Қазақстан республикасы білім жəне ғылым



жүктеу 0.83 Mb.

бет3/7
Дата12.09.2017
өлшемі0.83 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

5-дəріс. Көпжақтар.

Қөпжақтық  бет

деп  қиылысатын  жазықтықтардың  бөліктерінен

(бөлімдері) құралған  бетті  айтамыз. Көпжақ  деп  жазық  көпбұрыштардан

тұратын, көпжақты  бетпен  шектелген  денені  айтамыз. Жазықтықтардың

бөліктерін бет деп  айтады, ал  ал  олардың  қиылысу  сызығын –  қырлар деп

атайды. Қырлардың  қиылысу  нүктелерін төбелер деп  атаймыз. Көпжақты

беттің қырлары мен төбелерінің жиынтығы тор деп аталады.

Көп тараған көпжақтар – призмалар жəне пирамидалар. Қырлары табанына

перпендикуляр  призманы, түзу  призма  деп  атайды. Егер  түзу  призманың

табаны – тік төртбұрыш болса, оны параллелепипед деп атайды.

Бір  беті – кез-келген  көпбұрыш  болатын, ал  қалған  беттері – ортақ  төбесі

бар үшбұрыш болатын көпжақты – пирамида деп атайды.

Көпжақтардың  көптеген  түрлерінің  ішінен  ерекше  топты  дұрыс  дөңес

көпжақтар құрайды.

Дұрыс  көпжақтар(Платон  денелері) деп  бүйір  беттері – дұрыс  жəне  тең

көпбұрыштар, ал  төбе  бұрыштары  тең  болатын  көпжақтарды  атаймыз. Əр

дұрыс көпжаққа сырттай немесе іштей сфераны салуға болады.

Бес дұрыс көпжақтар бар:

1. Тетраэдр (төртжақ) төрт  теңбүйірлі  жəне  тең  үшбұрыштармен

шектелген. Тетраэдр – дұрыс үш беттік пирамида.

2. Гексаэдр (алтыжақ) немесе  куб. Оның  беті  алты  тең  квадраттардан

тұрады.


3. Октаэдр (сегізжақ). Оның  беті  сегіз  тең  үшбұрыштардан  тұрады. Куб

жəне октаэдрдің қырларының саны бірдей. Октаэдрға кубты салуға болады, ал

кубқа октаэдрді бір көпжақтың төбелері екіншісінің бүйірінің центірімен сəйкес

болатындай салуға болады. Бұндай көпжақтарды өзара сəйкес деп атайды.



24

4. Додекаэдр (он екі жақ) бес бірдей жəне тең бесбұрыштармен шектелген.

Əр  төбеге  үш  бесбұрыш  қосылған. Додекаэдрге  дұрыс  жиырмажақ  сəйкес

келеді.


5. Икосаэдр (жиырмажақ). Оның  беті  бірдей  жəне  тең  жиырма

үшбұрыштардан  құралған, жəне  əрбір  төбесі  бес  үшбұрышты  біріктіреді.

Икосаэдрге  додекаэдрді  салса  болады. Икосаэдр  жəне  додекаэдр  өзара  сəйкес

көпжақтар болып табылады.

 Тетраэдр өзіне өзі сəйкес келеді.

Кесте 5.1

Атауы

Бетінің


пішіні

Б  Т 


Қ

Тетраэдр


4 4 6

Гексаэдр (куб)

6  8 12

Октаэдр


8  6 12

Додекаэдр

12 20 30

Икосаэдр


20 12 30

Əрбір  өзара  сəйкес  көпжақтар

жұбының  біреуінің  беттер  саны,

екіншісінің  төбелер  санына  сəйкес

келеді, ал  қырларының  саны  тең

болады.


Көпжақтардың  қасиеттерін

Эйлер

зерттеген  ол  дөңес  көпжақтардың

барлық  түрлерінің  беттерінің  саны

(Б), төбелерінің (Т) жəне қырларының

(Қ)

сандарының 



қатынасын

анықтайтын теореманы жазды.



Теорема. Кез келген дөңес көпжақтың бетттері мен төбелерінің санының

қосындысынан қырлар санының айырмасы  екіге тең, яғни

Б + Т – Қ =2.

Көпжақтын

қырларының

көрінетіндігі.

Көрінетіндікті  анықтау үшін бəсекелес  нүктелер  əдісі

қолданылады(5.1-сурет). Көпжақтың  проекциясының

сыртқы  контуры  əрдайым  көрінеді. Контурдың

ішіндегі  қырлардың  көрінетіндігін  əрбір  проекцияда

қырлардың  өзара  орналасуын  пайдалана  отырып,

бөлек анықтау керек.

 5.1-суретте  төртжақтың  проекциялары  берілген.

Фронталь  проекцияда  айқасып  жатқан  қырлардың

бəсекелес  нүктелері 1 жəне 2, ал  горизонталь

проекцияда – 3 жəне 4 нүктелері. Бəсекелес

нүктелердің  өзара  орналасуына  қарап  фронталь

проекцияда АD қыры  көрінетін, ал ВС – көрінбейтін

анықтаймыз.

Горизонталь  проекцияда BD  қыры  көрінетін, ал



АС –көрінбейтін қыр болады.

Көпжақтың жазықтықпен қиылысуы.

Жазық  көпбұрыш – көпжақ  беттің  жазықтықпен  қиылысу  сызығы  болып

табылады. Оның  төбесі  мен  жақтары – берілген  жазықтықтың  берілген

геометриялық  дене  беттері  мен  қырларының  қиылысуымен  анықталады.

Осындай  əдіспен, қиманы  тұрғызу  үшін  берілген  жазықтықпен  қырлардың

5.1-сурет



25

қиылысу нүктелерін  табады, немесе  жазықтық көпжақтың беттерін қиятындай

түзулерді  тұрғызады. Бірінші  əдісті – қырлар  əдісі,  екіншісін  – беттер  əдісі

деп атайды.



Қиюшы  жазықтық  проекциялаушы  болса, қиманы  табу  жеңіл. Бұл

жағдайда  қиманың  бір  проекциясы  проекцияланатын  ізбен  сəйкеседі. 5.2-

суретте А

1

,В



1

,С

1

  қимасының  фронталь  проекциясы  қиюшы  жазықтық



a

1

фронталь  ізімен  сəйкеседі. Көпжақтың  сəйкес  қырларынан  горизонталь



проекцияға  дейін  байланыс  түзулерін  жүргізсек,

қиманың горизонталь проекциясын аламыз.



Тік 

призма 

мен 

жалпы 

жағдайдағы

жазықтықтың  қиылысуы.  Қиюшы  жазықтық  екі

қиылысатын  түзулермен  берілген – горизонталь

жəне  фронталь. Призманың  бүйір  беттері –

горизонталь 

проекциялаушы 

жазықтықтар

болғандықтан  қиманың  горизонталь  проекциясы

белгілі - ол  бүйір  беттерінің  жəне  қырларының

проекцияларымен  сəйкеседі.  Қиманың  фронталь

проекциясын  тұрғызу  үшін  қиюшы  жазықтыққа

тиісті

А,

В,

С 

нүктелерінің 

фронталь

проекцияларын  анықтау  қажет.



А

2

  жəне В



2

нүктелері арқылы (1,2) түзуінің – горизонталь (1

2

2

2



)

проекциясын  жүргіземіз. (1

1

2

1



) түзуінің  фронталь  проекциясында А

1

В



1

фронталь  проекцияларын  табамыз. С  нүктесі  арқылы   фронталінің  f´

2

горизонталь  проекциясын  жүргіземіз, ал



содан  кейін  оның  фронталь  проекциясын

тұрғызамыз. Призманың  сəйкес  қырымен

қиылысқанда С  нүктесінің  ізделініп отырған

проекциясын табамыз.



Пирамиданың 

жалпы 

жағдайдағы

жазықтықпен  қиылысуы. Алдыңғы  есепке

қарағанда, бұл 

есепте 

қиманың 


екі

проекциясын  да  тұрғызу  қажет. Қиюшы

жазықтықтың  горизонталь  ізі  пирамиданың

табанын  қимайды, сондықтан  оның  бүйір

беттері  қиылады. Қиманың  пішіні  үшбұрыш

болуы 


керек, пирамида 

қырларының

жазықтықпен 

қиылысу 


нүктелері –

үшбұрыштың  төбелері  болады. SC  қырының

a

(f

Çh) жазықтықпен D  қиылысу  нүктесі –



фронталь  проекциялаушы

b

  жазықтығының



көмегімен  табылды. Осындай  тəсілмен,

қиманың Е нүктесін  де  табуға  болады.

Алайда, басқа  тəсілді  де  қолданса  болады.

5.3-сурет

5.2-сурет


26

Пирамиданың АСS бетінің  ізі  болып

табылатын,

 

АС 

қырын 


қиюшы

жазықтықтың горизонталь ізімен 3 деген

нүктеде  қиылысқанынша  созамыз. D

жəне


3  нүктелері  берілген  бетпен

қиюшы  жазықтықтың  қиылысу  сызығы



ED-ға тиісті. F нүктесін осындай əдіспен

тұрғызамыз, себебі BS қыры  арқылы

жүргізілген

қосымша


қиюшы

проекциялаушы  жазықтық  проекцияның

профиль 

жазықтығына 

параллель

болады  да, ешқандай  шешімге  алып

келмейді.

4  нүктесі ABS  бетінің  горизонталь

проекциясы  мен  қиюшы  жазықтықтың

қиылысу  нүктесі  болып  табылады.

Табылған  нүктелерді  түзумен  қосып

жəне  фронталь  проекцияда  қиманың

көрінбейтін DE бөлігін белгілеп, есептің

шешімін аяқтаймыз.

Түзудің  көпжақпен  қиылысуы (5.5-

сурет). Бұл  есеп 3 қадамда  шешіледі:1)

берілген 

түзу 


арқылы 

қиюшы


жазықтықты  жүргізеді; 2) қиюшы

жазықтық  пен  көпжақтың  қиылысу

сызығын  тұрғызады; 3) берілген  түзудің

қима  контурымен  қиылысу  сызығын

анықтайды.

Екі  көпжақтың  қиылысу  сызығы

кеңістік  тұйық  сызық  болып  табылады.

Кей  ерекше  жағдайларда  бұл  сынық  екі

тұйық  сыныққа  бөлінуі  мүкін. Бір

көпжақтың 

қырларының

екінші


көпжақтың 

беттерімен 

қиылысуы

нүктелері  сынықтың  төбелері  болып

табылады. Сынықтың  қабырғалары –

түзу  кесінділері  болып  табылады, олар

арқылы 

көпжақтардың



беттері

қиылысады. Егер  сынықтың  төбелері

мен  қабырғалары  сəйкесінше – жалпы

жағдайдағы  көпжақ  беттерінің  екінші

көпжақтың проекциялаушы беттері жəне

Сурет 5.4

5.5-сурет


27

қырларымен қиылысу  нүктелері  жəне  сызығы ретінде анықталса, есепті шешу

жеңіл болады.

Екі пирамида  бетінің, призма  жəне  пирамиданың, екі  призманың  қиылысу

сызығын  тұрғызу  кезінде, көмекші  жазықтық  ретінде  жалпы  жағдайдағы

жазықтықтарды пайдаланса болады:

1. екі пирамида – көмекші жазықтықтар пирамидалар төбелерімен өтуі тиіс;

2. пирамида  жəне  призма – көмекші  жазықтықтар  призманың  бүйір

беттеріне параллель болуы керек жəне пирамида төбесінен өтуі қажет;

3. екі  призма – көмекші  жазықтықтар  екі  призманың  бүйір  беттеріне

параллель боуы керек.

Пирамиданың

призмамен

қиылысуы.  Призманың  бүйір

қырлары  нүктелерге  проек-

цияланады, ал  бүйір  беттері

горизонталь 

проекциялаушы

жазық-тықтарды 

анықтайды.

Сондықтан, көпжақ-тардың

қиылысу 

сызы-ғының 

бір

проекциясы  белгілі. Пирамида



мен 

призманың 

қиылысу

нүктелері 



горизонталь

проекцияда  оңай  анықталады.

Байланыс  сызықтары  арқылы

фронталь 

проекцияларын

тұрғызамыз. Призманың

вертикаль  қырларының  ішінен

тек  біреуі  ғана  приамиданы

қиып  өтеді. Осы  қырдың

қиылысу  нүктесін  қосымша,

горизонталь 

проекциялаушы

жазықтықты(бұл жазықтық – берілген қыр бойынша жəне пирамиданың төбесі

арқылы  өтеді) енгізу  арқылы  анықтаймыз. Нүктелердің  тұрғызылған

проекцияларын қосамыз, бұл кезде горизонталь проекцияға сүйену қажет.

Негізгі əдебиет: 1 нег.

[95-116 ],  2 нег. [111-146 ]



Қосымша əдебиет: 1 нег.[37-57].

Бақылау сұрақтары:

1.Қандай көпжақтарды дұрыс көпжақтар деп атаймыз?

2.Көпжақты  жалпы  жағдайдағы  жазықтықпен  қиылысуының  қимасын

тұрғызудың мəнін түсіндіріңіз.

3.Түзудің   көпжақпен  қиылысуы  нүктесін  тұрғызудың  алгоритмін  баяндап

беріңіз.


4.Көпжақтардың  өзара  қиылысуының  қиылысу  сызығын  тұрғызудың  екі

əдісінің мəнін түсіндіріңіз.

5.6-сурет


28

6-дəріс.  Көріністер, тіліктер, қималар. МЕСТ 2.305-68.

Проекциялық 

сызба 

деп 


кеңістіктік 

геометриялық 

бейнелердің,

проекциялау əдістері бойынша жазықтықтарда орындалған салуларды айтамыз.

Техникалық  сызу  сызбаларында  кең  тараған  жəне  құрылыс, өнеркəсіптің

барлық  салаларында  қолданылатын, өзара  перпендикуляр  жазықтықтарға

проекциялау ережелері МЕСТ 2.305-68 –мен анықталады.

Проекциялау  əдісінің  ең  негізігсі  болып, бірінші  бұрыш  əдісі (Е  əдісі)

табылады. Мұнда  зат  өзара  перпендикуляр  проекциялар  жазықтығынына  тік

бұрышпен  проекцияланады, бұл кезде бейнеленетін зат бақылаушы мен сəйкес

проециялар жазықтығының арасында орналасады.

Келесідей  көрінстердің

түрлері анықталған:

1 – алдынан  қарағандағы

көрініс (негізгі 

көрініс


немесе 

фасад),


бейне

фронталь 

проекциялар

жазықтығында;

2 – жоғарыдан  қарағандағы

көрініс (план);

3 – сол  жақ  көрініс, бүйір

фасад;


4 – оң жақ көрініс;

5 – астыңғы көрініс;

6 – артқы көрініс (артқы фа-

сад).


Проекцияның  фронталь  жазықтығындағы  бейнелер  сызбада  басты  ретінде

алынған. Бұйым  фронталь  проекция  жазықтығына  қатысты  бейне  бұйымның

пішіні  жəне  өлшемдері  жөнінен  мүмкіндігінше  толық  ақпарат  бере  алатындай

орналастырылады.

Бейнелеулер  саны  минималды,

бірақ  сызбаны  оқу  үшін  жеткілікті

болуы керек. Сызбада – көріністердің

шартты аттары жазылмайды, егер бұл

көріністер  проекциялық  байланыста

болса, яғни  келесідей  тəртіпте:

жоғарыдан  көрініс – басты  көріністің

астында; сол  жақ  көрініс – басты

көріністің оң жағында; оң жақ көрініс

– басты  көріністің  сол  жағында;

астыңғы  көрініс – басты  көріністің

үстіңгі  жағында; артқы  көрініс – сол

жақ көріністің оң жағында.

6.2-сурет

6.1-сурет

Фронталь  проекция

жазықтығы


29

Басты көрініске қатысты жеке бейнелер (көріністер) суретте көрсетілгендей

проекциялар жазықтығын бір ғана жазықтыққа жаяды. Көрініс –  бақылаушыға

бұйым бетінің көрінетін бөлігі қаратылған бейне.

Бейнелердің 

санын 


азайту

мақсатында, көріністерде  бұйым  бетінің

көрінбейтін бөліктерін үзік сызықтармен

көрсетуге рұқсат етілген (6.3- сурет).



Тілік — бір  немесе  бірнеше

жазықтықпен  ойша  қиылған  нəрсенің

кескіні.  Тілікті орындаған кезде, қиюшы

жазықтықтың  өзінде  не  жатқанын  жəне

оның 

ар 


жағында 

не 


жатқаны

кескінделеді

(6.4-сурет).

Қиюшы


жазықтықтың 

арғы 


жағындағының

барлығын  салмауға  рұқсат  бар, егер  ол

бұйымның  конструкциясын  түсіну  үшін

қажет болмаса (6.5-сурет).



Қима — нəрсені  бір  немесе

бірнеше  жазықтықпен  ойша

қиғаннан шыққан фигура кескіні

(6.6-сурет). Қимада  тек  қиюшы

жазықтықта  не  пайда  болады,

тек сол ғана көрсетіледі. Қиюшы

ретінде 

цилиндрлік 

бетті

қолдануға 



рұқсат 

етілген,


кейінде 

ол 


жазықтыққа

жайылады (6.7-сурет).

6.3-сурет

6.4-сурет

6.5-сурет

6.6-сурет

6.7-сурет


30

Негізгі əдебиет: 4 нег.

[40-46 ],  5 нег. [69-101 ]



Қосымша əдебиет: 2 қос.[148-186].

Бақылау сұрақтары:

1. Негізгі көріністерді атаңыз.

2. Тілік дегеніміз не? Тіліктің негізгі түрлерін атаңыз.

3. Қандай бейнелер үшін жартылай көрініс, жартылай тілік біріктіріледі?

4. Қима дегеніміз не? Тілік пен қиманың айырмашылығы қандай?

5. Жергілікті тілік дегеніміз не?

6. Тіліктерді қалай белгілейміз?

Дəріс 7. Аксонометриялық проекциялар.

Аксонометриялық проекция немесе аксонометрия деп (аксон- ось, метро –

өлшеймін) кеңістіктік пішім жəне осы пішім жататын, координаттар жүйесінің

параллель сəулелер тобының қандай да бір П´ жазықтығына проекциясы.



А´  - А  нүктесінің

аксонометриялық

проек-циясы. А´

1

  –А



нүктесінің

екінші


проекциясы.

Аксонометриялық  бір-

ліктің  оның  нақты

ұзындығына  қатынасы



бұрмалану 

коэффи-

циенті   деп  аталады:

u=e´


x

/e

x



 , v=e´

y

/e



y,

w=e´


z

/e

z



.

u=v=w – изометрия;

u=w – диметрия;

u≠v≠w – триметрия;



Тікбұрышты 

изометрия.

Аксонометриялық  осьтердің  орналасуы 7.2-

суретте  көрсетілген. x,  y,  z осьтері  бойынша

бұрмалану коэффициенттері 0.82-ге тең.

Оңай 

болу 


үшін 

изометриялық

проекцияны  əдетте  бұрмаланусыз  орындайды,

яғни  бұрмалану  коэффициентін 1-ге  тең  деп

алады.

Бұйымның  тікбұрышты  изометриялық



роекциясына мысал 7.3- суретте келтірілген. .

1

A



A

/

П



s

s

x

A

x

y

z

O

z

e

x

e

y

e

/

x

/

z

A¢

/

1



A

/

x



A

/

y



O

/

z



e

/

y



e

/

x



e

7.1-сурет

7.2-сурет


31

Тікбұрышты  диметрия.  Аксонометриялық  осьтердің  орналасуы 7.4-

суретте көрсетілген.



y  осі  бойынша  бұрмалану

коэффициенті 0.47-ге тең, ал x жəне



z бойынша - 0.94-ке.

Диметриялық  проекцияны



x

жəне


z 

осьтері 


бойынша

бұрмалаусыз, жəне  y  осі  бойынша

бұрмалау  коэффициентін 0.5-ке  тең

қылып алады.

Бұйымның

диметриялық

проекциясына  мысал 7.5-суретте

келтірілген.



Фронталь  изометриялық  проекция.

Аксонометриялық осьтердің орналасуы 7.6-суретте көрсетілген.

Фронталь изометриялық проекцияда у осінің бұрышы ретінде 30 жəне 60°

қолдануға болады.

7.3-сурет

7.4-сурет

7.5-сурет

7.6-сурет

7.7-сурет


32

Фронталь изометриялық проекцияны х, у, z осьтері бойынша бұрмалаусыз

орындайды. Фронталь изометриялық проекцияға мысал 7.7-суретте көрсетіл-

ген.


 Горизонталь  изометриялық  проекция.

Аксонометриялық осьтердің орналасуы 7.8-суретте көрсетілген. .

Горизонталь  изометриялық  проекцияда у  осінің  бұрышы  ретінде 45 жəне

60° алуға  болады, соған

қоса,  х  жəне у  остерінің

арасын 90°-та 

сақтау

қажет.


Горизонталь

изометриялық  проекция

х, у  жəне z осьтері

бойынша  бұрмалаусыз

орындалады. Горизонталь

изометриялық проекцияға

мысал 7.9-суретте

келтірілген.



Фронталь  диметриялық  проекция. Аксонометриялық осьтердің

орналасуы 7.10-суретте келтірілген.

Фронталь диметриялық проекцияда у осінің көлбеулігін 30 жəне 60° етіп

алуға болады.



у  осі  бойынша  бұрмалану  коэффициенті – 0.5, ал x жəне z бойынша-1.

Бұйымның  фронталь  диметриялық  проекциясына  мысал 7.11-суретте

келтірілген.  Аксонометриялық  проекцияларда  қиманы  штрихтау  сызықтарын

қабырғалары  аксонометриялық  осьтерге  параллель  болып  келетін  квадраттың

диагоналіне параллель етіп жүргізеді(7.12-сурет).

Өлшемдерді  салғанда, олардың  шығарма  сызықтары  аксонометриялық

осьтерге  параллель, ал  өлшемдік  сызықтар – өлшеніп  отырған  кесіндіге

параллель болады (7.13-сурет).

7.8-сурет

7.9-сурет

7.10-сурет

7.11-сурет



33

Негізгі əдебиет: 1 нег.

[208-233 ],  2 нег. [176-200 ]



Қосымша əдебиет: 1 қос.[205-219].

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай проекцияларды аксонометриялық деп атаймыз?

2. Аксонометриялық проекциялардың түрлерін атаңыз.

3. Бұрмалану коэффициенті деп нені атаймыз?

4. Аксонометрияның негізгі теоремасы – Польке теоремасын айтыңыз.

5. Тік  бұрышты  изометрия  мен  диметрияда  ось  бағыттары  бойынша

бұрмалану коэффициенттерін атаңыз.

8-дəріс. Метрикалық есептер.

Тік бұрыштың тік бұрышты проекциясы туралы теореманың салдары.

1-салдар.  Өзара  перпендикуляр  екі  түзудің  біреуі  горизонталь  болса,

олардың горизонталь проекциялары өзара перпендикуляр болады. (8.1,а -сурет).



2-салдар. Өзара перпендикуляр екі түзудің біреуі фронталь болса, олардың

фронталь проекциялары өзара перпендикуляр болады. (8.1,ə -сурет).



3-салдар.  Өзара  перпендикуляр  екі  түзудің  біреуі  профиль  түзуі  болса,

олардың профиль проекциялары өзара перпендикуляр болады.

7.12-сурет

7.13-сурет

8.1-сурет

а)

ə)


34

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы.

Теорема.  Түзу  жазықтыққа  перпендикуляр  болуы  үшін  оның  горизонталь

проекциясы 

жазықтықтың 

горизонталіне, ал 

фронталь 

проекциясы

жазықтықтың фронталіне перпендикуляр болуы қажет жəне жеткілікті.

8.1-мысал. А  нүктесі  арқылы  өтетін  жəне

a

(М,  m) жазықтығына  перпендикуляр  жазықтық



салу керек (8.2-сурет).

Алдымен


a

жазықтығының  горизонталі  мен

фронталін  жүргізу  керек. Жеңілдік  үшін

a

жазықтығының h горизонталін жəне  фронталін



оның М  нүктесі  арқылы  жүргіземіз. Ізделінді а

түзуінің а

2

фронталь  проекциясын А



2

  нүктесі

арқылы

f

2

  түзуіне  перпендикуляр  етіп, ал а



1

проекциясын



А

1

нүктесі  арқылы h



1

түзуіне


перпендикуляр етіп жүргіземіз.


1   2   3   4   5   6   7


©emirb.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал