И ю л ь 2015 Издаётся при поддержке Московского центра непрерывного математического образования (мцнмо)



жүктеу 342.95 Kb.

бет1/4
Дата08.09.2017
өлшемі342.95 Kb.
  1   2   3   4

7

и ю л ь



2015

Издаётся при поддержке Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО)

e-mail: kvantik@mccme.ru

№ 7| и

ю

л

ь 

2015

З е р к а л О ж к а

П р О е к Ц И я 

М е р к а т О р а

Enter

В К У С О В О Й   К О Д

Вы можете оформить подписку на «Квантик» в любом отделении 

Почты России. Подписаться на следующий месяц можно до 10 чис-

ла  текущего  месяца.  Наш  подписной  индекс  84252  по  каталогу 

«Газеты. Журналы» агентства «Роспечать».

Кроме журнала, «Квантик» выпускает:

Альманахи  материалы журналов 

за очередное полугодие в едином изда-

нии; вышли в свет уже 5 выпусков!

Плакаты  в комплекте 10 плакатов  

с занимательными задачами для школь-

ных кабинетов математики и физики.

Календарь загадок  календарь на теку-

щий год с задачей-картинкой на каждый 

месяц.

Всё это можно купить в магазине «Мате-



матическая книга» по адресу: г. Москва, 

Большой Власьевский пер., д. 11,  

сайт biblio.mccme.ru, или заказать  

по электронной почте biblio@mccme.ru



www.kvantik.com

 kvantik@mccme.ru

 kvantik12.livejournal.com

 vk.com/kvantik12

Открыта подписка на электронную версию журнала!

Подробности по ссылке: http://pressa.ru/magazines/kvantik#/

Главный редактор: Сергей Дориченко

Редакция: Александр Берд ников,

Дарья Кожемякина, Елена Котко,  

Андрей Меньщиков, Максим Прасолов, 

Григорий Фельдман 

Художественный редактор  

и главный художник: Yustas-07

Верстка: Рая Шагеева, Ира Гумерова 

Обложка: художник Yustas-07

Формат 84х108/16.

Издательство МЦНМО

Журнал «Квантик» зарегистрирован 

в Федеральной службе по надзору в сфере 

связи, информационных технологий и массовых 

коммуникаций.

Свидетельство ПИ N ФС77-44928 от 4 мая 2011 г.



ISSN 2227-7986 

Тираж: 5000 экз.



Адрес редакции: 119002, Москва,

Большой Власьевский пер., 11.

Тел.: (499) 241-08-04. 

e-mail: kvantik@mccme.ru

По вопросам распространения обращаться

по телефону: (499) 241-72-85;

e-mail: biblio@mccme.ru

Подписаться можно в отделениях связи  

Почты России, 

подписной индекс 84252.

Отпечатано в соответствии

с предоставленными материалами

в OOО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь.

www.рareto-print.ru

Заказ №

Почтовый адрес: 

119002, Москва, Большой Власьевский пер., д.11, журнал «квантик». 

Где ещё можно купить продукцию 

«Квантика», смотрите по ссылке: 

kvantik.com/kupit.html


 ОГЛЯНИСЬ ВОКРУГ

Вкусовой код. 

В. Винниченко

  

2

 УЛЫБНИСЬ



В огороде бузина… 

И. Акулич

 

5

 КАК ЭТО УСТРОЕНО



Зеркаложка 

8

Проекция Меркатора. 

А. Щетников

 

12

Цветные тени. 

А. Бердников

 

18

 ДВЕ ТРЕТИ пРАВДЫ



Щелкунчик. 

С.  Федин 

16

 КОМИКС


Кто с кем танцует

 

23

 ЧУДЕСА ЛИНГВИСТИКИ



Игры в слова с переворачиванием. 

О. Кузнецова

 

24

 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИ



Трагедия предателя.

 И. Акулич

 

26

 ОпЫТЫ И ЭКСпЕРИМЕНТЫ



Две задачи турнира по физике   

«Шунт».

 А. Сорокин, М. Позолотина 

28

 ОТВЕТЫ


Ответы, указания, решения 

30

 ОЛИМпИАДЫ



Наш конкурс 

32

 ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ



Две ракеты. 

И. Акулич

 

IV стр. обложки



2

Вызывает  ли  нас  к  доске  учитель  математики,  по-

шёл ли папа на кухню к холодильнику, готовит ли мама 

суп, холодно нам или жарко, хотим мы есть или пить – 

что  бы  ни  случилось,  наш  мозг  должен  точно  знать, 

что происходит вокруг нас и внутри нас. Но мозг умеет 

говорить  только  на  языке  электрических  импульсов. 

Именно поэтому ему нужна специальная команда пере-

водчиков.  Эти  переводчики  называются  рецепторами. 

Так,  рецепторы  в  наших  глазах  –  палочки  и  колбоч-

ки – улавливают свет, рецепторы в ушах – волосковые 

клетки – улавливают звук, рецепторы кожи улавлива-

ют давление и прикосновение и т. д. Один и тот же ре-

цептор может воспринимать разные виды информации. 

Так,  если  мы  закроем  глаза  и  слегка  надавим  поверх 

века, мы увидим захватывающую картину крапинок и 

вспышек. Это потому, что палочки и колбочки способ-

ны реагировать не только на свет, но и на механическое 

воздействие (давление). Но все же точнее и лучше все-

го  рецепторы  распознают  свой  сигнал.  Поэтому  когда 

«звонит»  рецептор  света,  то  мозг  интерпретирует  (по-

нимает) этот сигнал как свет. Такой принцип кодирова-

ния информации учёные назвали «принципом меченой 

линии». Это значит: чтобы понять, что случилось, моз-

гу важно знать, откуда именно пришёл сигнал.

Во  рту  у  нас  тоже  имеется  специальная  команда 

переводчиков  –  вкусовые  рецепторы.  Они  переводят 

энергию различных химических соединений в последо-

вательность электрических импульсов. И в таком «по-

нятном» виде сигнал и поступает в мозг. Мозг радуется 

понятному  сигналу  и  тотчас  его  опознаёт.  Если  пища 

полезная и вкусная, мозг запускает команды жевания 

и  глотания.  Если  еда  горькая,  невкусная,  противная, 

мозг запускает реакцию выплёвывания или даже рво-

ты.  Больше  всего  вкусовых  рецепторов  расположено 

на языке. А вот у рыб, в отличие от нас, вкусовые ре-

цепторы расположены не только в ротовой полости, но 

и по всей поверхности тела. Поэтому рыбы постоянно 

ощущают вкус воды, в которой плавают.

Какими бывают эти рецепторы вкуса? Мы рассмо-

трим четыре основных типа вкусовых рецепторов (со-

Вера Винниченко

ОГЛЯНИСЬ

ВОКРУГ


3

лёного, кислого, сладкого и горького) и один дополни-

тельный (умами).

Рецепторы солёного.

 Все мы знаем, как выглядит 

соль, которую мама любит сыпать в суп, – это малень-

кие белые кристаллики хлорида натрия NaCl. Но сто-

ит  только  очутиться  этим  кристалликам  в  супе  или 

у нас во рту, как они начинают растворяться, распа-

даясь на отдельные частицы: положительно заряжен-

ные частицы натрия Na

+

 и отрицательно заряженные 



частицы хлора Cl–. Рецептор солёного находит и свя-

зывает  ионы  Na

+

.  Как  только  они  связываются,  ре-



цептор отдаёт в мозг электрический импульс – специ-

альный сигнал. И мы ощущаем солёный вкус. 



Рецепторы  кислого.

  Лимон,  уксус,  клюква  со-

держат  большое  количество  ионов  водорода  Н

+

.  Как 



только рецепторы кислого связываются с ионами во-

дорода  Н

+

,  рецепторы  посылают  электрический  сиг-



нал в мозг. И мы ощущаем кислый вкус. 

Рецепторы  сладкого  и  горького.

  Все  мы  хорошо 

знаем, как приятно на вкус малиновое варенье и ка-

кие горькие на вкус редька, грейпфрут и чистый чёр-

ный кофе без молока и сахара. Но генетики доказали 

удивительный факт: рецепторы сладкого и горького – 

близкие родственники. Рецепторы сладкого реагиру-

ют на глюкозу. Рецепторы горького – на такие веще-

ства, как хлорид кальция и различные растительные 

алкалоиды  –  хинин,  атропин,  кофеин.  Большинство 

лекарств  делают  на  основе  растительных  алкалои-

дов – вот почему лекарства обычно горькие. 

В 1909 году в Японии жил физиолог Кикунае Ике-

да,  который  очень  любил  макать  всё,  что  ему  дают  на 

обед,  в  соусы,  изготовленные  из  морских  водорослей. 

Кикунае очень хотел понять, почему эти соусы делают 

еду такой вкусной. Он долго разлагал на простые ком-

поненты все соусы, которые ему попадались, и наконец 

выделил вещество, которое искал – это  оказался глу-

тамат натрия. Глутамат связывается со специальными 

рецепторами, вызывая «мясной вкус». Кикунае назвал 

этот  вкус  «умами»,  что  означает  по-японски  «очень 

вкусно». Так был открыт пятый вид вкуса – умами.

Невкусовые  рецепторы  во  рту.

  Конечно,  в  рото-

вой полости имеются не только вкусовые рецепторы. 

ОГЛЯНИСЬ


ВОКРУГ

4

Например, там есть рецепторы холодного и горячего. 

Если мы с вами начнём есть мороженое, то сработают 

холодовые, а вот когда мы едим горячий суп или пьём 

горячий чай, активируются рецепторы горячего.

Мы  уже  говорили,  что  рецепторы  специализиру-

ются на своём сигнале, но могут реагировать на другие 

стимулы, например, на разные химические вещества. 

Например, от мяты во рту ощущается холод. Это по-

тому,  что  мята  содержит  ментол.  Ментол  связывает-

ся химически с холодовым рецептором и активирует 

его «нелегально», «обманывая» наш мозг. Поскольку 

нервный импульс поступает от холодового рецептора, 

мозг согласно принципу «меченой линии» интерпре-

тирует  сигнал  как  холод.Если  вам  когда-нибудь  по-

падется красный перец чили, ни в коем случае не ку-

сайте его сразу. Пусть сначала попробует папа. Перец 

чили с виду очень похож на сладкий болгарский перец 

и  является  его  ближайшим  родственником.  Но  при 

этом перец чили содержит   жгучее вещество капсаи-

цин, активирующее тепловые рецепторы. Капсаицин 

вызывает сильное жжение, все во рту прямо-таки го-

рит огнем. Поэтому если папа, пожевав перец, закри-

чит – значит, этот перец был не болгарский. 

Однако  в  ощущении  вкуса  важна  информация  не 

только от вкусовых рецепторов: при формировании ко-

манды мозг учитывает также вид и запах пищи. Если 

посадить папу на диван, завязать ему глаза, попросить 

зажать  нос  и  дать  ему  по  маленькому  кусочку  яблока 

и лука, папа может их перепутать. Это не потому, что 

папа устал и ему неинтересно. Это потому, что мы при-

выкли  ориентироваться  на  зрительную  информацию. 

Лучшие  шеф-повара  и  гурманы  специально  трениру-

ются по запаху и вкусу, вслепую различать тысячи спе-

ций, масел, сыров, сорта овощей и фруктов. Попробуй-

те самостоятельно провести следующие эксперименты.

1 Как изменится вкус еды, если её сначала положить 

в рот, а потом уже сделать вдох (носом, разумеется)?

2  Как  меняется  вкус  еды  по  мере  её  разжёвывания? 

Ослабляется или усиливается? Появляются ли новые 

вкусы?

3  Что  поменяется  в  ощущении  вкуса,  если  во  время 



жевания закрыть глаза?

ОГЛЯНИСЬ


ВОКРУГ

Художник Евгений Паненко



…а в Киеве, как известно, дядька. А кому до Киева 

далеко, то пусть дядька обитает, например, в Подоль-

с ке или Воскресенске. Дело-то не в этом, а в задачах, 

условия которых полностью соответствуют данной по-

говорке, но, как ни странно, решения такие задачи все-

таки имеют. И вот первый пример – широко известный.



Представьте себе, что вы – машинист. Ваш па-

ровоз тянет поезд, состоящий из 10 вагонов с углём, 

20  вагонов  с  лесом  и  30  цистерн  с  мазутом,  а  сзади 

прицеплeн  ещё  и  почтово-багажный  вагон.  Сколько 

лет машинисту?

Вопрос,  казалось  бы,  совершенно  к  делу  не  отно-

сится.  Действительно  –  в  огороде  бузина…  и  т.д.  Но 

если  вдуматься,  то  ключ-то  на  поверхности,  а  имен-

но – во фразе «Представьте себе, что вы – машинист». 

Так  что  для  ответа  на  вопрос  надо  лишь  вспомнить, 

сколько вам лет.

«Ну, это не математика!» – может заявить читатель. 

Согласимся, что не совсем. Тогда вот другой пример.

Два  математика  ехали  в  трамвае.  Один  посто-

янно  смотрел  в  окно,  другой  всю  дорогу  дремал.  При 

очередной остановке у светофора смотревший в окно 

воскликнул:

– Удивительное совпадение!

– Что такое? – проснулся второй.

–  Представляешь,  со  мной  недавно  казус  вышел. 

Складывал я на калькуляторе два натуральных чис-

ла. Если бы я сделал всё правильно, то сумма была бы 

равна номеру вон того «Мерседеса». Но я почему-то в 

первом слагаемом набрал цифры в обратном порядке, 

а у второго вообще пропустил одну цифру. И потому 

сумма оказалась равной номеру вон тех «Жигулей». 

Так  вот  скажи:  сможешь  ли  ты  определить,  какую 

цифру я пропустил?

– Нет, – поразмыслив, ответил второй. – Этих 

данных недостаточно.

– Хорошо, добавлю: она равна номеру дома, мимо 

которого мы проехали полчаса назад.

– Ну, тогда я могу назвать эту цифру.

Назовите и вы.

Игорь Акулич

В огороде

 

бузина…



Похоже, и эта задача бузиной пахнет! Во-первых, 

к чему номера автомобилей, если они нам неизвестны? 

А  номер  дома  –  вообще  ни  к  селу,  ни  к  городу,  ведь 

второй математик его даже не видел, поскольку спал!

Тем не менее, решение есть, и основано оно на из-

вестном  признаке  делимости  на  9,  который  в  самом 

«развёрнутом» виде можно сформулировать так: оста-

ток от деления натурального числа на 9 равен остатку 

от деления на 9 суммы его цифр.

Пусть остатки от деления на 9 номеров «Мерседе-

са»  и  «Жигулей»  равны  соответственно М  и Ж.  Рас-

смотрим две возможности:

1) М ≠ Ж. Зададимся вопросом: почему остатки мо-

гут различаться? Ясно, что запись цифр первого слага-

емого в обратном порядке здесь ни при чём: делимость 

на 9 связана лишь с суммой цифр, которая при этом 

не  меняется.  Значит,  дело  лишь  в  той  самой  пропу-

щенной  цифре  –  именно  она  вызывает  расхождение. 

Используя признак делимости на 9, можно (зная М и 

Ж) легко определить эту цифру: она равна М

 



 

Ж, если 

М

 

>



 

Ж, или равна 9

 

+



 

М

 



 

Ж, если М

 

<

 

Ж. Так что если 

остатки от деления на 9 номеров автомобилей были бы 

различны, то второй математик сумел бы однозначно 

указать пропущенную цифру, но по условию он этого 

сделать не смог. Значит, этот случай не имел места.

2) М = Ж. Совпадение остатков, как явствует из того 

же  признака  делимости  на  9,  возможно,  если  пропу-

щенная цифра не влияет на остаток от деления на 9. Но 

таких возможных цифр две: 0 и 9, и теперь понятно, по-

чему второй математик не мог сразу назвать пропущен-

ную цифру. Значит, имел место именно этот случай.

Итак,  первый  математик  пропустил  либо  ноль, 

либо девятку. А в конце разговора он добавил, что эта 

цифра равна номеру дома. Но номер дома не может рав-

няться нулю

1

! Стало быть, остается единственная воз-



можность: пропущенная цифра – это 9. Таков ответ.

Задача 1. Убедитесь, что уточнение про номер дома 

необходимо: придумайте номера «Мерседеса» и «Жи-

гулей»,  которые  можно  получить  способом  первого 

математика и удаляя 0, и удаляя 9.

Иногда приходится привлекать к решению дополни-

тельные данные, находящиеся «за границей» условия. 

Такие задачи, конечно, решаются труднее. Вот пример.

Первоначально  была  мысль 



вообще  не  выходить  в  условии 

за  «транспортные»  рамки,  то 

есть  вместо  слов  «…равна  номе-

ру дома, мимо которого мы про-

ехали  полчаса  назад»  написать, 

например,  так:  «…равна  номеру 

автобуса,  который  обогнал  нас 

полчаса  назад».  Но  пришлось 

отказаться  от  этой  идеи  по  сле-

дующей  причине:  будучи  как-

то  в  Москве,  автор  увидел  ав-

тобус  с  номером  маршрута  «0»! 

По-видимому,  это  был  какой-

то  временный  или  добавочный 

маршрут,  но,  во  всяком  случае, 

нулевые номера автобусов быва-

ют!  А  вот  нулевых  номеров  до-

мов встречать не приходилось.



Высота египетской пирамиды (в метрах) больше 

произведения  двух  нечётных  двузначных  чисел,  но 

меньше квадрата их полусуммы. Как звали фараона?

У поклонников популярной когда-то группы «На-

утилус Помпилиус», несомненно, в голове крепко си-

дит Тутанхамон (тем более что он был, согласно песне, 

очень умён). Но это вряд ли относится к делу. Вот если 

бы были указаны те самые двузначные числа, то ещё 

можно было бы на что-то надеяться: узнать, в каких 

пределах лежит высота пирамиды, и с помощью учеб-

ника истории (или энциклопедии, если учебника не-

достаточно) постараться определить её хозяина. И тем 

не менее попытаемся. Если эти два числа одинаковы, 

то их произведение равно квадрату полусуммы, что не-

допустимо (ибо высота пирамиды должна лежать, по 

условию, между этими числами). Поэтому они различ-

ны.  Наименьшее  возможное  значение  произведения 

двух  различных  нечётных  двузначных  чисел  равно  

11•13

   


=

 

143,  следующее  по  величине  –  11•15



 

=

 



165, 

остальные ещё больше. А теперь воспользуемся учеб-

ником,  где  чёрным  по  белому  сказано,  что  пирамид 

выше  165  метров  в  Египте  нет.  Поэтому  два  числа, 

о которых говорится в условии, – именно 11 и 13. Ква-

драт их полусуммы равен 144. Итак, высота пирами-

ды лежит между 143 и 144 м. Снова ныряем в учебник 

и узнаём, что лишь одна пирамида имеет подходящую 

высоту 143,5 м. Это вторая по высоте пирамида

2

, и за-



хоронен в ней был Хефрен (иногда говорят – Хафра). 

Между  прочим,  как  раз  его  лицо  имеет  знаменитый 

Сфинкс.

Как  видите,  не  следует  сразу  впадать  в  панику, 



встретив «бузинно-дядечную» задачу. Вполне вероят-

но,  что  решение  есть.  Но  будьте  внимательны:  необ-

ходимая информация может быть искусно замаскиро-

вана,  так  что  смотреть  надо  в  оба!  А  для  тренировки 

попробуйте решить такую задачу.

Задача 2. Витя и его младший брат Митя купили 

по книге. Затем каждый из них подсчитал сумму цифр 

номеров всех страниц своей книги и выяснил, что она 

равна  году  его  рождения.  Как  зовут  того  из  братьев, 

который учится в школе с математическим уклоном?

Обратите  внимание:  братья  подсчитали  не  сумму 

номеров, а сумму цифр, из которых состоят номера!

2

А первая по высоте – это зна-



менитая  пирамида  Хеопса  (он 

же Хуфу) высотой 146,6 м.

Художник Анна Горлач


8

По  большому  счёту,  ложка  является  искривлён-

ным зеркалом, поэтому нам нужно научиться объяс-

нять то, что мы видим в зеркалах, в том числе в зерка-

лах сложной формы.

Ноль зеркал. Начнём с самого простого: попробуем 

понять,  как  мы  видим  предметы.  Простого  –  громко 

сказано: разные детали и особенности нашего зрения 

можно обсуждать бесконечно. Нам будет нужно знать 

только то, что луч света, отражаясь от предмета, попа-

дает к нам в глаз – поэтому мы этот предмет и видим. 

Это схематично изображено на рисунке 1.

Одно  зеркало.  Однако  луч  может  попасть  к  нам 

в глаз не напрямую, а отразившись по дороге от зер-

кала.  Выполняется  такой  закон:  угол  падения  равен 

углу отражения. Это означает, что углы, отмеченные  

на рисунке 2, равны. 

Для наших целей будет удобнее представлять себе 

весь  этот  процесс  немного  иначе.  Давайте  мыслен-

но  расположим  по  ту  сторону  зеркала  целый  зазер-

Наверняка вы хоть раз 

глядели в ложку как 

в зеркало. Если нет – най-

дите ближайшую ложку 

и посмотрите на её вогну-

тую поверхность. Ваше 

отражение будет перевер-

нутым! В этой статье мы 

попробуем разобраться, 

почему так происходит.

Зеркаложка

Зеркаложка

З

ер

к



а

л

ожка



КАК ЭТО УСТРОЕНО

Зеркало


Угол падения

Угол отражения

Рис. 1

Рис. 2


кВаНТИк

кВаНТИк


кИТН

аВк


кИТН

аВ

к



кальный  мир,  симметричный  обычному.  Тогда  зер-

кало  станет  окном  в  это  зазеркалье.  Действительно, 

посмот рим на рисунок 3: так как угол падения равен 

углу  отражения,  Квантик,  глядя  в  зеркало  по  лучу 



AX, увидит цветок, в который упирается отражённый 

луч . Но если бы луч AX прошёл сквозь зеркало как 

через окно (то есть пошёл бы дальше по лучу XB), он 

бы  упёрся  в  симметричный  зазеркальный  цветок,  то 

есть Квантик увидел бы то же самое. 



  1   2   3   4


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал