Қазақстан республикасы білім жəне ғылым



жүктеу 0.83 Mb.

бет5/7
Дата12.09.2017
өлшемі0.83 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

11-дəріс.  Беттің жазықтықпен жəне түзумен қиылысуы.

Айналу беттерінің жазықтықпен қиылысу сызығын салудан бұрын, конусты

қиюшы  жазықтықпен  қиғанда  пайда  болатын  конустық  қималарды  салу

шарттарын қарастырайық.

Конустың  төбесі  арқылы  өтетін  жазықтық  конусты  өзінің  жасаушылары

болып табылатын екі түзу бойымен  қияды.

Осіне перпендикуляр жазықтық конусты шеңбер бойымен қияды.

Егер  қиюшы  жазықтық  конустың  барлық  жасаушыларын  қиса  жəне  оның

осіне перпендикуляр болмаса, онда қима эллипс болады(11.1,а -сурет).

Егер  қиюшы  жазықтық  конустың  бір  жағын  қиса  жəне  конустың  бір

жасаушысына  параллель  болса, онда  қима

парабола болады (11.1,ə-сурет).

Егер қиюшы жазықтық конустың екі жағын да

қиса  жəне  оның  екі  жасаушысына  параллель

болса, онда қима гипербола болады (11.1,б-сурет).

Айналу  беттерінің  жазықтықпен  қиылысуына

мысалдар қарастырайық.



1-мысал. Конустың фронталь проекциялаушы

жазықтықпен қиылысу сызығын салу керек (11.2-

сурет). Қиюшы жазықтық проекциялаушы болып

табылады, сондықтан  қиылысу  сызығының

фронталь  проекциясы  жазықтықтың f

a

фронталь


ізімен  беттеседі. Эллипс  түріндегі  қима П

1

жазықтығына



1

1

-2



1

кесіндісі 

болып

проекцияланады.



Қиманың

горизонталь

проекциясы  байланыс  сызықтарының  көмегімен

салынады. Элиипстің кіші осі - 3-4 кесіндісі үлкен

оське  перпендикуляр  жəне  оны  қақ  бөледі.  3-4

нүктелерін  параллельдердің  немесе  конустың  екі

жасаушысы - S-3 пен S-4  көмегімен  табамыз.

11.2-сурет

11.1-сурет


46

Сонымен  қатар, 11.2–суретте  конус  қимасының  нақты  шамасы  проекциялар

жазықтығын  алмастыру  тəсілімен  анықтау  көрсетілген. Қосымша  аралық

нүктелер 3 пен 4 нүктелерін тапқандай əдіспен табылады.



2-мысал. Конустың жалпы жағдай жазықтығымен қиылысу сызығын салу

керек. Бірінші мысалдан айырмашылығы сол, бұл  жерде  қиылысу  сызығының

екі  проекциясын  да  салу  керек. Конустың  жекелеген  жасаушыларының

берілген  жазықтықпен  қиылысу  нүктелері  түзудің  жазықтықпен  қиылысу

нүктелерін  табу  əдісімен  анықталады. Егер  қиылысу  сызығы  конустың

табанымен  өтетін  болса, қима толық  емес  деп  аталады. 1  жəне 2  нүктелері

жазықтықтың h

a

горизонталь  ізі  мен  конус  табаны  болатын  шеңбердің



қиылысуында  табылады.  Көріну нүктесі  конустың  осі  арқылы  өтетін  жəне

қиюшы  жазықтықты



f  фронталі  бойымен  қиятын  көмекші  фронталь

b

жазықтығының  көмегімен  анықталады. Көмекші



b

жазықтығының  фронталь

проекциясының  конустың  очерктік  жасаушысымен  қиылысында 3  нүктесінің

проекциясын анықтаймыз.

Қиылысу  сызығының  ең

биік 4  нүктесі  конустың  осі

арқылы  өтетін  қиюшы

жазықтықтың 

конус 

осі


арқылы  өтетін  көлбеулігі  ең

үлкен  сызығының  бойынан

табылады. Бұл 

нүкте


көмекші 

горизонталь

проекциялаушы

g

жазықтығының 



көмегімен

анықталады.

Қиылысу

сызығының аралық 5 жəне 6



нүктелері 

горизонталь

d

жазықтығының 



көмегімен

анықталады.  Бұл  жазықтық

конусты шеңбер бойымен, ал

қиюшы


a

 

жазықтығын



горизонталь бойымен қияды.

Негізгі 

əдебиет: 

1

нег.



[117-162 ],  2 нег. [67-93 ]

Қосымша  əдебиет:  1

қос.[57-84].



Бақылау сұрақтары:

1. Беттің  проекциялаушы

жазықтықпен

қиылысу


сызығының

нүктелерін

анықтаудың жалпы əдісін тұжырымдаңыз.

11.3-сурет



47

2. Беттің  жалпы жағдайдағы  жазықтықпен қиылысу сызығының нүктелерін

анықтаудың жалпы əдісін тұжырымдаңыз.

3. Беттің жазықтықпен қиылысу сызығының қандай нүктелері тіректік деп

аталады?

4. Айналу  конусын  жазықтықпен  қиғанда  қиманың  шеңбер, эллипс,

гипербола, парабола, қиылысатын түзулер, нүкте болу шарттарын айтыңыз.

5. Конустық  қиманың  ең  жоғарғы  жəне  ең  төменгі  нүктелерін  қалай

анықтайды?

12-дəріс. Беттердің өзара қиылысуы.

Беттердің  қиылысу  сызығын  анықтау  үшін  əдетте  көмекші  беттер  тəсілін

қолданады. Жалпы  жағдайда  есепті  шығару  алгоритмі  төмендегідей  болады.

Қиылысу  сызығы  түзу, жазық  жəне  кеңістік  қисық  сызығы  немесе  осы

сызықтарды ң кез келген комбинациясы болуы мүмкін.

Берілген


F

 и

W



  беттерінің қиылысу сызығын анықтайық. Ол үшін көмекші

S

бетін  жүргіземіз.



S

беті


F

бетімен а

қисығының  бойымен, ал

W

бетімен b



қисығымен  қиылысады.

а  жəне

b

қисықтарының  қиылысу



А  нүктесі

берілген  екі  бетке  де  тиісті, ендеше

олардың  қиылысу с  сызығына  да  тиісті.

Дəл  осылай, қиылысу  сызығының  кез

келген нүктесі табылады.

Екі беттің қиылысу сызығын анықтау

үшін оларды бірнеше көмекші беттермен

қию керек. Берілген беттер мен көмекші

беттердің  қиылысу  сызықтарын  салып,

оларға 


ортақ  нүктелерді 

белгілеп,

оларды бір-бірімен ретімен қосу керек.

Екі беттің қиылысу сызығының нүктелері тіректік жəне аралық болып екіге

бөлінеді. Тіректік нүктелерге келесі нүктелер жатады:

1. проекция  жазықтығына  қатысты  ең  жақын  жəне  ең  алыс  орналасқан

нүктелер;

2. проекциялары беттің нұсқа сызығында орналасатын көріну нүктелері;

3. қиылысу сызығының ең үлкен ендік сызығын анықтайтын нүктелер жəне

т.б.


Беттердің  қиылысу  сызығын  салуды  оның  тіректік  нүктелерін  анықтаудан

бастау керек.

Көмекші  беттер  ретінде  жазықтықтарды  немесе  сфераларды  қабылдаған

тиімді. Сондықтан  беттердің  қиылысу  сызығын  анықтаудың  жалпы  тəсілінен

екі тəсілді бөледі:

көмекші жазықтықтар тəсілі;

көмекші сфералар тəсілі.

12.1-сурет



48

Көмекші  жазықтықтар  тəсілі.

Көмекші жазықтықтар ретінде:

1. деңгей жазықтықтарын;

2. проекциялаушы

жазықтықтарды;

3. жалпы 

жағдайдағы

жазықтықтарды  қабылдауға

болады.

Мысал.  Үш  жақты  призманың

айналу  конусымен  қиылысу  сызығын

салу керек (12.2-сурет). Призманың үш

бүйір 


жақтары

– фронталь

проекциялаушы  жазықтықтар. Бұл

беттердің  қиылысу  сызығы  үш  жазық

қисық сызықтардан тұрады.

Призманың  жақтары  конус  бетін

шеңбер, толымсыз  эллипс 

жəне


толымсыз 

парабола 

бойларымен

қияды.


Екінші  реттік беттердің  қиылысуының  дербес  жағдайлары. Сфералар

тəсілі.

Екінші  реттік  беттер  қиылысқанда  жалпы  жағдайда  қиылысу  сызығы

төртінші реттік қисық сызық болады. Бұл қисық

сызық  жазықтықпен  төрт  нүктеде (нақты  жəне

жорамал) қиылысады. Қиылысу сызығының реті

қиылысушы беттердің реттерінің көбейтіндісіне

тең. Төртінші  реттік  қисық  екі  жазық  екінші

реттік қисыққа бөлінуі мүмкін.



Теорема:  Егер  екі  екінші  реттік  беттер  бір

жазық  қисық  сызық  бойымен  қиылысса, онда

олар  тағы  да  бір  екінші  реттік  қисық  сызық

бойымен қиылысады.

Бұл  тұжырымның  ақиқаттығы  қиылысу

сызығы  бөлінген  екі  қисық  сызықтың  ретінің

қосындысы  төртке  тең  болу  керек  екенінінен

көрінеді.



1. Екі  айналу  бетінің  осьтері  беттеседі.

(12.3-сурет)

Осьтері  беттесетін  екі  айналу  беттері  параллельдер  бойымен  қиылысады

жəне  егер  беттердің  осьтері  проекция  жазықтығына  параллель  болса, бұл

12.3-сурет

 12.2-сурет



49

проекция жазықтығына параллельдер ось проекциясына перпендикуляр түзулер

болып проекцияланады.

2. Айналу беттерінің  осьтері

қиылысады 

жəне 

проекция

жазықтығына 

параллель

орналасқан (12.4-сурет).

 Бұл 


жағдайда 

көмекші


қиюшы 

жазықтықтарды

қолданған 

тиімсіз, өйткені

олардың 

беттермен 

қиылысу

сызықтары 



графикалық

қарапайым 

сызықтар 

болып


проекцияланбайды. Сондықтан

осьтері


қиылысатын 

жəне


проекция жазықтығына параллель

ортақ  симметрия  жазықтығы  бар

айналу  беттерінің   қиылысу

сызығын  салу  үшін көмекші



концентрлік

(шоғырлас)

сфералар 

тəсілін 

қолданған

ыңғайлы

. Егер  екі  екінші  реттік  айналу  беттерінің  осьтері  қиылысатын  болса  жəне



проекция  жазықтығына  параллель  болса, онда  олардың  қиылысу  сызығы  осы

проекция  жазықтығына  екінші

реттік

қисық


түрінде

проекцияланады.



3. Беттердің 

жанасу

нүктелерінде  ортақ  жанама

жазықтықтар  өтеді

(12.5-


сурет).

Қосарланып 

жанасу

туралы  теорема.  Егер 2-реттік

беттердің  екі  жанасу  нүктесі

болса  жəне  сол  нүктелерде

оларға  жанама  жазықтықтар

ортақ  болса, онда  олардың

қиылысу  сызығы  екі  екінші

реттік 

қиылысу 


сызығына

ажырайды.



4. Екі  қиылысатын  бет

үшінші 2-реттік 

бетпен

жанасады (12.6-сурет).

12.5-сурет

12.6-сурет

12.4-сурет



50

Г.Монж  теоремасы.  Егер  екі 2-реттік  беттер  үшінші  бір 2-реттік  бетке

сырттай  немесе  іштей  сызылса, онда  олардың  қиылысу  сызығы  екі  жазық 2-

реттік қисық сызықтарға ажырайды.

Монж теоремасы – қосарланып жанасу туралы теореманың дербес түрі.



Негізгі əдебиет: 1 нег.

[191-200],  2 нег. [131-145]



Негізгі əдебиет: 1 қос.[103-116].

Бақылау сұрақтары:

1. Беттердің қиылысу сызығын анықтаудың негізгі тəсілдерін айтыңыз.

2. Беттердің қиылысу сызығын анықтау үшін көмекші қиюшы жазықтықтар

мен сфералар тəсілдерін таңдаудың жалпы принциптерін айтыңыз.

3. Қай кезде айналу беттері шеңберлер бойымен қиылысады?

4. Беттердің қандай қиылысуын толық немесе толық емес деп атайды?

5. Беттердің қиылысу сызығының қандай нүктелері тіректік деп аталады?

13-дəріс.  Көпжақтар мен қисық беттердің жаймалары.

Көпжақтың  жаймасы  деп  оның  барлық  жақтарын  бір  жазықтықпен

беттестіргенде пайда болатын жазық фигураны айтады.

МысалSABCD пирамидасының жаймасын салу керек (13.1-сурет).

Пирамиданың



АВСD  табаны  горизонталь  деңгей  жазықтығында

орналасқан. Сондықтан  оның  қабырғалары П

2

  проекция  жазықтығына  нақты



шамасымен  проекцияланады. Пирамиданың  бүйір  қырларының  нақты

шамаларын  анықтау  үшін  тікбұрышты  үшбұрыш  тəсілін  қолданамыз.

Пирамиданың барлық бүйір қырларының төбелерінің биіктіктерінің айырмасы

13.1-сурет



51

тең болғандықтан ортақ

0

S

S

 катеті бар тікбұрышты үшбұрыштар саламыз. Бұл

үшбұрыштардың 

екінші 


катеттері 

осы 


қырлардың 

горизонталь

проекцияларының  ұзындықтарына  тең  болады. Ыңғайлық  үшін  бүйір

қырлардың  ұзындығын  анықтауды  сызбаның  бос  алаңында  орналастырамыз.

Ортақ  катеті

0

S



S

  болатын



A

S

S

0

,



B

S

S

0

,



C

S

S

0

,



D

S

S

0

  үшбұрыштарының  жиыны



нақты шамалар диаграммасы деп аталады.

Беттің  жанамасын  салу  сызбадан  түсінікті: конгруэнтті  кесінділер  бірдей

белгілермен белгіленген. Пирамиданың бүйір бетінің жаймасына оның табанын

қосамыз.


Призма бетінің жаймасы келесі тəсілдермен тұрғызылады:

1) үшбұрыштар тəсілі (триангуляция тəсілі),

2) нормаль қималар тəсілі,

3) жаймалап жазу тəсілі.

Үшбұрыштар  тəсілі  əмбебап  тəсіл  болып  табылады. Бұл  тəсіл  кез  келген

көпжақты  беттердің  дəл  жаймасын  салу  үшін  жəне  сызықтық  беттердің

жуықталған немесе шартты жаймасын салу үшін де қолайлы.

Нормаль  қима  тəсілі  призманың  бүйір  қырлары  деңгей  түзулері  болған

кезде қолданылады.

Призманың  жаймасын  нормаль  қима  тəсілімен  салу  келесі  ретпен

орындалады (13.2-сурет):

1) призманы  оның  бүйір  қырларына  перпендикуляр  болатын

a

жазықтығымен қиямыз;



2) призманың

a жазықтығымен қиылысу сызығы болатын сынық сызықтың

қабырғаларының нақты шамалары анықталады;

3) бұл сынық сызық бір түзуге жайылады;

13.2-сурет


52

4) сынықтың  төбелері  арқылы  перпендикулярлар  тұрғызылып, олардың

бойына призманың бүйір қырларының нақты шамалары салынады;

5) қырлардың ұштарын біртіндеп кесінділермен жалғаймыз;

6) призманың  бүйір  бетінің  жаймасына  оның  табандарының  нақты

шамаларына 

тең

көпбұрыштарды   тіркейміз.



Жаймалап  жазу  тəсілі

нормаль  қима  тəсілінің  дербес



жағдайы. Бұл  тəсіл  призманың

бүйір  қырлары  мен  табандары

деңгейлік  жағдайда  орналасқан

кезде қолданылады.

Бұл 

тəсіл 


бойынша

призманың жақтары оның бүйір

қырларынан 

айналды-рылып

бір жазықтықпен беттестіріледі.

Тұрғызылған 

фигура

призманың 



бүйір 

бетінің


жаймасы болып табылады.

Жайылатын 

беттің

(конустық, цилиндрлік  немесе



торстық) жуық  жаймасын  салу

осы бетке іштей немесе сырттай

сызылған көпжақтың жаймасын

тұрғызуға келіп тіреледі.

Жуық жаймаларды салу мынадай ретпен орындалады:

1) берілген 

жайылатын 

бетті 


көпжақты 

бетпен 


алмастырады

(аппроксимация);

2) көпжақты беттің дəл жаймасы салынады;

3) аппроксимациялаушы  көпжақты  беттің  жаймасын  берілген  беттің

жаймасы ретінде қабылдаймыз.

Негізгі əдебиет: 1 нег.

[201-207],  2 нег. [105-110]



Негізгі əдебиет: 1 қос.[117-123].

Бақылау сұрақтары:

1. Беттің жаймасы деп нені айтады?

2. Қандай беттер жайылатын деп, қандай беттер жайылмайтын деп аталады?

3. Жаймалардың негізгі қасиеттерін атаңыз.

4. Конус  пен  цилиндрдің  жаймаларын  графикалық  тұрғызу  ретін  айтып

беріңіз.


5. Беттің аппроксимациясы деп нені айтады?

6. Көпжақтың жаймасын салудың қандай тəсілдерін білесіз?

13.3-сурет


53

14-дəріс. Сандық белгілері бар проекциялар. Нүкте, түзу, жазықтық.

Фигураның  горизонталь  проекция  жазықтығынан  қандай  қашықтықта

орналасқанын  білдіретін  цифрлармен  бірге  берілген  горизонталь  проекция

жазықтығындағы  ортогональ  проекцияларын сандық  белгілер  бар  проекциялар

деп атайлы. (14.1-сурет).

Бейнеленетін объектінің  горизонталь проекциясын оның планы деп атайды

(14.1б-сурет). Нольдік  деңгейден  жоғары  орналасқан  нүктелердің  сандық

белгілері  оң  мəнді, ал  төмен  орналасқан  нүктелердің  мəндері  теріс  болады.

Нольдік  деңгей  жазықтығындағы  нүктелердің  сандық  белгілері  нольге  тең

болады.


Сандық  белгілерді  вертикаль  өлшемдері (биіктіктері) горизонталь

өлшемдерімен  салыстырғанда  кішкентай  болатын  күрделі  қисық  сызықты

беттердің  сызбаларын  орындағанда  қолданған  тиімді. Сондықтан  бұл

проекцияларда топографиялық беттердің сызбалары орындалады.



h

A

-h



B

=

Dh – А нүктесінің В нүктесінен биіктік айырмасы.



АВ  кесіндісінің  проекциясын L  əрпімен  белгілеп, оны АВ   кесіндісінің

жатысы деп атаймыз.

Dh/L=tg

a

=i қатынасы түзудің көлбеулігі деп аталады.



Көлбеулікке кері шама:

1/i = L/

Dh=l – түзудің интервалы деп аталады.

0

6



z

y

B

A

6

A

0

C

C

º

0



П

2

4



6

8

10



x

2

4



8

5

B

-

)

a



х

y

O

2

4



6

8

10



12

2

4



6

8

10



12

6

A

5

-

B



0

C

0

П

1

- 0 1 2


)

б

14.1-сурет



х

y

O

6

A

3

B

0

П

1

- 0 1 2


)

б

0

z



y

x

B

A

6

A

0

П

3

B



h

D

a



L

)

a



А

h

В

h

l

l

l

14.2-сурет



54

Түзудің  интервалы оның  бір  бірлікке  көтерілуіне  сəйкес  жатыстың

шамасын анықтайды.

Түзудің  интервалын  анықтау  үшін  орындалатын  графикалық  əрекеттерді

түзуді бөліктеу (градуирование) деп атайды.

Түзуді  бөліктеу - түзу  жатысындағы  бүтін  сандық  белгісі  бар  нүктелерді

анықтау болады.

Түзуді  бөліктеу  кесіндіні  пропорционал  бөлу  тəсілімен, палетканың

(палетка – калькада  жасалған  трафарет) көмегімен, қосымша  графиктердің

көмегімен жəне т.б. тəсілдермен орындалады (14.3-сурет).

1. Сызбада  жатыстары  параллель, құлау  бағыттары  бірдей  жəне

интервалдары тең түзулер кеңістікте өзара параллель болады (14.4а-сурет).

2. Планда  проекциялары  қиылысатын  жəне  қиылысу  нүктесінде  сандық

белгілері  бірдей  болатын  түзулер  кеңістікте қиылысатын  түзулер  болады

(14.4б-сурет).

3. Егер 


параллельдік

немесе  қиылысу  шарттары

орындалмайтын 

болса,


түзулер 

кеңістікте



айқасатын болады.

Сандық  белгілері  бар

проекцияларда жазықтық бір

түзудің  бойында  жатпайтын

үш  нүктемен, түзумен  жəне

одан  тыс  жатқан  нүктемен,

параллель 

түзулермен,

қиылысатын түзулермен жəне т.б берлуі мүмкін. Бірақ жазықтықтың көлбеулік

масштабымен берілгені ыңғайлы.

Жазықтықтың  көлбеулігі  ең  үлкен  сызығының  проекциясының  бөліктелген

проекциясы  оның көлбеулік  масштабы  деп  аталады. Көлбеулік  масштабы

14.3-сурет

а                               б                                   в                                                 г

14.4-сурет



55

қосарланған (жуан  жəне  жіңішке) сызықпен  бейнеленеді  жəне i  индексімен

белгіленеді. Жазықтықтың  горизонтальдарының  пландағы  проекциялары

көлбеулік  масштабына  перпендикуляр  болады, горизонтальдардың (бүтін

сандық  белгілерімен) көршілес  проекцияларының  арасындағы  қашықтық

жазықтықтың  интервалы  болады. Жазықтықтың  құлау

a  бұрышы  деп Р

жазықтығының

П

0

проекция  жазықтығына  көлбеулігін  айтады. Ол



жазықтықтың  көлбеулігі  ең  үлкен

АВ  сызығымен

Р

i

горизонталь

проекциясының арасындағы бұрышпен анықталады.

Жазықтықтың созылым  бағыты  деп  сандық  белгілердің  өсу  жағына

қарағандағы горизонтальдардың оң бағытын айтады.

Жер  меридианы  мен  созылым  бағыты  арасындағы  бұрыш

j  созылым

бұрышы деп аталады. Бұл бұрыш меридианның солтүстік ұшынан сағат тіліне

қарсы бағытта созылым бағытына дейінгі бұрышпен анықталады.



Параллель жазықтықтар. Параллель жазықтықтардың көлбеулік масштабы

сызықтары  өзара  параллель, интервалдары  тең  болады  жəне  сандық  белгілері

бір бағытта  өседі. Бұл шарттардың біреуі орындалмайтын болса, жазықтықтар

кеңістікте қиылысады.



Негізгі əдебиет: 1 нег.

[290-300],  2 нег. [148-152]



Негізгі əдебиет: 1 қос.[317-318].

Бақылау сұрақтары:

1. Түзудің көлбеулігі мен интервалы дегеніміз не?

2. Түзуді бөліктеу деген не?

3. Жазықтықтың көлбеулік масштабы деген не?

4. Жазықтықтың  горизонтальдары  оның  көлбеулік  масштабына  қатысты

қалай орналасады?

5. Қандай бұрышты жазықтықтың құлау бұрышы деп атайды?

6. Қандай бұрышты жазықтықтың созылым бұрышы деп атайды?

14.5-сурет


56



1   2   3   4   5   6   7


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал