Қазақстан республикасының білім және ғылым министрлігі семей қаласының ШӘКӘрім атындағы



жүктеу 0.58 Mb.

бет3/5
Дата22.04.2017
өлшемі0.58 Mb.
1   2   3   4   5

жҥйелерді қҧру тҧжырымдамасы қолданылады: 

ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 25 беті 

 

 



1.Кескінді  графикалық  шығару:  кескін  қарапайым  объектілер  кӛмегімен 

қҧрылады 

(шығарудың 

примитивтілігі). 

Примитивтер 

атрибуттармен 

сипатталады (желінің тҥсі мен қалыңдығы, шрифт нысаны, штрихтау тҥрі және 

т.б).  


2.  Координаттар  жҥйесі:  қолданушы  примитивтермен  ТКЖ-де  жҧмыс 

істей  алады  және  артынан  оларды  координаттардың  әртҥрлі  аспаптық 

жҥйесімен  графикалық  станцияларға  шығара  алады;  бҧл  ҥдерісті  басқаруды 

графикалық жҥйе ӛзіне алуы тиіс.   

3. 

Графикалық 



станциялардың 

тҧжырымдамасы: 

енгізу-шығару 

қондырғылары (дисплей, принтер, графо қҧрушы)  «жҧмыс станциясы» немесе 

жай ғана станция ҧғымымен бірлеседі. 

4.  Енгізудің  логикалық  қондырғыларының  тҧжырымдамасы:  ақпаратты 

енгізу  потенциометр  типті  қондырғыдан,  жҧмыс  станциясынан  (нҥкте 

кординаттары),  пернетақтадан  берілуі  мҥмкін-графикалық  жҥйе  енгізудің 

физикалық қондырғысының ӛзгерісіне ӛзі әрекет етуі қажет. 

5.  Сегментация:  кескінді  бӛліктерге  (сигменттерге)  бӛлу  және  олармен 

жҧмыс істеу, сондай-ақ, оларды тәуелсіз ӛңдеуге мҥмкіндік бар, бҧл бӛліктерді 

қою және жою, кӛшірме жасау, масштабтау, бҧру және т.б.  

6.  Метафайлдың  тҧжырымдамасы-  сақтауға,  тасымалдауға,  басқа 

жҥйелермен кескін алмасу қҧралдары. 

7.  Кҥй  кестесі-графикалық  жҥйенің  қызметтік  кҥйін  (конфигурациясын) 

анықтайды. 

8. Жҥйенің деңгейлерінің тҧжырымдамасы: ГЖЯ-ның барлық қызметтері 

9  деңгеймен  белгіленген,  сондай-ақ,  тӛменгі  деңгейге  тек  енгізуге  қызмет 

кӛрсететін қызметтің минималды жиынтығы кіреді, ал жоғарғысына ГЖЯ-ның 

барлық мҥмкіндіктері жауап береді.    

9.  Қателерді  ӛңдеу.  Әр  қызметке  мҥмкін  болатын  қателер  жиынтығы 

белгіленеді,  бҧл  кезде  қолданбалы  бағдарлама  немесе  қателерді  ӛңдеудің  ӛз 

жҥйесін ҧстайды немесе жҥйенің стандартты әрекетіне қанағаттанады. 

10. Координаттар жҥйесінің мӛлшерлілігі: бҥгінгі таңда ГЖЯ екі ӛлшемді 

жҥйе болып табылады. 

Кескін  қҧру  ҥшін  графикалық  жҥйе  негізгі  элементтердің  жиынтығын  -

шығарудың 

примитивтарын 

ҧсынады. 

Примитивтердің 

тҥрі 

кескін 


тасымалдаушыда  (экран,  графо  қҧрушы,  принтер)  олардың  графикалық  және 

кӛзбен шолу ҧсынылуымен белгіленеді.  



Примитив  –  бір  командамен  қҧрылатын,  ӛңделетін  және  жойылатын 

негізгі графикалық элемент. 

ГЖЯ мына примитивтер жиынтығын белгілейді: 

1.Бҧрмаланған. 

2.Полимаркер  (кӛрсетілген  нҥктелердегі  центрлары  бар  символдар 

жиынтығы). 

3.Мәтін. 

4. Полигоналды аймақ (бос, боялған немесе штрихталған кӛпбҧрыш). 



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 26



 

беті 


 

 

5.  Ҧяшықтар  матрицасы  –  растырлық  қондырғының  пиксельдер 



матрицасын  жинақтау.  Бҧл  әр  қайсысы  ӛзінің  тҥсі  мен  жарықтығы  бар 

ҧяшықтар матрицасы.   

6. 

Шығарудың 



жинақталған 

примитиві-графикалық 

шығарудың 

спецификалық  қҧралын  пайдалану  мҥмкіндігін  анықтайды,  мысалы,  қисық 

сплайнамдардың интерполяциясын, доға мен шеңбер салу және т.б.  

Примитивтер  нышан-атрибуттармен  сипатталады.  Сызық  ҥшін  бҧл  тҥс 

және тҥр(бҥтіндей, штрихті, ӛстік және т.б.). 

Біз енді әлемдік және тҧтынушылық координаттар жҥйесін білеміз. ӘКЖ 

графикалық жҥйеге қҧрылған, ТКЖ ттынушы ӛзі белгілейді. Бҧдан ӛзге, ГЖЯ 

келесі координаттар жҥйесін белгілейді.  



Қалыпқа  келтірілген  координаттар-  бҧл    нақты  қондырғыға  тәуелсіз 

берілген 0 мен 1 диапазонында ӛзгеріп отыратын координаттар. Оны пайдалану 

арқылу біз кез келген ӛлшемді экранда бір кескінді кӛреміз (телевизордағыдай). 

Қалыпқа  келтірілген  координаттар  кескінді  сақтау  кезінде  (сондықтан  бір 

экранда  орындалған  сурет  басқасындада  дәл  сондай  болады),  кескінді 

сегментациялауда  және  олардың  әр  тҥрлі  тҥрде  тҥрлену  кезінде 

пайдаланылады. 

Қондырғы  координаттары  немесе  координаттардың  аппараттық 

жҥйесі  –  бҧл  нақты  қондырғының  координаттық  жҥйесі  (экранның,  графо 

қҧрушының, принтердің және т.б.). 

Мәні бойынша кез келген графикалық жҥйеде ӘКЖ-нен немесе ТКЖ-нен 

қалыпқа келтірілгенге, тек артынан қондырғы координаттарына  шыққан кезде 

координаттардың тҥрленуі қарастырылған.  

 

Бақылау сұрақтары 



 

1.

 



Графикалық жҥйенің ядросы туралы тҥсінік  және ол нені анықтайды? 

3.

 



Қҧрастырушы,  қолданбалы  бағдаралмашы,  графикалық  жҥйенің 

операторы деген тҥсініктерді калай тҥсінесін?  

4.

 

Графикалық 



жҥйенің 

ядросымен 

анықталатын 

примитив 

қорытындысын  санап  шығыңыздар.  Қарапайымдардың  атрибуттары  деген  не 

ме? 


5.

 

Мӛлшерлелген  координаталар  және  қҧрылым  координаталарының 



анықтама берiңiз? 

 

Әдебиеттер 

 

1 Люкшин Б.А. Компьютерлік графика. – Т.: ТУСУР , 1999. – 280 б. 



 

8, 9 Дәріс 

 

Тақырып. Компьютерлік графиканың математикалық сҧрақтары 



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 27 беті 

 

 



 

Сұрақтар. 

1

 



Кеңістіктегі және жазықтықтағы тҥрлендірулер. 

2

 



Кеңістіктегі және жазықтықтағы аффиндік тҥрлендірулер 

 

КГ тапсырмаларда геометриялық тҥсініктер мен формулалар ерекше роль 



атқарады. Ең алдымен жазық және ҥш ӛлшемді жағдайларда.  

Жалпы  кез  келген  кескінді  КГ  тәсілдерімен  қҧру  жарықтанудың  (тҥс, 

жарықтық)  кейбір  белгілерімен  экранда  нақты  нҥктелерді  бастамалау 

қажеттілігі  туралы  ӛзінше  бір  мәліметтер  банкін  (мәліметтер  базасын)  қҧру 

болып табылады. 

Кескінді  тҥрлендірудің  кез  келген  жағдайында-масштабты,  объектіге  

кӛзқарасты  ӛзгерту,  келешегінің  есепке  алынуын  немесе  алынбауын, 

жарықталуын ӛзгерту және т.б. – кескін туралы барлық ақпарат тҥрленуі тиіс.   

Мәні бойынша бҧл - кескін туралы ӛзінде ақпараты бар, ДК жадысындағы 

сол файлды, сол сандық массивті тҥрлендіре алуымыз керек дегенді білдіреді.  

Заманауи  экрандағы  сурает  дегеніміз  –  растрдың  нҥктелер  (элементтер) 

жиынтығы,  сол  кескінді  тҥрлендіру  ең  алдымен  нҥктелердің  координаттары 

мен жарқырау белгілерінің (артибуттарның) тҥрленуін білдіреді.    

Аффинды кеңістік – біріктірілген векторлық кеңістікпен нҥктелік кӛбеюі; 

бҧл кезде: 

1) кез келген а,в нҥктелері ав векторын белгілейді

2) егер в

1

 в

2

 болса, онда ав



1

 ав

2

3) кез келген векторды кез келген а ав тҥрінде 



елестетуге болады; 

4) ав + вс + са = 0 кез келген а, в, с

Координаттардың 

аффинды 


жҥйесі 

– 

координаттар басынан шығатын сызықтық тәуелсіз 



векторлардың  n  жиынтығымен  анықталатын  n-

ӛлшемді аффиндық кеңістіктегі жҥйе. Бҧл жҥйедегі 

нҥктелер 

координаты 

бҧл 

– 

координаттық 



векторлар  бойынша  нҥктенің  радиус-векторының  

жіктеу компонеттері; 

Егер ОХУ декарттық координат жҥйесі енгізілсе, онда М нҥктесіне оның 

координаттары  –  сандар  жҧбы  сәйкес  келеді  (х,у).  ОХУ  координаттар 

жҥйесінде сандар жҧбы (х

1

 ,у



1

) болады. Бір нҥктеден екінші нҥктеге ауысу: 

х

1

=



у

1



=

,(*) қатынастарымен сипатталады. 

Мҧнда  

еркін сандар, бірақ бҧл кезде 



 

ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 28



 

беті 


 

 

Бҧл талап кері тҥрленудің бар екендігін кӛрсетеді. 



 

1)  бір  М  нҥктесі  ҥшін  бір  координат  жҥйесінен  екіншісіне  қалай 

кӛшетінін; 

 

2)  бір  бастапқы  координаттар  жҥйесінде  М  нҥктесінің  М



нҥктесіне 

қалай ауысатынын  

(*) қарастыруға болады.  



Координаттардың тҥрленуінің жеке тҥрлері 

А.  О нҥктесінің айналасында  

х

1

 = х*cos  - y * sin  , 



y

1

 = x*sin  + y * cos  , 



{ x

1

 = l* cos(  +  ) = l*cos  * cos  - l*sin  * sin  } бҧрышқа бҧрылуы. 



Б.  

х

1



 =  * х, у =  * у (  >0,  >0) остерінің бойындағы созылу-сығылу. 

В. х


1

 = х, у


1

 = - у абсисса осіне қатысты шағылысу. 

Г. Нҥктенің ауысуы 

х

1



 = х +  , у

1

 = у + 



1. Жеке жағдайлардың кӛрнекі мағыналары болады.  

2. Кез келген (*) типті тҥрленуді А,Б,В,Г тҥріндегі қарапайым тҥрленудің 

суперпозициясы ( ) ретінде елестетуге болады.  

КГ  тапсырмаларында  бҧл  тҥрленулердің  матрицалық  ҧсынылымын 

қолдану ыңғайлы: 

А: 

Б: 


В: 

 

Жазудың  бірыңғай  нҧсқасымен  А,Б,В,Г  тҥрленуінің  барлық  тӛрт  тҥрін 



қамту ҥшін еркін нҥктенің біртекті координаттарына кӛшу керек.  

 

егер   



  болса,  М(х,у)  нҥктесінің  біртекті  координаттары  деп                

х

1



, х

2

, х



3

 бір уақытта нӛлге тең емес сандар ҥштігі аталады.   

КГ-да  біртекті  координаттар  тӛмендегідей  белгіленеді:  ОXYZ 

кеңістігіндегі М(х,у) нҥктесі тиісінше М (х,у,1) нҥктесіне орналасады. 

Байқасақ тҥзу ОМ кез келген нҥктесі келесідей берілуі мҥмкін: (hx, hy, h), 

h = 0. 


Осы  ҥштікпен  белгіленген  вектор  z=1  жазықтығымен  (х,у,1)  нҥктесінде 

қиылысады және ол ХОУ жазықтығындағы (х,у) нҥктесін белгілейді. 

Осымен  (х,у)  және  кӛптеген  (hx,hy,h)  нҥктелері  арасында  ӛзара  мәнді 

сәйкестік орнайды, бҧл М нҥктесіне (hx, hy, h) сандарын біртекті координатты 

деп санауға негіз болады. 

Жоспарлы  геометрияда  бҧндай  координаттарға  х:у:1  немесе  жалпы 

жағдайда х1:х2:х3 деп белгіленеді. 


ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 29 беті 

 

 



Есептеулер  жҥргізген  кезде  біртекті  координаттарды  алу  ыңғайлы. 

Масштабқа ӛзгертулер жасау кезде, ал шығару қҧрылғысы тек бҥтін сандармен 

жҧмыс жасайды, осыған байланысты (0.5; 0.1; 2.5) біртекті координаттарымен 

жҧмыс істемейді. Сол кезде (5; 1; 25) санының орнына h=10 деп белгілеу алуға 

болады.  Егер  координаттар  нҥктесі  (80000,  40000,  1000)  болса,  онда 

координатқа  айналдыру  кезінде  арифметикалық  қондырғыға  сыймай  қалуы 

мҥмкін. Осы кезде (80, 40, 1) біртекті координаты орнына h= 0.001 алға болады. 

Осылай,  біртекті  координаттардың  енгізудегі  негізгі  мақсаты  оның 

ыңғайлылығы. 

 h=1 (*) –ді мына жазуға болады 

1

 у



1

 1) = (х у 1) *

немесе 


 

Осы матрицадан 3*3 бірнеше жағдайды алуға болады: 



А – бҧралу матрицасы – Rotation 

[R] = 


Б – сығылуды созу матрицасы

 -

 Dilatation 



[D] = 

В – шағылысу матрицасы (айна) - Reflection (Mirror) 



[M]=

Г – ауыстыру матрицасы - TranSlation 



[T] = 

 

Аналогия  бойынша  екі  ӛлшемді  жағдайда  біртекті  координат  енгіземіз.           



( x, y, z)

(x, y, z, 1), 

немесе жалпы жағдайда 

(hx, hy, hz, h), бҧнда h  0. 

Сонда координатының кез келген аймағында – жалпы кӛбейткішке дейін 

анықталатын бір уақытта нольге тең емес сан тӛртеу  



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 30



 

беті 


 

 

Кез келген аффиндық жазықтықтағы ӛзгертулерді айналудың, созылудың, 



шағылысудың және ауыстырудың суперпозициясы деуге келеді.  

А. Кеңістіктегі айналу матрицысы: 

Х осі айналасында бҧрышы  : 

[R

х



] = 

 

Х осі айналасында бҧрышы  : 



[R

у

] = 



 

Х осі айналасында бҧрышы  : 

[R

z

] = 



 

Б. Сығылуды созу матрицасы матрицасы 

[D] = 



В. Сәйкес XOY, YOZ, ZOX жазықтықтарын шағылыстыру матрицасы: 



 [M

z

] = 



; [M

x

] = 



[M

y

] = 



  

Г. Ауыстыру матрицасы 



[T] = 

 



Бақылау сұрақтары 

 

1

 



Жазықтықтағы  координата  нҥктелерін  ауыстырудың  негізгі  тҥрлерін 

атап кӛрсетіңіз. 



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 31 беті 

 

 



2

 

Біртекті координаттар дегеніміз не және оның компьютерлік графикаға 



енгізудегі мақсаты не? 

3

 

 Кеңістіктегі координатты жалпы ауыстыру матрицасы нені білдіреді? 



 

Ұсынылатын әдебиеттер 

 

1 Люкшин Б.А. Компьютерная графика. – Т.: ТУСУР , 1999. – 280 с. 

 

10, 11 Дәріс 

 

Тақырып. Жоспарлаудың тҥрлері. 



  

Сұрақтар 

1

 



Тегіс кескін проекциясы ерекшелігі. 

2

 



Геометриялық сплайдар. 

3

 



Базалық сплайндар және бета-сплайндар. 

 

Машиналық графикада жоспарлаудың негізгі екі тҥрі бар: 



- параллелді; 

- орталық. 

Әр тҥрі таблицадағыдай ӛз ішінде тҥрлерге бӛлінеді. 

1 таблица 

Параллельді проекция 

Ортографиялық 

проекция 

Аксонометриялық 

проекция 

Косоуголді проекция 

 

Триметриялық 



Еркін 

 

Диметриялық 



Бӛлмелік 

 

Изометриялық 



 

2 таблица 

Перспективті проекция 

Бір нҥктелік 

Екі нҥктелік 

Ҥш нҥктелік 

 

1. 



Ортографиялық 

проекция: 

кескін 

жазықтығы 



координата 

жазықтығымен сәйкес келеді немесе оған параллель. 

YOZ жазықтығына жоспарланған матрица Х осі бойы бойынша   



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 32



 

беті 


 

 

Шын  мәнісінде  осы  матрица  векторға  әсері  x  координаторын  нольге 



айналуын  білдіреді,  бірақ  ол  объектіні  x    осі  бойында  жазықтықта 

жоспарлағанда болады. 

Егер  жазықтық  координата  жазықтығына  параллель  жоспарланған  және 

одан p қашықтықта орналасқан болса, онда P матрицасын матрица қозғалысына 

кӛбейту керек; онда 

 

Матрица аналогиясы бойынша екі басқа ось бойымен жоспарланған болса 



 

Осында ауысу q, r қашықтығында, сәйкесінше. 

2.  Аксонометриялық  проекция:  оған  жоспарланатын  тҥзулер  кескін 

жазықтығына 



Триметрия: кескін жазықтығы нормалі координата осі ортасымен әр тҥрлі 



бҧрыш жасайды. 

Диметрия: осылардың екі бҧрышы ӛзара тең. 

Изометрия: барлық ҥш бҧрыш ӛзара тең. 

Осы проекция тҥрлерінің әр қайсысы комбинациялық бҧрыш алады, одан 

кейін параллелді жоспарлау жасалады. 

Ҧзындық  триметриясы  кезінде  алынатын  проекция  әр  тҥрлі;  ҧзындық 

диметриясы кезінде екі проекция тең; изометрия кезінде барлық проекция тең. 

3.  Косоуголдық  проекция  –  тҥзу  сәулесі  экран  жазықтығына 

перпендикуляр емес жағдайда. 

Еркін  проекция  –  жазықтыққа  жоспарланушы  тҥзу  бҧрышы  тҥзу 

жартысына тең. 

Бӛлмелік проекция – еркін проекцияның жеке жағдайы, осы кезде ҥшінші 

ось масштабы алдынғы екі ось масштабынан екі есе кіші.  

Орта Z-ті XOY жазықтығына косоуголдік жоспарлау кезінде 

 (0 0 1 1) --- ( 

0 1), 


бҧндай ӛзгертудің матрицасы былай болу керек 

 

еркін проекция кезінде  =  = cos( /4), 



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 33 беті 

 

 



бӛлмелік проекция жағдайында  =  = 1/2*cos( /4). 

Ең ауыры перспективті немесе орталалық проекция салу. 

Жоспарлау центрі Z осінде орналассын, С(0,0,с) координаттар нҥктесі, ал 

XOY жоспарлау жазықтығы. Кез келген нҥкте М(x,y,z) ҥшін М және С арқылы 

ӛтетін тҥзу орнатамыз. Онда оның параметрлік теңдеуі болады 

X

1



 = x*t, Y

1

 = y*t, Z



1

=c+(z-c)*t. 

 

XOY    жазықтығын  тҥзудің  кесіп  ӛту 



координаты (t = 1/(1-z/c)) 

X

1



 = x/(1-z/c), Y

1

 = y/(1-z/c). 



Бҧны матрица бойынша 

 [G] =


 

Шын мәнінде,  

( x y z 1) [G] = (x y 0 1-z/c) 

немесе, дәл осылай 

(x/(1-z/c)    y/(1-z/c)    0    1) 

Жоспарлау  матрицасы    (*)  кӛрсетілген;  ал  соған  сәйкес  перспективті 

ауыстыру матрицасы (жоспарлаусыз) тҥрі  

[PP] = 


 

Тҥзу,  параллель  OZ  шоғырын  ғарастырайық  және  оған  [PP]  матрицамен 

әсер етейік. 

Осы  шоғырдың  әрбір  тҥзуі  OXY  кеңістігімен  қиылысуымен  анығталады 

да келесі теңдеумен жазылады 

X = x , Y = y , Z = t. 

Біртекті координаталарға ауысу және [PP] матрицасын қолдану, сонда 

 ( x   y   t 1 ) [PP] = ( x   y   t   1-t/c), 

немесе 

( x/(1-t/c)     y/(1-t/c)     ct/(c-t)     1 ). 



  

 t 


 кезінде нҥкте (x y z 1) нҥктесіне тҥрленеді (0 0 1 0) - барлығын t – 

ға бӛліп, шекке кӛшу жеткілікті 

lim ( x/t y/t 1 1/t ); 

t

 



оған сәйкес нҥкте (0 0 -с 1) ҧқсас болып келеді 

 

 



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 34



 

беті 


 

 

Сонымен  Z  сызығының  параллель  ось  шоғырының  (0  0  1  0)  шексіз  аз 



центрі  (  0  0  -c  1)  Z  осіндегі  нҥктеге  ауысады.  Бҧл  нҥкте  жиын  нҥктесі  деп 

аталады. 

Жалпы жағдайда кез келген меншікті емес тҥзу шоғырлары(яғни берілген 

бағытта тҥзу, параллель жиынтығы), параллель емес сурет жазықтығынан, [PP] 

тҥрленуінің әсерінен меншікті шоғырға ауысады. 

Алынған шоғырдың центрі жиын нҥктесі деп аталады. 

Басты жиын нҥктелері – шоғырлар ҥшін бҧл нҥкте жиыны координаттар 

осіне параллель және олар ҥшеу. 

[PP] матрицасы ҥшін (дәлірек айтқанда, оның кӛмегімен тҥрлену) бір ғана 

жиын нҥктесі болады, суретте иллюстрациясы берілген. 

Жалпы  жағдайда  осындай  нҥктелер  ҥшеу  –  координаттар  жҥйесінің  осі 

экран жазықтығына параллель болмаған жағдайда. Тҥрленуге сәйкес матрица 

 [PP3] = 

 

 OX ( 1 0 0 0) және OY ( 0 1 0 0 ) тҥзу, параллель шоғырлар центрі ( 1 0 0 -



1/a), ( 0 1 0 -1/b) болатын тҥзу шоғырына ауысады немесе ( - a 0 0 1 ) , ( 0 -b 0 1). 

Егер  жиын  нҥктесі  екеу  болса,  проекциялау 

кезінде куб мынадай тҥрде болады: 

 

  



Ҥш  жиын  нҥкте  болғандағы  кубтың  суреті  (осьте  орналасқан)  келесідей 

кӛрсетіледі: 

Қисайған объектілерді жазықтыққа проекциялау кезінде бір эффект пайда 

болады  және  ол  параллель  немесе  центрлі  проекциялар  тҥріне  байланысты 

емес. 

Содан  соң  сурет  жазықтығын  Х=0  деп  қабылдап,  ал  тура  проекциялау 



шоғыры оған перпендикуляр. 

 Негізінде ҥш жағдай бар.Олар: 

1.  Z  =  X  бетін  Х  =  0  жазықтығына  проекциялаймыз.  Бҧл  жазықтықтың 

теңдеуі  X  –  Z  =  0,  ал    нормаль0  вектордың 

координаттары N = (1,0,-1).  


ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 35 беті 

 

 



Проекциялауды  L  =  (1,0,0)  векторының  бойымен  жҥргіземіз,  яғни  Х  осі 

бойымен.  Проекциялауды  L  =  (1,0,0)  векторы бойымен  жҥргіземіз,  яғни  Х  осі 

бойымен. (N,L) = 1 > 0 болғандықтан проекциялау векторы мен беттің нормаль 

векторы ешқандай нҥктеде перпендикулер емес. 

Алынған проекция ешқандай ерекшеліктері болмайды. 

2.  Сол  жазықтыққа z  = x  бетін проекциялаймыз  (параболалық цилиндр), 

немесе  

x - z = 0 

Нормаль вектор бетке N = (2x, 0, -1) және x = 0 нҥктесінде болады. Яғни у 

осінде  (N,  L)  =  0  болады,  сонда  нормаль  вектор  проекция  векторына 

перпендикуляр. 

x = 0 жазықтығында – ҥш тҥрлі нҥктелер жиыны бар: 

1) z > 0 нҥктесі – олар ҥшін бастапқы проекциялау бетінде екі екі болашақ 

ҥлгіден болады;  

2) z = 0 – бҧл нҥктелер ҥшін тек бір ғана болашақ ҥлгі бар; 

3) z < 0 – бҧл нҥктелер ҥшін болашақ ҥлгісі мҥлдем жоқ. 

 x  =  0,  z  =  0    тҥзуі  –  ерекше;ол  ҥшін  N,  L  векторлары  ортогональ.  Бҧл 

тҥрдің ерекшелігі қабат деп аталады. 

3. Бетті қарастырайық 

z = x


3

 + xy немесе x

3

 + xy – z = 0. 



Бҧл беттің нормаль векторы 

N =(3x2 + y, x, -1). 

 Бҧл  бетті  у  ӛлшеміне  әртҥрлі  мән  беріп 

кескін әдісімен кӛрейік.  

y=1: z = x

3

 + x;  



y = 0: z = x

3



y = - 1: z = x

3

 – x; 



 

Кейін  барлық  бетті  қҧрауға  да 

болады. 

(N,L) = 3x

2

 + y =0 шарты бойынша, 



бетте 

жатқан  қисық  бойында  y  =  -  3x

2

  ,  z  =  -  2x



3

 

теңдігімен L және N векторлары перпендикуляр. 



Х шығарып тастап, біз бҧл қисықта 

 

 



Бҧл  теңдеу  x  =  0  жазықтығында 

жартылайкубты парабола. 

Бҧл  қисық  жазықтықтың  нҥктелерін  ҥш 

топқа бӛледі: 

1 – нҥкте ҧшында, олардың әрқайсысының 


ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 36



 

беті 


 

 

бетінде тура екі болашақ ҥлгіден бар; 



2 – ҧшының ішінде, әр нҥкте ҥшін ҥш болашақ ҥлгіден бар; 

3 – ҧшынан тыс, әр нҥкте ҥшін бір болашақ ҥлгіден бар. 

Жалпы алғанда бҧл тҥрдің ерекшелігі жинау деп аталады. 

Жартылайкубты    парабола  x  =  0  жазықтығында    ҧшталған  нҥктесі 

болады., оның болашақ ҥлгісі бастапқы бетте 

x = x, y = -3x

2

 , z = - 2x





тұрақты қисық болады. 

Ерекшеліктер  теориясы  дәлелдегендей  (катастрофалар  теориясы),  жазық 

бетке проекциялау кезінде қарастырылған ҥш проекция тҥрі мҥмкін: 

- қарапайым; 

- қабат; 

- жинау. 

 

Геометриялық сплайндар 

Бҧл бағыттағы ең бірінші жҧмыс Шенберг 1946 жылы жасаған. 

Бірінші  кезеңде  бҧл  теория  мен  практика  сияқты  функцияларды 

жақындату мәселесінің шешімі болды. Бірақ кейін плайндардың ӛздері әртҥрлі 

және  әртҥрлі  аймақтарда  қолданылады:  сандық  әдіс,  САПР,  ғылыми 

зерттеулерді автоматтандыру, КГжәне т.б. 

Ағылшын  тілінен  келген  spline  –бҧл  берілген  нҥктелер  арқылы 

жҥргізілетін тегіс қисықтар, болаттың иілетін жолағы. 

Компьютердің  пайда  болуымен  сплайн  –  аппроксимация  теориясы 

кӛмегімен ӛте  кҥрделі  беттерді  қарапайым формулалармен  кӛрсету  мҥмкіндігі 

пайда болды. 

 Қисықтар 

мен  беттердің  КГ  визуализациясы  кезінде  оларды 

проекциялаудан кейін не болатынына баға беруге мҥмкіндік береді және керек 

кезде бетті сипаттауда ӛзгеріс енгізу ҥшін. 

Ӛзінен  ӛзі  сплайндардың  теориясы  қазіргі  кезде  ӛте  кең  

тараған;  тӛменде  біз  тек  қисықтар  мен  тҥзулерді  проекциялау 

кезіндегі геометриялық моделдеу есебін қарастырамыз. 

Әдеттегі  есеп:  нҥктелер  массиві  бойынша  жазықтықта 

немесе кеңістікте қисық қҧру: 

- берілген нҥкте ден ӛтетіндер (интерполяция); 

- берілген нҥктелердің жанынан ӛтетін нҥктелер (тегістеу). 

Мысал ретінде суретте жоғары қисық кӛрсетілген -  интерполяциялаушы, 

тӛменгісі – тегістеу. 

Бірден екі мәселе: 

- керегін қисықтың қай классында іздеу керек

- қалай іздеу керек. 

Бірінші мәселеде тоқталайық. 

Талаптардың  біреуі  –  есептің  шешілуінің  жалғыз  болуы.  Екіншісі  – 

жасалған қисық баяу ӛзгеру керек.  



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 37 беті 

 

 



Жазықтықта (х ,у ), i=0,1,...,m нҥктелер жиыны берілсін, сонымен қатар  

х

0



 < x

1

 < x



2

 <...< x


m

  

кӛптҥбірді (полиномдар) классында іздейміз. Лагранжа полиномы белгілі   



 

Бҧл  полином  қҧрастырылуы  бойынша  ӛзі  жасаған  қисық  берілген 

нҥктелердің барлығынан ӛтеді. 

Аппроксимацияның  екінші  тәсілі  –  сынықтар  кӛмегімен.  Бҧл  жағдайда 

жеке  аймақтарда  сызықты  аппроксимация,  ал  бҧрыштық  нҥктелерде  бірінші 

туындының  ҥзілуі  болады.  Аппроксимация  мен  қисық  полином  арасындағы 

ымыра жеке аймақтарда жҥзеге асады, ал барлық қисықта бірден – ақырындап 

аймақтан  аймаққа,  ал  содан  соң  баяу  кездесетін  жеке  аймақтардың  полином 

коэффициентіне тиісті таңдау арқылы жҥзеге асады. 

Бҧндай  аппроксимация  нәтижесі  сплайн  –  функциясы  немесе  жай  ғана 

сплайн деп аталады. Сызба сплайндарымен ҥйлестік ӛте айқын. Онымен қоса, 

егер  иілгіш  болат  сызғышалып,  оның  кӛмегімен  тіректер  қатарынан  қисық 

жҥргізсе,  пайда  болған  қисық  ҥшінші  дәрежелі  полином  тіректердің  әрбір 

аймағында  у(х)  функциясын  кӛрсетеді,ал  х

0

,  х


1

,  ...  ,х

m

  –  барлық  аймағында 



екінші  ретті  дифференцялды  функция.  Бҧл  функция  интерполяциялы  куб 

сплайны деп аталады. 

Нақты анықтамасы:  

S(x) функциясы интерполяционды кубты сплайн деп аталады 

1. S(x

i

)= y



i

 , i= 0, 1, ..., m; 

2. Әр бір кесіндіде [x

i

, x



i+1

] , i = 0, 1, ..., m-1 

 

3. [x


0

, x


m

 ]  барлық ҧзындығында S(x) функциясында кем дегенде ҥздіксіз 

екі алғашқы функциясы бар. 

Әр бір бӛліктегі ҥшінші дәрежелі полином  4 санмен (коэффициентпен), 

ал аймақтар m – мен анықталса, нәтижесінде 4m сан табу керек. 

Ҥшінші  шарт  бойынша  сплайнның ҥзіксіздігін барлық ішкі бӛліктерінде 

болу керек ( яғни S(xi - 0) = S(xi + 0), i=1, 2, ..., m-1 ) - бҧл m-1 шарт. Бірінші 

туынды  ҥшін  де  m-1  шарт  және  екіншіге  де.  Егер  бірінші  талаптағы  m+1 



ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

 

56 беттің 38



 

беті 


 

 

шартты қоссақ, онда барлығы 4m-2 шарт болады. Екі жетіспейтін шарт болады, 



мысалы, i = 0 және i = m нҥктелерінде қиылысатын туындылардың бірінші мәні  

S(x


0

) = l


0

; S(x


m

) = l


m

және осы кезде есеп бір жолмен шешіледі  



Егер  массив  бойынша  кеңістікте  екі  ауыспалы  функцияны  ҧҥрастыру 

керек  болса,  онда  сплайнның  интерполяциялы  бикубы  деген  тҥсінік 

қоданылады. 

Жазықтықтағы әрбір нҥктеге 

 (x

i

,y



j

), i=0,1,...,m; j=0,1,...,n 

x

0

< x



1

<... < x

m

, y



0

< y

1

<...< y

n

 , 


z

ij

 нҥктесі жауап берсін; бҧл жағдайда келесідей массив бар 



(x

i

, y



j

, z


ij

), i = 0, 1, ..., m; j = 0, 1, ..., n. 

Осы нҥктелер арқылы ӛтетін бетің функциясының графигін анықтайық. 

Екі ауыспалы ҥшін сплайнның интерполяциялы бикубы 

1.

 

S(x



i

,y

j



)=z

ij

; i=0,1,...,m; j=0,1,...,n; 



болатын S(x,y) функциясын айтамыз. 

2. Әрбір бӛліктегі тік бҧрыш 

[x

i

 ,x



i+1

 ]*[y


j

 ,y 


j+1

], (i = 0, 1, ..., m-1; j = 0, 1, ... , n-1) 

 

3.  Барлық  тік  бҧрышта  [x



0

  ,x


m

  ]*[y


0

  ,y


n

  ]  бірінші  ҥзіліссіз  және  S(x,y)-та 

екінші туынды бар. 

Әрбір тік ҥшбҧрышта - 16 коэффициент, барлығы 16mn болады. 

Олар  жоғарыдығы  бір  ӛлшемді  жағдайлар  сияқты  пікірлерден  табылып 

қалады. 


Базалық сплайндар 



1 аумағын бӛліктерге жіктейік 

0=t


0

< t

1

< t

2

 <...< t


m-1

 < t


m

 =1 


Қояйық 

N

i,1



 (t) = 1 , t  [ t

i

 , t



i+1

 ], 


N

i,1


 (t) = 0, t 

[ t


i

 , t


i+1

 ] 


Одан кейін  

 

Бҧл міндеттер: 



1. N

i,q


(t) > 0    ( t

i

 , t



i+q

) интервалында 

2. N

i,q


(t) = 0 интервал сыртында. 

3. N


i,q

(t) (q>3) функциясы тапсырманың барлық аумағында  q-2 қоса ретке 

дейін ҥздіксіз туынды болады.  

Анық,    N

i,4

  (t)  текшелі  сплайн  қҧру  ҥшін  бес  тҥйінділердің  бӛліктеулері 



қажет  

t

i



 , t

i+1


 , t

i+2


, t

i+3


, t

i+4  


ПОӘК 042-18-6.1.93/03-2013 

«   »                  2013 ж. №1 басылым 

56 беттің 39 беті 

 

 



 [0,  1]  кесінді.  Сондықтан  егер  тҥйінділер  жеткіліксіз  болса,  нақтылы 

тҥрмен олардың жиындарын кеңейтеді мысалға ойластырсақ. 

t

-3

 = t



-2

 = t


-1

 =0, t


m+1

 = t


m+2

 = t


m+3

 = 1. 


Ендірілетін  қосымшалар  ―кесінділер‖  нӛлдік  ҧзындықта  болады,  ал 

бастапқы бірінші t = 0 және соңғы t = 1тҥйінділер еселі болады. 

Ендірілген функцияларға теңдік сақталады. 

i,q



 ( t ) = 1. 

Ол деген: 

r(t)=  N

i,4


(t)*V

i

, ( 3 ) 



векторлық  теңестірумен  берілген  қисық  әрдайым  массив  тӛбелерінің 

дӛңес  қабығына  жатқызылады.  Бҧдан  басқа,  V

0

  нҥктесінен  шығып  және  V



m

  , 


нҥктесінде тҥйінділермен жанасып келеді.  

Қисық  жеткілікті  тегістегі  де  сақталады:  q  4  кезінде  барлық  міндетті 

коэффициенттер кӛптеген практикалық тапсырмаға жеткілікті болатын, ҥздіксіз 

екінші туынды болады. Одан әрі   

q = 4 қабылданады. 

Массивтағы  бір  тӛбенің  жағдайының  ӛзгерістері  барлық  қисықты  толық 

ӛзгеріске алып келмейді; қайта есептің қасиеттеіне байланысты функционалдық 

коэффициенттер тек қана бес қосындыларға әсерін тигізеді.  

Қисықтың  анықталатын  кесіндісі  жазық  жағдайдағы  тӛр  бҧрышты 

олардың дӛңес қабығы және тетраэдр кеңістіктің ішінде жатады. 

Кейде  белгілі  бір  оймен  қҧрылған  қисық  бізге  ҧнамайды,  нәтижені 

ӛзгерткіміз  келеді.  Оны  қисықтың  ендірілетін  теңеуіндегі  параметр  кӛмегімен 

орындауға болады. Ол ҥшін бетасплайндар қолданылады, бҧл жағдайда қҧрама 

қисық қолданылады.  



Бета-сплайндар 

Қҧрама  жҥйелі  қисық  қҧрастыруға  жҥйелі  қисықтардың  кескінділерінің 

байланысуы тҥйіндестің шарты нҥктеге қолданылады. 

Егер 


1

  және 


2

  –  параметрлік  теңеумен  белгіленген 

жҥелі қисық. 

r = r


1

(t), 0 


1, r = r (t), 0 



тҥйісінше ортақ нҥкте болатын 




1   2   3   4   5


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал