстремума функции одной переменной.
1
 Латинское название книги «Nova stereometria doliorum vinariorum», издан-
ной в Линце, где работал тогда Кеплер. Имя Ян дано Кеплеру в Чехии во время 
учебы в средней школе (1594–1600). В 1600 г. Кеплер осел в Праге, вначале как 
ассистент Тихо Браге (Tycho Brahe: 1546–1601), а затем, после смерти Т. Браге, 
как императорский математик и астролог. 
И. Кеплер
Рис. 2. Кривая Лоренца

13
2. Кривая лоренца. Впрочем, и вид 
графика функции тоже имеет значение. 
Так, в 1905 г. американский экономист 
Макс  Отто  Лоренц  (Max  Otto  Lorenz: 
1876–1950)
1
  ввёл  в  рассмотрение  кри-
вую, названную кривой Лоренца, кото-
рая отражает (в процентах) распределе-
ние дохода семьями с разным достатком.
Кривая  Лоренца  показывает,  на-
сколько фактическое распределение до-
ходов между разными семьями отлича-
ется от равномерного распределения.
3.  Коэффициент  Джини.  В  1912  г. 
итальянский  статистик  Коррадо  Джини 
(Corrado  Gini:  1884–1965)
2
  предложил 
на  основании    кривой  Лоренца  расчёт 
дифференциации денежных доходов на-
селения [23]. При этом совокупность по-
лучателей доходов делилась на 5 равных 
групп  (квинтильных).  Далее  определя-
лась доля дохода, которой владеет каждая 
группа населения. Наконец, сам коэффи-
циент  Джини  рассчитывается  как  отно-
шение площади между кривой Лоренца и 
диагональю к ½ (площади прямоугольно-
го треугольника под диагональю).
1
 Макс Лоренц, математик и экономист, в 1905 г. опубликовал статью «Ме-
тоды измерения концентрации богатства» [22].
2
  Коррадо  Джини  стал  профессором  статистики  в  университете  Кальяри  в 
1909 г. С 1913 г. – профессор в Падуе, с 1925 г. до выхода на пенсию – профессор 
Римского университета. Уже в 1920 г. Джини основал международный статисти-
ческий журнал «Метрон», а в 1934 г. – международный демографический жур-
нал «Genus», был редактором обоих журналов до самой смерти в 1965 г. Однако 
нельзя забывать, что циклическая теория роста населения, по которой «молодые 
нации должны расширяться за счёт более старых наций», предложенная Джини 
ещё в 1927 г., была не случайно основой идеологии итальянского фашизма [24; 
25]. В 1938 г. Джини предложил  новое семейство средних, зависящих от двух па-
раметров, для налогообложения. Позже это семейство было названо его именем. 
(Подробнее см.: Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970. 447 с.)
Макс Лоренц
Коррадо Джини

14
В 2013 г. в России по заказу одной из общероссийских сетевых 
компаний был проведен репрезентативный опрос. Заранее было 
принято (на основе покупательной способности), что семьи с ду-
шевым доходом менее 11 тыс. руб. можно будет отнести к числу 
«бедных». С душевым доходом менее 34 тыс. рублей, но более 
или равным 11 тыс. рублей − к «среднему классу». И наконец, 
с душевым доходом более (или равным) 34 тыс. рублей к «бога-
тым». Число бедных составило 50 %, «среднего» класса – 35 %, а 
богатых – 15 %. Считая, что средний доход «богатых» не превос-
ходит 100 тыс. руб. на человека в месяц, можно посчитать коэф-
фициент Джини. В этом случае площадь ниже графика Лоренца 
будет равна 0,21475, а коэффициент Джини будет (0.5 – 0.21475)/ 
0,5 = 0,5706. Напомним, что на рис. 2 по вертикали откладывается 
совокупный доход, а по горизонтали численность населения (всё 
в процентах). Считается, что коэффициент Джини, рассчитанный 
для всей страны, не должен превышать 0,3. Таков, например, ко-
эффициент Джини у скандинавских стран и у Швейцарии.
4. Кривая Кузнеца. В 1955 г. американский экономист Сай-
мон Кузнец ((Шимен (Абрамович) Кузнец; Simon Kuznets: 1901–
1985), заметил, что неравенство в доходах у групп населения на 
определённом этапе развития связано с ростом экономического 
развития [26]. С. Кузнец
1
 показал (на примере двухсекторной эко-
1
 Шимен Кузнец родился в Пинске (Российская империя). Окончил реальное 
училище в Харькове в 1917 г. И тогда же взял имя Семён. С 1918 по 1921 гг. 
учился в Харьковском коммерческом институте. По окончании института ра-
ботал  в  отделе  статистики  Всероссийского  центрального  совета  профсоюзов 
(Южное бюро). В это же время Кузнец публикует свою первую научную работу 
«Денежная заработная плата рабочих и служащих г. Харькова в 1920 г.» [27]. 
Получив весточку от отца, уехавшего еще до Первой мировой войны на зара-
ботки в Нью-Йорк, семья (мать и двое братьев) решаются выехать в 1922 г. в 
Польшу (а Пинск, по Советско-польскому договору 1921 года, вошел в состав 
Польши). Оттуда уже Шимен Кузнец выехал в Нью-Йорк (мать умерла в Вар-
шаве). Продолжив учебу в Колумбийском университете, он в 1924 г. защищает 
магистерскую диссертацию, а еще через 2 года – докторскую. В 1927–1961 гг. 
С. Кузнец работал в Национальном бюро статистических исследований, одно-
временно преподавал в Пенсильванском университете, а позже в Университете 
Джонса Хопкинса. С 1961 г. до выхода на пенсию в 1971 г. С. Кузнец – профес-
сор Гарвардского университета. В том же году С. Кузнец получил премию им. 
Альфреда Нобеля, учреждённую Шведским Банком, за «эмпирически обосно-

15
номики), что экономическое развитие ведет первоначально к уве-
личению  неравенства  (определяется  с  помощью  коэффициента 
Джини), а затем к его уменьшению.
 В общем случае кривая Кузнеца похожа на перевёрнутую бук-
ву U.
Реально кривая Кузнеца отчетливо видна на примере топлив-
но-экономического  комплекса  и  сельского  хозяйства  Воронеж-
ской  области  на  протяжении  последних 
20  лет,  где  рост  в  сельском  хозяйстве 
(устойчивый по 10 % в год) наблюдается 
только в последние 4 года.
5.  Функция  полезности.  Функция 
полезности  возникла  первоначально  в 
рамках  теории  потребительского  спро-
са. При этом предполагается, что потре-
битель  действует  рационально,  т.е.  его 
поведение  подчиняется  ряду  аксиом.  В 
частности,  аксиома  транзитивности  ут-
ванное толкование экономического роста». Во время Второй мировой войны 
он  был  заместителем  директора  Бюро  планирования  и  статистики  Совета  по 
военному производству [28].
Рис 3. Кривая Кузнеца
Саймон Кузнец

16
верждает, что если некоторая группа товаров X предпочитается 
другой группе Y, а Y предпочитается Z, то X предпочитается Z. 
Аксиома  полноты  утверждает,  что  потребитель  имеет  возмож-
ность в соответствии со своими предпочтениями получить лю-
бую доступную комбинацию товаров. Наконец, аксиома отбора 
гласит, что потребитель стремится к своему наиболее предпочти-
тельному состоянию. Теперь уже можно формализовать понятие 
функции полезности.
Первоначально это сделали Джон фон Нейман (John von Neu-
mann:  1903–1957)
1
  и  Оскар  Моргенштерн  (Oskar  Morgenstern: 
1902–1977)
2
 в знаменитой работе 1944 г. «Теория игр и экономи-
ческое поведение» [29].
Пусть  а  некоторое  множество  альтернатив  и  пусть  на  этом 
множестве  определено  отношение  предпочтения 

3
.  Пусть  R  – 
множество вещественных чисел. Функцию h: A → R будем на-
зывать функцией полезности, если выполнено условие


 у ↔ h(x) ≥ h(y),  (x, y ∈ A)
1
 Биографию Джона фон Неймана см. далее в § 4.
2
 Биографию Оскара Моргенштерна см. далее в § 4.
3
  Если  задано  нестрогое  отношение  предпочтения 

,  то  будем  говорить,  что 
x ~ y (x эквивалентно y), если x 
├ 
y и y 

 x; будем говорить, что x строго предпо-
чтительнее y (x 

 y), если x 
├ 
y, но x не эквивалентно y.
Рис 4. Функция полезности (график)

17
Необходимым  условием  существо-
вания функции полезности является ра-
циональное  поведение  потребителя,  т.е. 
выполнение  y  отношения  предпочтения 

 аксиом транзитивности (из условий x 

 
y и y 

 z следует x 

 z), полноты (для лю-
бых x, y ∈ А либо x 

 y, либо y 
├ 
x , либо 
x = y) и отбора
1
.
Достаточным  условием  существова-
ния функции полезности является непре-
рывность предпочтений. При этом (если 
A несчётно) построенная функция полез-
ности  сама  является  непрерывной  [30, 
теорема 3.1, с. 47].
Если  множество  а  является  выпу-
клым,  то  функция  полезности  h  будет 
квазивогнутой
2
.  Если  предпочтения  от-
вечают свойству монотонности (строгой 
монотонности), то функция полезности h 
будет монотонной (строго монотонной).
Линия  (поверхность,  гиперповерх-
ность)  уровня  функции  полезности  на-
зывают кривой (поверхностью, гиперпо-
верхностью) безразличия.
Она задаётся уравнением: 
h(x) = const.
Для  двух  переменных  наиболее  из-
вестной функцией полезности является производственная функ-
ция с постоянной эластичностью замещения (constant elasticity of 
substitution) вида:
h (x,y) = (αx
1/p 
+βy
1/p
)
p
.
1
 У Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна аксиома отбора заменена на две акси-
омы: независимости и протяженности.
2
 Пусть А ∈ R
n
 – выпуклое множество. Пусть f: A→ R – непрерывная функция. 
Будем называть f квазивогнутой, если для любого вещественного числа t мно-
жество {x∈A: f(x) ≥ t} выпукло [30, c. 69].
Джон фон Нейман
Оскар 
Моргенштерн

18
При p = 1 функция полезности принимает вид:
h(x,y) = αx+βy.
Эта функция при постоянной эластичности описывает совер-
шенные заменители.
При р → ∞ получаем функцию
h (x,y) = min{αx, βy}.
Эта  функция  называется  производственной  функцией  Леон-
тьева
1
 («затраты выпуск»). В данном случае она описывает со-
вершенные дополнители.
При p → 0 (α ≥ 0, β ≥ 0) получаем производственную функ-
цию Кобба – Дугласа
2
 (Cobb – Douglas production function) от двух 
факто-ров:
h(x, y) = x
α
y
β
.
При этом, если α + β =1, то имеем постоянную отдачу от рас-
ширения производства [32].
Возвращаясь к потребительскому спросу, отметим очевидную 
связь функции полезности и цены. В России первый фундамен-
тальный труд
3
 (1895) на эту тему принадлежит Роману Михайло-
вичу Орженцкому (Roman Orzęcki: 1863–1923), в которой автор 
разделяет  предпочтения  на  два  класса:  психолого-личностные    
(в частности, мода) и экономические – цена.
Одним из первых, кто в 60-х годах XIX века сделал попытку дать 
математическую модель потребления, был Уильям Джевонс (William 
Stanley Jevans: 1833–1882). Эта попытка содержала две работы
4
.
1
 О Василии Васильевиче Леонтьеве речь пойдет дальше (см. § 4 ).
2
 Чарльз Кобб (Charles Wiggins Cobb: 1875–1949) – американский матема-
тик и экономист, Пол Дуглас (Paul Howard Douglas: 1892–1976) – американский 
экономист  и  общественный  деятель,  опубликовали  в  1928  г.  статью  «Теория 
производства» [33], в которой и появилась впервые производственная функция, 
названная позже функцией Кобба – Дугласа.
3
  Орженцкий  Р.М.  Полезность  и  цена.  Политико-экономический  очерк.  – 
Одесса, 1895. – 95 с.
4
 Jevons W.S. Notice of  a general mathematical theory of political economy // 
British Assoc. for the Advancement of Science.  Report of the 32 Meeting Transaction  
of the Section. London: L.J.Murray, 1862. p. 158–159; Jevons W. S. Brief of general 
mathematical theory of political economy // Journal of Statistic. Society of London, 
1866, XXIX, 2, pp. 282–287. 

19


  1   2   3   4   5


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал