Қазақстан республикасы білім жəне ғылым



жүктеу 0.83 Mb.

бет4/7
Дата12.09.2017
өлшемі0.83 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

Екі жазықтықтың  перпендикулярлығы.

a

жазықтығы



b

жазықтығына перпендикуляр түзу

арқылы  өтетін  болса  немесе

b

жазықтығында



жатқан b  түзуіне  перпендикуляр  болса,

a

  мен



b

жазықтықтары өзара перпендикуляр болады.

Кеңістіктегі  белгілі  бір М  нүктесі  арқылы  берілген

b

  жазықтығына



перпендикуляр қанша болса да

a

1



,

a

2



, … жазықтықтарын жүргізуге болады. Бұл

жазықтықтардың  барлығы М  нүктесінен

b

  жазықтығына  түсірілген а



перпендикуляры  арқылы  өтетін  болады.

a

1



,

a

2



, … жазықтықтарының  жиыны

жазықтықтар 

шоғын

құрайды. Бұл



жазықтықтардың  біреуі  ғана  анықталу  үшін

тағы бір қосымша шарт болуы керек.



8.2-мысал.  Берілген l(l

1

,l



2

) түзуі  арқылы

өтетін 

жəне


a

(h

Çf)

жазықтығына

перпендикуляр

b

жазықтығын  жүргізу  керек.



(8.3-сурет).

Берілген


l(l

1

,l



2

) түзуінің 

бойында

қалауымызша А  нүктесін  таңдап  аламыз. А



нүктесінен

a

 



жазықтығына

а

перпендикулярын  түсіреміз, яғни



А

1

Ì(а



1

)

^f



1

,

А

2

Ì(а



2

)

^h



2

.

А  нүктесінде  қиылысатын



а  жəне l

түзулері


b

  жазықтығын  анықтайды,

b

жазықтығы а  түзуі  арқылы  өтеді  жəне



a

жазықтығына перпендикуляр болады.

8.2 -сурет

8.3-сурет



35

Өзара  перпендикуляр  жалпы  жағдайдағы  түзулерді  салу.  Екі  түзудің

біреуі арқылы екіншісіне перпендикуляр жазықтық жүргізуге мүмкіндік болса,

олар өзара перпендикуляр болады.

 8.3-сурет.  Берілген l  түзуімен  тік  бұрыш

жасап қиылысатын а түзуін жүргізу керек. (8.4-

сурет). Алдымен А  нүктесі  арқылы l  түзуіне

перпендикуляр

a

  жазықтығын  жүргіземіз:



А

1

Ì(f



1

)

^l



1

А

2

Ì(h



2

)

^l



2

А

1

Ì(h



1

)

^A



1

 A

2

А



2

Ì(f

2

)

^ A



1

A

2

;



a

(h

Çf).

a

 жазықтығы h горизонталімен жəне



f

фронталімен 

анықталады. Бұл

a

жазықтығының  кез  келген  түзуі түзуіне



перпендикуляр  болады, бірақ  соның  ішінде  тек

қана бір түзу l түзуін қиятын болады. Берілген l

түзуінің

a

жазықтығымен  қиылысу  нүктесін



табамыз: (К)=l

Ç

a



. Табылған К жəне А

нүктелерімен  анықталатын а  түзуі А  нүктесі

арқылы  өтеді  жəне түзуіне  перпендикуляр

болады, өйткені а

Ì

a

^l.



Кесіндінің  ұзындығын  табу (тік  бұрышты

үшбұрыш  тəсілі). Жалпы  жағдайдағы  түзуі

кесіндісінің  ортогональ  проекциялары  əрқашан

кесіндінің  өзінің  ұзындығынан  кем  болады.

(8.5-сурет). АВ  кесіндісінің  ұзындығын  бір

катеті  кесіндінің А

2

В

2

  горизонталь  проекциясы



болатын, ал екінші катеті - кесінді ұштарының z координаттарының айырмасы

Dболатын (кесіндінің фронталь проекциясынан алынады) А

2

В

2

А

0

 тік бұрышты



үшбұрышынан  анықтауға  болады. Тік  бұрышты  үшбұрыштың

А

0

В

2

гипотенузасы  кесінді  ұзындығының  нақты  шамасы  болады. Ал  осы



үшбұрыштағы

a  бұрышы

кесіндінің

П

2

 



жазық-

тығына  көлбеулік  бұрышы

болып 

табылады.



Кесіндінің  ұзындығын  дəл

осындай 


жолмен 

оның


фронталь  проекциясында

тік  бұрышты  үшбұрыш

салу 

арқылы 


табуға

болады. Мұндағы

b

бұрышы 


кесіндінің

П

1

жазықтығымен  жасайтын



көлбеулік 

бұрышын


анықтайды.

8.5-сурет

8.4-сурет


36

Сызбаны  түрлендіру  тəсілдері.

Берілген  проекциялары  бойынша

фигураның  жаңа  проекцияларын  салуды сызбаны  түрлендіру  деп  атайды.

Сызбаны түрлендіру екі əдіспен жасалады:

1. Фигураның негізгі П

1

П



2

П

3

 проекция жазықтықтарына қатысты орнын



өзгерту арқылы сызбаны түрлендіру.

2. Көмекші  проекция  жазықтығын  енгізу  арқылы  сызбаны  түрлендіру.

Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілі осы əдіске негізделген.

Фигураның  негізгі П

1

П



2

П

3

  проекция  жазықтықтарына  қатысты  орнын



өзгерту  арқылы  сызбаны  түрлендіру  əдісінде  фигураны  есепті  шығаруға

қолайлы болатындай етіп орналастырады. Фигураның қозғалысына байланысты

төмендегідей тəсілдер болады:

а) жазық-параллель ығыстыру тəсілі;

б) проекциялаушы түзуден айналдыру тəсілі;

в) деңгейлік түзуден айналдыру тəсілі.



Жазық-параллель ығыстыру тəсілі.

Жазық-параллель  ығыстыру  деп  фигураның  оның  нүктелері  өзара

параллель  жазықтықтарда  жататын  траекториялардың  бойымен  орындарын

өзгертетіндей  етіп  қозғауды  айтады. Көбіне  проекциялар  жазықтықтарының

біреуіне  параллель  бағытта  жазық-параллель  ығыстыру  тəсілін  қолданады.

Фигураның  соңғы  орнын  анықтау  үшін  түрлендірудің  инварианттарын  білу

керек. Фигураның  берілген  проекциялары  бойынша  оның  жаңа  проекциясын

салуға  мүмкіндік  беретін  қасиеттерді түрлендірудің  инварианттары  деп

атайды.

Жазық-параллель ығыстыру тəсілінің инварианттары:



1) қозғалу бағытына параллель жазықтықтағы проекция өзінің пішінін жəне

өлшемдерін сақтап орнын ауыстырады;

2) нүктелердің  қозғалу  жазықтығына  перпендикуляр  жазықтықтағы

проекциялары  проекциялық  байланыс  сызықтарына  перпендикуляр  түзулердің

бойымен қозғалады.

Сызбаны түрлендірумен шығарылатын негізгі есептер.

Сызбаны  түрлендірумен  шығарылатын  барлық  есептер  негізгі  төрт  есепті

шығаруға  келіп  тіреледі. Осы  есептерді  жазық-параллель  ығыстыру  тəсілімен

шығарып көрсетейік.

1-есепЖалпы  жағдайдағы  түзуді  деңгейлік  жағдайға  келтіру.  Егер  біз l

түзуін  горизонталь  жағдайға  келтіргіміз  келсе, онда  оны П

1

жазықтығына



қатысты  жазық-параллель  ығыстыру  керек. (8.6-сурет). Түзудің  бойынан

қалауымызша А жəне В нүктелерін таңдап аламыз. Көлденең түзу салып, оның

бойына А´

1

В´

1

кесіндісін  саламыз: А´



1

В´

1

А



1

В

1

. Оны   горизонталь  түзуінің



жаңа 

1

  фронталь  проекциясы  ретінде  қабылдаймыз. А  жəне В  нүктелерінің



жаңа горизонталь проекциялары А

2

 жəне В



2

нүктелері арқылы өтетін көлденең

түзулердің бойында қалады. Жаңа А´

1

 жəне В´



1

 фронталь проекциялары арқылы



А´

2

 жəне В´



2

горизонталь проекцияларын анықтаймыз.



37

Егер l түзуін фронталь еткіміз келсе, оны П

2

 жазықтығына қатысты жазық-



параллель ығыстыру керек (8.7-сурет).

Бұл  есепті  шығару  нəтижесінде

біз l  түзуінің АВ  кесіндісінің  нақты

шамасын


)

(

1



1

'

2



'

2

AB



B

A

B

A

=

=



  жəне

оның


П

1

  мен П



2

  жазықтықтарына

көлбеулік

a

  мен



b

  бұрыштарын

таптық.

2-есеп.

Деңгейлік 

түзуді

проекциялаушы  жағдайға  келтіру.

Егер l´(l

1

´,  l



2

´) горизонталь  түзуі

берілсе, оны 

фронталь


проекциялаушы l´´ түзуіне  түрлендіру

жеңіл (8.6-сурет). Ол  үшін  тік  түзу

жүргізіп, оның  бойына

А

2

В



2

кесіндісін  саламыз: А



2

В

2

″=  А´



2

В´

2

.



Оны l

2

″  фронталь  проекциялаушы



түзуінің  горизонталь  проекциясы

ретінде  қабылдаймыз. Түзудің l

1



фронталь 



проекциясы 

нүктеге


проекцияланады: А

1

″≡В



1

″≡l

1

″.

Фронталь



)

,

(



2

1

l



l

l

  түзуін


горизонталь 

проекциялаушы



l

түзуіне  түрлендіру  ыңғайлы (8.7-

сурет). Алдымен  түзудің  жаңа

1

l

фронталь  проекциясын  тік  салып, содан  соң  нүктеге  проекцияланатын

горизонталь проекциясын саламыз.



3-есепЖалпы  жағдайдағы  жазықтықты  проекциялаушы  жағдайға

келтіру.

Егер


a

(АВС)

жазықтығын  горизонталь

проекциялаушы  жағдайға

келтіру  керек  болса, онда

оны


П

1

жазықтығына



қатысты  жазық-параллель

ығыстыру 

қажет (8.8-

сурет). Алдымен

a

жазықтығының f фронталін



жүргізіп, оны  горизонталь

проекциялаушы



´ түзуіне

түрлендіру  керек. АВС

үшбұрышының

жаңа


 8.8-сурет

8.7-сурет

8.6-сурет


38

А´

1

В´

1

С´

1

  фронталь  проекциясын



f

1

´ тік  орналасатындай  етіп  саламыз,



мұндағы

1

1



1

'

1



'

1

'



1

C

B

A

C

B

A

D

=



D

 болады. Бір түзудің бойында табылатын жаңа



А

2

´,



В

2

´,



С

2

´ горизонталь  проекцияларын  саламыз. Жаңа



a

´ жағдайында

a

жазықтығы горизонталь проекциялаушы болды.



Егер  біз

a

  жазықтығын



фронталь 

проекциялаушы

жағдайға  келтіретін  болсақ,

оны П

2

 жазықтығына қатысты



жазық-параллель  ығыстыру

керек (8.9-сурет).



4-есеп.

Проекциялаушы

жазықтықты 

деңгейлік

жағдайға 

келтіру. 

Егер


горизонталь  проекциялаушы

a

 ´ жазықтығы  берілсе, оны



фронталь  жағдайға  келтіру

үшін


П

2

жазықтығына



қатысты 

жазық-параллель

ығыстыру  керек (8.8-сурет). Ол  үшін  алдымен  көлденең  түзу  салып, оның

бойына


А

2

″,



В

2

″,



С

2

″  нүктелерін



А

2



В

2

″=



А

2

´



В

2

´ жəне



В

2



С

2

″=



В

2

´



С

2

´



болатындай  белгілейміз. А´

1

,В´



1

,  С´

1

нүктелері  арқылы  көлденең  түзулер



жүргізіп, ал

А

2

″,



В

2

″,



С

2

″  нүктелері  арқылы  тік  түзулер  жүргіземіз. Аттас



проекциялары арқылы жүргізілген түзулердің қиылысуында жаңа

А

1

″,



В

1

″,



С

1



фронталь  проекцияларын  табамыз. Егер  фронталь  проекциялаушы

a

жазықтығы  берілсе, оны  горизонталь  жағдайға  келтіру  үшін П



1

жазықтығына

қатысты  жазық-параллель  ығыстыру  керек (8.9-сурет). Бұл  есепті  шығару

нəтижесінде



АВС 

үшбұрышының 

нақты 

шамасын 


анықтаймыз:

ABC

C

B

A

C

B

A

D

=



D

=

¢¢



¢¢

¢¢

D



2

2

2



1

1

1



Негізгі əдебиет: 1 нег.

[27, 60-62 ],  2 нег. [40-56 ]



Қосымша  əдебиет: 1 қос.[20-29].

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай есептер метрикалық деп аталады?

2. Тік  бұрыштың  тік  бұрышты  проекциясы  туралы  теореманы

тұжырымдаңыз.

3. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шартын тұжырымдаңыз.

4. Қай  кезде  тік  бұрыш  горизонталь  проекция  жазықтығына  бұрмаланбай

проекцияланады?

5. Екі жазықтықтың перпендикулярлық шартын тұжырымдаңыз.

6. Жазық-параллель ығыстыру тəсілінің инварианттарын айтыңыз.

7. Сызбаны  түрлендіру  тəсілдерімен  шығарылатын  негізгі  төрт  есепті

атаңыз.

8.9-сурет



39

9-дəріс. Сызбаны түрлендіру тəсілдері.

Проекциялаушы түзуден айналдыру тəсілі.

Түрлендірудің 

инварианттары: нүктені 

проекция 

жазықтығына

перпендикуляр  осьтен  айналдырғанда  оның  бір  проекциясы  шеңбер  бойымен,

ал екіншісі – айналдыру осіне перпендикуляр түзудің бойымен қозғалады. 9.1-

суретте


А  нүктесі  сызатын  шеңбер П

2

  жазықтығына  бұрмалаусыз  нақты



шамасына, ал П

1

  жазықтығына түзу кесіндісі түрінде проекцияланады. Ал егер



нүктені  фронталь  проекциялаушы  осьтен  айналдырсақ, нүкте  траекториясы

фронталь  проекция  жазықтығына  шеңбер  түрінде, ал  горизонталь  проекция

жазықтығына оське перпендикуляр түзудің кесіндісі түрінде проекцияланады.

9.2-суретте жалпы жағдайдағы түзуді алдымен горизонталь проекциялаушы



i  осінен  айналдырып, деңгейлік (фронталь) жағдайға  келтірген. Содан  соң

фронталь  проекциялаушы j  осінен  айналдырып, проекциялаушы  жағдайға

келтірген, яғни түзу П

2

жазықтығында нүктеге проекцияланады.



Деңгейлік түзуден айналдыру тəсілі.

Бұл  тəсіл  көбінесе  жазық  фигураның  сызбасын  түрлендіру  үшін

қолданылады. Жазық  фигура  дейгейлік  жағдайға  дейін  айналдырылады  жəне

сəйкес жазықтыққа бұрмалаусыз проекцияланады.



Түрлендірудің инварианттары:

1. фигураның  кез  келген  нүктесінің  ескі  жəне  жаңа  проекциялары

айналдыру осіне перпендикуляр бір түзудің бойында орналасады;

9.2-сурет

9.1-сурет


40

2. фигураның кез келген кесіндісінің жаңа проекциясының ұзындығы оның

нақты шамасына тең болады.

9.3-суретте АВС  үшбұрышымен

берілген жазықтықта А  төбесі  жəне 1

нүктесі 


арқылы 

горизонталь

жүргізілген.

Горизонтальді

айналдыру  осі  ретінде  қабылдаймыз.

А жəне 1 нүктелері айналдыру кезінде

қозғалыссыз  болады.



В  жəне

С

нүктелері  ось  төңірегінде  шеңбер

бойымен

қозғалады. Бұл



шеңберлердің

горизонталь

проекциялары 

ось 


проекциясына

перпендикуляр 

түзулер 

болады.


Үшбұрыш 

горизонталь 

орналасу

үшін,


В  төбесінің  айналу  радиусы

өзінің нақты шамасына проекциялану

керек. R

В

 радиусының ұзындығын тік



бұрышты

үшбұрыш 


тəсілімен

анықтауға 

болады (8-дəріс).

В

төбесінің айналу радиусының горизонталь жағдайдағы орнын анықтаған соң, С

төбесінің  айналу  траекториясының  проекциясы  мен В´1  түзуінің  қиылысында

С' төбесін анықтаймыз. Табылған АВ´С´ проекциясы АВС үшбұрышының нақты

шамасы болады.



Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілі.

Бұл  тəсілде  қарастырылып  отырған  фигура  қозғалмайды  да,

проекцияжазықытықтарының  жүйесі  жаңа  өзара  перпендикуляр  проекция

жазықтықтары  жүйесімен  алмастырылады (9.4-сурет). Жаңа  проекция

 9.3-сурет

а

             9.4-сурет



ə

а

41

жазықтықтарының  жүйесін  берілген  фигура  дербес  жағдайда  болатындай  етіп

қабылдайды. Түрлендіру  инварианттары: нүктенің  жаңа  проекциясынан  жаңа

оське  дейінгі  қашықтық  оның  ескі  проекциясынан  ескі  оське  дейінгі

қашықтыққа тең.

Мысалы, АВ кесіндісінің нақты шамасын анықтау керек. Ол үшін АВ түзуін

деңгей  түзуіне  түрлендіру  керек. 9.4 а,ə - суреттерінде  жаңа  ось АВ  түзуінің

горизонталь А

2

В

2

проекциясына параллель, ал жаңа П



4

 проекция жазықтығы АВ

түзуіне  параллель  орналасқан. АВ  түзуі П

4

проекция  жазықтығына  нақты



шамасымен проекцияланады. Жаңа П

4

 проекция жазықтығы мен  х



24

 осі түзуден

кез келген қашықтықта орналасуына болады, оларды түзудің өзімен жəне оның

проекциясымен беттестіріп қабылдаса да болады.



Негізгі əдебиет: 1 нег.

[65-95 ],  2 нег. [94-110 ]



Қосымша əдебиет: 1 қос.[29-37].

Бақылау сұрақтары:

1. Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілімен түрлендірудің мəні неде?

2. Бір  ғана  проекция  жазықтығын  алмастырумен  шығарылатын  есептерді

атаңыз.


3. Екі  проекция  жазықтықтарын  алмастырумен  шығарылатын  есептерді

атаңыз.


4. Проекция  жазықтығына  перпендикуляр  осьтен  айналдыру  тəсілінің  мəні

неде?


5. Проекция  жазықтықтарын  алмастыру  тəсілімен  жазық  фигураның  нақты

шамасын анықтаудың ретін айтып беріңіз.



10-дəріс.  Қисық сызықтар мен беттер.

Қисық  сызық – нүктелердің  бірпараметрлік  жиыны. Сызба  геометрияда

қисық  сызық  кеңістікте  үздіксіз  қозғалатын  нүктенің  траекториясы  ретінде,

сонымен қатар беттердің қиылысу сызығы ретінде қарастырылады.

Сызықтарды жазық жəне кеңістік сызықтары  деп екі топқа бөледі.

Барлық  нүктелері  бір  жазықтықта  жататын  сызықтарды жазық (эллипс,

парабола, гипербола)  деп атайды. Барлық нүктелері бір жазықтықта жатпайтын

сызықтарды кеңістік (цилиндрлік, конустық  бұрама  сызықтар  жəне  т.б.)

сызықтары  деп  атайды. Қисық аналитикалық  жолмен, яғни  алгебралық

10.1-сурет



42

(эллипс, парабола, гипербола  жəне  т.б.)  немесе  трансценденттік (синусоида

жəне  т.б.) теңдеумен  берілуі  мүмкін. Кейбір  сызықтар  тек  қана графикалық

жолмен беріледі, мысалы, топографиялық картадағы горизонтальдар.

Алгебралық  сызықтың  теңдеуінің  дəрежесі  қисықтың ретін  анықтайды.

Сызбада  алгебралық  қисықтың  ретi оның  түзумен (немесе  жазықтықпен

кеңiстiк қисығы үшiн) қиылысу нүктелерiнiң санымен анықталады.

Қисық проекцияларының қасиеттері:

1) жалпы жағдайда қисық сызықтың проекциясы қисық сызық болады;

2) егер  нүкте  қисық  сызықта  жатса, онда  оның  проекциялары  да  қисық

сызықтың аттас проекцияларына тиісті болады;

3) қисық  сызықтың  жанамасы  осы  қисық  сызықтың  проекциясының

жанамасына проекцияланады (егер проекциялау бағыты мен жанама параллель

болмаса).

Егер нүктенiң қозғалу бағыты жəне оның үстiне жанаманың айналу бағыты

да өзгермесе, онда оны қарапайым нүкте деп атайды.

Егер нүктенiң қозғалу бағыты немесе жанаманың айналу бағыты өзгеретін

болса, онда  оны ерекше  нүкте  деп  атайды. Оларға  мынадай  нүктелер  жатады

(10.1-сурет):

а) сыну нүктесі – бұл нүктеде қисықтың  екі жанамасы болады жəне бағыты

«секірмелі» өзгереді;

ə)  тораптық нүкте – бұл нүктеде қисық өзімен-өзі қиылысады;

б) бұрылу нүктесі – бұл нүктеде жанаманың бағыты өзгереді;

в) бірінші реттік қайту нүктесі;

г) екінші реттік қайту нүктесі.

Беттердің  жасалуы  мен  берілуі.  Сызба  геометрияда  беттер  кеңістікте

белгілі  бір  заңдылықпен  үздіксіз  қозғалатын  сызықтың  орындарының  жиыны

ретінде  қарастырады. Беттің  жасалуының  бұл  тəсілін кинематикалық  деп

атайды. Өзінің  қозғалысымен  бетті

жасайтын түзуін  беттің жасаушысы

деп атайды (10.2-сурет). Жасаушы басқа

бір  қозғалмайтын  жəне  бағыттаушы  деп

аталатын


m 

сызығының 

бойымен

қозғалуы мүмкін.



Беттi анықтайтын  шарттарды  беттiң

анықтауышы  деп  атауға  келiсiлген.

Анықтауыш – геометриялық  жəне

алгоритмдiк  деп  аталатын  екi бөлiктен

тұрады.

Егер  кеңістіктің  кез  келген  нүктесінің  бетке  тиістілігіне  қатысты  сұраққа



жауап беруге болса, онда бет берілді деп есептеледі.

Жасаушының  айналу  осі  болып  табылатын  қозғалмайтын  түзуден

айналуының нəтижесінде жасалатын бетті айналу беті деп атайды.

10.2-сурет



43

Проекциялық  сызбада  айналу  осін

көбіне 

проекция 



жазықтығына

перпендикуляр

орналастырады.

Жасаушының 

барлық 

нүктелері



шеңберлер  бойымен  қозғалады. Бұл

шеңберлер параллельдер деп аталады.

Ең үлкен параллельді экватор деп, ал

ең кішісін – мойын  деп атайды. Егер

айналу осі вертикаль орналасса, онда

барлық  параллельдер  горизонталь

проекция  жазықтығына  бұрмалаусыз

нақты  шамаларына  проекцияланады.

Айналу 

осі 


арқылы 

өтетін


жазықтықтар  бетті меридиан  деп

аталатын  сызықтар  бойымен  қияды.

ы беттің очеркі деп аталады.

Проекция  жазықтығына  параллель  жазықтықта  орналасқан  меридиан



басты деп аталады жəне бұл проекция жазықтығындағы проекцияс

10.4-суретте  айналу  бетінде  бір-ақ  проекциясы  берілген А  нүктесінің

жетіспейтін проекциясын табу көрсетілген.

Жасаушы l  түзуін осінен  айналдырғанда  екінші

реттік сызықтық айналу беті пайда болады:

егер l

Ç i – конустық айналу беті;

егер l

÷÷ i – цилиндрлік айналу беті;

егер l    i – бірқуысты айналу гиперболоиды.

Айналу  бетінің  түрі  жасаушының  пішіміне  жəне

оның  айналу  осіне  қатысты  орналасуына  байланысты.

Симметрия  жазықтығы  бар

n – реттік  қисық  сызығын

осы  симметрия  жазықтығында  орналасқан айналу  осінен

айналдырғанда n – реттік айналу беті пайда болады.

1. Сфера.  Шеңберді  диаметрінен  айналдыру  арқылы

жасалады.

2. Айналу  эллипсоиды.  Бұның  меридианы  эллипс

болып  табылады. Егер  Если  эллипс  өзінің  үлкен  осінен

айналса  эллипсоид созылған деп, ал кіші осінен айналса



қысылған деп аталады.

3. Айналу  параболоиды.  Меридианы  парабола

болып табылады.

4. Айналу  гиперболоиды.  Беттің  меридианы –

гипербола. Егер  айналу  осі  гиперболаның  нақты  осімен

сəйкес  болса, екі  қуысты  гиперболоид, ал  егер  айналу  осі  гиперболаның

жорамал осімен сəйкес болса, бір қуысты гиперболоид жасалады.

10.4-сурет

10.3 - сурет


44

5. Алгебралық n-реттік  қисық  сызықты  кез  келген  бір  түзуден

айналдырғанда 2n-реттік  айналу  беті  пайда  болады. Мысалы, тор. Тор  беті

шеңберді  центрі  арқылы  өтпейтін, бірақ  шеңбер  жазықтығында  орналасқан

түзуден айналдыру арқылы жасалады.

Түзудің белгілі бір заңды қозғалысынан пайда болған бетті сызықтық деп

атайды. Олар жайылатын жəне жайылмайтын болып екіге бөлінеді. Жайылатын

беттер – конустық, цилиндрлік  жəне  торстық  беттер. Кеңістік  сызығына

жанамалар  жиынынан  жасалған  бетті  торстық  немес  кері  қайту  қыры  бар  бет

деп атайды.

Жайылмайтын 

беттер – параллелизм

жазықтығы  бар  беттер (Каталан  беттері):

цилиндроид, коноид, қиғаш 

жазықтық

(гиперболалық параболоид) (10.5 - сурет).

Сызықтың  бұрама  қозғалысынан  жасалатын

бетті бұрама  бет  деп  атайды. Егер  жасаушы

бұрама  қозғалыстың  осімен  қиылысатын  болса,

бұрама  бет жабық  деп  аталады, ал  егер

қиылыспайтын  болса – ашық  деп  аталады. Егер

жасаушы  түзу  болса  бет геликоид  деп  аталады.

Егер  жасаушы  бұрама  қозғалыстың  осіне

перпендикуляр болса - тік, ал қиғаш орналасса –



қиғаш деп аталады.   10.6-суретте жабық тік геликоид көрсетілген. Егер ашық

геликоидтың  жасаушысы  белгілі  бір  цилиндрлік  бұрама  сызыққа  жанама

қозғалса, геликоид  бұрама  торс  деп  немесе  эвольвенттік  деп  аталады, өйткені

оның  нормаль  қимасы (оське  перпендикуляр) шеңбердің  эвольвентасы  болып

табылады.

Жасаушының  бағыттауыш  бойымен  параллель

қозғалысынан параллель  көшіру  беттері  пайда

болады.


Негізгі əдебиет: 1 нег.

[117-162 ],  2 нег. [67-93 ]



Қосымша əдебиет: 1 қос.[57-84].

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай  қисық  сызықтар  алгебралық  деп, немесе

трансценденттік деп аталады?

2. Қисық  сызықтың  қандай  нүктелері  ерекше  деп

аталады?

3. Беттің анықтауышы деген не?

4. Айналу беттерінің негізгі қасиеттерін айтыңыз?

5. Қандай бұрама беттер геликоид деп аталады?

6. Бетке тиісті нүктені немесе сызықты қалай салады?

7. Жасаушысы түзу болатын айналу беттерін атаңыз.

10.5-сурет

 10.6-сурет



45


1   2   3   4   5   6   7


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал